USC - Universidade de Santiago de Compostela

A última parte, trata da identificación do mellor modelo cinético para reactores de tipo STR a partir dunha lista de formas funcionais propostas, e tamén dos valores dos seus correspondentes parámetros mediante un proceso de optimización. Para iso, utilizamos unha combinación dun método incremental e un método integral.

Finalmente, concluímos esta memoria con algunhas conclusións e traballo futuro.

The purpose of this thesis is the mathematical study and numerical solution of problems that arise in low-frequency electromagnetics, and their application to the simulation of industrial processes. More precisely, we deal with both eddy current and magnetostatic problems, sometimes coupling the formulation in terms of partial differential equations with a lumped one modeling electrical circuits. Our study is motivated by the need of characterizing the electromagnetic phenomena that take place in several industrial processes, to be able to perform a subsequent optimization and optimal control.

The memoir is divided into two parts. In the first one, contributions are made to the study and numerical solution of eddy current models in three-dimensional and axisymmetric domains, considering both linear and nonlinear magnetic materials. In the second part, we approach the modeling and optimization of electrical machines in two-dimensional domains from multiple perspectives. In both cases we face challenges related to the development of new models and algorithms, together with the mathematical and numerical analysis of partial differential equation problems that provide theoretical support to numerical techniques already present in the literature.

Firstly, in Chapter 1, we focus on the mathematical and numerical analysis of a formulation for the time-harmonic eddy current problem in 3D bounded domains, combining a vector potential in conductors with a scalar one in the whole domain. We restrict ourselves to the case with electric ports, in which sources are given on the domain boundary, either in terms of currents or voltage drops prescribed by external power generators. Then, in Chapter 2, we address a nonlinear transient eddy current problem, including hysteresis effects, to perform the numerical simulation of magnetization and demagnetization processes. In this case, geometries present cylindrical symmetry, and two main situations are distinguished, depending on the current density living in, or being perpendicular to, the meridional section of the conducting domain. In the first case, it is usual to solve a problem defined only in the conducting part and written in terms of the magnetic field, while in the second one it is more common to use the so-called magnetic vector potential as it leads to a scalar problem.

In the remainder of the thesis, we study several problems related to electrical machines. First, we state a 2D transient magnetic problem that arises in the mathematical modeling of electrical machines. Indeed, the electromagnetic model of electrical motors is often based on describing the active zone of the device as a 2D distributed nonlinear problem because the magnetic cores are usually laminated media consisting of a large number of steel sheets. Moreover, the formulation defined on the cross-section of the machine is often coupled with circuit equations to model the end regions of the motor.

In Chapter 3, we study this 2D transient magnetic problem coupled with circuit equations, with sources given in terms of the remanent fluxes in permanent magnets and the potential drop per unit length in each conductor. In particular, we focus on showing that the continuous problem is well-posed and obtaining an error estimate for a finite element discretization. Then, in Chapter 4, we define and study an optimal control problem related to this model, in which we will minimise the losses in a permanent magnet synchronous motor, while we guarantee the generation of a certain minimum torque. Finally, in Chapter 5, we change the formulation to use more sophisticated circuit equations and incorporate motion. We use this model as the starting point for developing a methodology that seeks good approximations for the initial currents in the rotor bars of a squirrel-cage induction motor, allowing us to reach the steady-state of the machine in the shortest possible simulation time, avoiding the otherwise long transient state.

Axudas FPU do Ministerio de Educación, Cultura e Deporte.

A tese centrase no desenvolvemento dun método de proxección híbrido volumes finitos - elementos finitos para a resolución de fluxos incompresibles e fluxos compresibles a baixo número de Mach. Ademais, as ecuacións de Navier-Stokes incompresibles son acopladas co modelo de turbulencia k -e standard o que permite estudar réximes turbulentos. Co obxectivo de deseñar e analizar métodos de volumes finitos de alta orde emprégase a ecuación de convección-difusión-reacción unidimensional. En concreto, estúdanse dúas grandes familias de métodos numéricos: os esquemas tipo Kolgan e a metodoloxía ADER. Tendo en conta o método de proxección, proponse unha modificación da metodoloxía ADER dando lugar aos métodos Local ADER. Posteriormente, dita metodoloxía é estendida á resolución das ecuacións de transporte-difusión do problema tridimensional. Na etapa de proxección, utilízase un método de elementos finitos para obter a corrección das presións. Os estudos de converxencia e exactitude dos métodos propostos realízase mediante diversos tests académicos. Finalmente, abórdase a resolución de problemas clásicos no ámbito da dinámica de fluídos computacional.

