En este trabajo se utilizan los elementos básicos de la geometría riemanniana para obtener las expresiones de los operadores diferenciales sobre variedades en diferentes tipos de coordenadas.

Para poder establecer las nociones elementales de la geometría de Riemann es necesario conocer y manejar con fluidez el lenguaje de las variedades diferenciables. Por este motivo, y con la intención de que este trabajo sea autocontenido, el Capítulo 1 está dedicado a definir todos los conceptos de la teoría general de variedades diferenciables que necesitaremos posteriormente.

Este marco teórico permite trabajar, no solo en cualquier tipo de coordenadas en R m , sino también en toros, esferas, cualquier tipo de superficie e incluso espacios de mayor dimensión. De esta manera desarrollaremos un método general para obtener los operadores diferenciales que será independiente del espacio en el que trabajemos, con su correspondiente ahorro en cálculos respecto a métodos más directos que se pueden emplear en algunos casos.

Otra de las ventajas de este proceso es que la estructura teórica desarrollada hace que la forma de definir los operadores diferenciales en variedades diferenciables arbitrarias resulte bastante natural, estableciendo cierto paralelismo con R m , lo que facilita la tarea de recordarlos.

Una vez finalizado ese capítulo introductorio, pasamos a definir las herramientas de la geometría de Riemann que nos permitirán expresar los operadores diferenciales en variedades diferenciables arbitrarias.

Finalmente, se obtienen las expresiones del gradiente, el hessiano y el laplaciano de una función con valores reales, y también el gradiente y la divergencia de cualquier campo de vectores definidos sobre cualquier variedad diferenciable. Incluimos como casos particulares los cálculos de estos operadores en coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas.

Se calculan también esos mismos operadores para funciones definidas sobre la esfera unidad.

También incluimos una aplicación directa a la mecánica de los medios continuos, expresando la ecuación de conservación de la masa en diferentes sistemas de coordenadas en R m .

Finalmente, se dedica un capítulo a establecer un puente entre este trabajo y las notas escritas por A. Bermúdez (Notes on Vector Calculus), identificando ambos procesos y comprobando que los resultados que se obtienen coinciden salvo un cambio de base.

El concepto de deformación es uno de los más importantes en la Mecánica de los Medios Continuos (ver por ejemplo M. E. Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics ). Este TAD pretende estudiar estas aplicaciones desde el punto de vista de la Geometría Diferencial, con objeto de cerrar algunas cuestiones de índole académica no tratadas en los libros de Mecánica.

El objetivo del trabajo académicamente dirigido era realizar el análisis matemático del problema tridimensional asociado al ensayo de flexión en cuatro puntos especificado en la norma UNE-EN 1288-3 para la determinación de la resistencia a la flexión del vidrio utilizado en la edificación. El trabajo está estructurado en cuatro capítulos.

En el primer capítulo se encontrará una definición del módulo de ruptura de un material obtenida formalmente utilizando el procedimiento habitual en mecánica de sólidos: el ensayo de flexión en cuatro puntos.

En el segundo capítulo se introduce el modelo matemático para modelar la deformación que sufre una placa cerámica en el ensayo de flexión en cuatro puntos. Se trata de un problema elástico tridimensional con una condición no lineal en la frontera del dominio.

Con el objetivo de realizar un análisis matemático del nuestro problema, introducimos en el tercer capítulo una formulación débil del mismo como inecuación variacional, para proceder al estudio de su existencia y unicidad de solución.

En el último capítulo describimos detalladamente cómo es el modelo matemático que utilizamos para modelar el ensayo de flexión en cuatro puntos correspondiente a placas con perfil rectangular. Para ello, explicitamos cómo es la geometría de la placa, la ubicación de las distintas zonas de la frontera y el tipo de fuerzas aplicadas.

El trabajo comienza con una introducción a los conceptos básicos de la fotometría astronómica, a través de su evolución histórica desde el punto de vista instrumental.

A continuación la alumna realiza diversas sesiones nocturnas de manejo de instrumental astronómico: telescopio reflector Ritchey-Chretien de 62 cm de abertura, cámara electrónica CCD ST6 y rueda de filtros CFW-6A del observatorio astronómico Ramón María Aller. La descripción, acoplamiento, orientación, calibrado y utilización de estes aparatos son una parte fundamental del trabajo.

Seguidamente se entra en la etapa de familiarización con el software astronómico para la realización de fotometría, concretamente con los programas CCDOps e IRIS.

Finalmente, como aplicación, se obtiene la fotometría instrumental utilizando el método de síntesis de abertura. Para ello se observaron dos campos estelares correspondentes a los cúmulos abiertos NGC 2169 y NGC 6633.  Las medidas se obtuvieron en filtros rojo y azul. Como catálogo fotométrico de referencia se utilizó el USNO A2.0.

La alumna elaboró un manual de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Dicho manual contiene:

una breve descripción de los métodos, con sus propiedades más relevantes (ordén, región de estabilidad absoluta), una descripción de los códigos o bien los pseudocódigos, y una serie de resultados numéricos para cada método, obtenidos para adecuados ejemplos de prueba que evidencien las propiedades del método.

Consideramos un tanque como un recinto cerrado y hueco, en el que introduciremos diferentes especies. Al introducirlas, se producirá una mezcla que hara que el contenido del tanque sea homogéneo. Se consigue así una independencia espacial en los campos, ya que dos puntos cualesquiera del tanque se comportarán de la misma forma.

Existirá, sin embargo, una dependencia temporal. Se describirá a continuación un modelo que controle la evolución de las concentraciones de diferentes especies, que reaccionarán entre sí para obtener nuevas sustancias. Dicho modelo se ha estudiado de dos formas: una, un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, en las que, además de las concentraciones, también aparece la temperatura; la otra, un sistema algebraico-diferencial, en la que la temperatura se calculará mediante una expresión polinómica.

Se ha implementado un programa de Matlab que resuelve dichos sistemas. Además, gracias a una potente herramienta de la que dispone el lenguaje, se diseñó una interfaz gráfica de usuario, de forma que se puede ejecutar como cualquier aplicación informática. El usuario podrá elegir la mezcla de una base de datos de más de quinientas especies diferentes.

El programa se ha validado con un importante ejemplo, la producción de CO2 en la combustión del carbono. Las gráficas muestran como, a una baja temperatura, no se produce ninguna reacción con lo cual las fracciones másicas no varían. Al aumentar la temperatura, se observa como se produce la evolución progresiva del CO2 y de la temperatura. Se incluyen los resultados obtenidos y se realiza un balance de la masa introducida y de la masa final tras el experimento.

Estudiar el modelo matemático desarrollado por G.A. Ruderman, D.S. Stewart y E. Fried para la modelización de la ignición mecánica de materiales energéticos y proceder a la deducción del mismo a partir de las leyes de conservación y constitutivas adecuadas.