Axudas para a etapa predoutoral da Xunta de Galicia 2013.
Axudas FPU 2013 do Ministerio de Educación, Cultura e Deporte.
Axuda da Fundación Barrie para estancias curtas.

Development of antenna arrays for terrestrial and satellite applications: Feasibility study of different solutions to monitoring the atmospheric pollution, determination of electromagnetic fields in urban scenarios and calculation of their dosimetry in small animals

The Fokker-Planck equation is a partial differential equation that describes the time evolution of the probability density function of the velocity of a particle under the influence of drag forces and random forces, as in Brownian motion. The equation can be generalized to other observables as well. The Fokker-Planck equation is often used to approximate the description of particle transport processes with highly forward-peaked scattering, then the Fokker-Planck equation is an asymptotic approximation to the linear Boltzmann equation.

In this thesis it is considered a new finite difference method and an iterative method to solve the Fokker-Planck equation when the angular flux depends on spatial, polar and azimuthal variables. Fourier technique is applied to split the problem into a set of azimuthal angle-independent problem.

Modeling, simulation and optimization of gas transport networks

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela e Julio González Díaz

A maioría dos países dispoñen dunha rede de infraestruturas para o transporte de gas aos seus potenciais clientes. Estes demandan consumos diferentes que o xestor da rede debe satisfacer da maneira máis eficiente posible. Por iso, cobra especial relevancia dispoñer dunha ferramenta informática que axude a realizar estas tarefas, con seguridade na subministración, pero tamén con custo mínimo. Na bibliografía existen numerosas referencias sobre traballos de investigación centrados nas aplicacións e, por tanto, apenas orientados á análise matemática dos modelos e métodos numéricos. A maioría refírense só á modelización e simulación numérica, pero nos últimos anos existe un interese crecente na optimización. Nesta tese preténdese profundar no estudo matemático destes temas e no desenvolvemento de técnicas matemáticas para a optimización do deseño e a operación de redes de transporte de gas. O primeiro paso será modelizar unha rede de gas como un grafo dirixido. Cada unha das arestas representará un conduto da rede coas súas propiedades físicas. Os nós asociaranse, principalmente, con puntos de consumo ou de emisión de gas e caracterizaranse tamén polas súas propiedades físicas. Facendo uso do grafo , exporase un primeiro sistema de ecuacións non lineais, composto polas ecuacións de conservación da masa nos nós e pola conservación da cantidade de movemento a través das arestas. Estas ecuacións permitirán coñecer o estado estacionario da rede e constituirán a ecuación de estado. A formulación do sistema deberá ir acompañado dunha análise matemática para verificar a existencia e unicidade de solución. Posto que o problema está baseado nun grafo, existen dificultades que tamén deberán ser analizadas, como son os problemas de conexión e a existencia de bucles de circulación de fluxo. A ecuación de conservación de cantidade de movemento é unha simplificación unidimensional dunha ecuación en derivadas parciais (EDP) tridimensional. Por tanto, resolverase esta EDP mediante diferenzas finitas para contrastar a devandita simplificación. Co mesmo obxectivo, construirase un modelo tridimensional dun conduto para a súa resolución mediante paquetes informáticos de simulación de fluídos. Á hora de optimizar aplicaranse técnicas de teoría de control, polo que en cada iteración resolverase a ecuación de estado coas variacións nas variables de deseño resultantes da aplicación do algoritmo de optimización. Ademais, empregarase un sistema baseado no estado adxunto para coñecer os gradientes da ecuación de estado con respecto ás variables de deseño. A parte de optimización tamén se articulará sobre unha análise matemática que abarca a existencia dun mínimo, a unicidade de solución e a caracterización do problema, é dicir, as condicións de optimalidade. A conxunción dos puntos mencionados darán como resultado un programa informático. O programa desenvolverase en Fortran xa que posibilita o tratamento de vectores e matrices de forma eficiente e o uso de orientación a obxectos.

BIBLIOGRAFÍA - J. André, J. F. Bonnans, Optimal structure of gas transmission trunklines. Optim Eng 12: 175–198 (2011). - A. Bermúdez, Continuum Thermomechanics. Birkhauser, Basel, 2005. - K. Ehrhardt, M.C. Steinbach, Nonlinear Optimization in Gas Networks. ZIB-Report 03-46. Konrad-Zuse-Zentrum fur Informationstechnik. Berlin 2003. - D. Mahlke, A. Martin, S. Moritz, A mixed integer approach for time dependent gas network optimization. Optimization Methods and Software, 25:4, 625-644 (2010). - A.J. Osciadacz, Simulation and Analysis of Gas Networks. Gulf Publishing Company. Londres. 1987.

Esta tese doutoral estuda métodos de series de tempo en dous campos que describimos a continuación:

Monitoraxe estrutural: Esta primeira liña de investigación inscríbese no marco da monitoraxe estrutural (SHM, Structural Health Monitoring)). O obxectivo é elaborar métodos que permitan avaliar o estado de saúde dunha estrutura (se contén dano ou non; localización do dano). Dado que a modelización de toda a estrutura e a resolución numérica do modelo sería demasiado custosa, propóñense métodos baseados simplemente na análise de series de tempo procedentes de sensores situados na estrutura (métodos baseados en vibracións). En particular, estes métodos baséanse na modelización mediante métodos autorregresivos dos sinais obtidos ao excitar a estrutura sa nunha primeira fase de aprendizaxe. A continuación, nunha fase de detección, trátase de comparar (mediante un contraste de hipótese) o comportamento dos sinais obtidos no estado actual co correspondente na fase de aprendizaxe. Os citados métodos foron aplicados con éxito a datos obtidos sobre unha torre de laboratorio que simula un aeroxerador. Adicionalmente traballouse sobre extensións deste método a situacións de gran interese práctico. Por unha banda facelos robustos ante condicións ambientais cambiantes (mediante PCA), e por outra incluír na modelización outros factores como a posición do dano, facendo posible a súa localización. Ditas extensións validáronse nunha pa de aeroxerador a escala.
Cálculo de coherencia múltiple sobre sinais non estacionarias para detección de fontes de ruído: o cálculo de coherencias implica a obtención das densidades de potencia espectral (autoespectros e espectros cruzados) dos sinais involucrados. Para iso os métodos clásicos baséanse tanto na transformada rápida de Fourier como en modelización paramétrica (métodos autoregresivos, por exemplo). Ambos métodos supoñen que os sinais son estacionarios (sinais WSS) o cal, en multitude de aplicacións (como o estudo do ruído na cabina dun ascensor), non se satisfai e motiva a extensión deste tipo de técnicas a situacións non estacionarias. Para realizar tal extensión, exploráronse dúas alternativas. A primeira delas, non-estruturada, consiste en dividir o sinal en bloques aplicando en cada un deles unha técnica para sinais estacionarios. Os autoespectros e espectros cruzados proporcionados teñen unha gran variabilidade en tempo que en ocasións tense que corrixir realizando medias en tempo (perdendo resolución). A segunda alternativa consiste en impoñer nos coeficientes do modelo autorregresivo unha dependencia temporal cunha estrutura imposta a priori. Iso reduce o número de parámetros que se deben empregar no modelado e a variabilidade temporal dos espectros calculados. Propóñense técnicas do tipo FS-TAR nas que a dependencia temporal realízase a través de proxeccións sobre espazos funcionais (que poden ser polinomios, funcións trigonométricas,...). O custo computacional destes métodos e a calidade das coherencias dependen en gran medida das ordes empregadas no modelado. Os métodos desenvolvidos validáronse sobre datos experimentais: medidas en cámara semianecoica con fonte en movemento e medidas realizadas no oco e cabina dun ascensor. O obxectivo final nesta liña é identificar as fontes predominantes de ruído en distintas situacións.

Development of a multidisciplinary and optimized design methodology for surface permanent magnets synchronous machines

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela e Irma Villar Iturbe

José Antonio Álvarez Dios e María del Carmen Muñiz Castiñeira

Bolsa predoutoral da Xunta de Galicia.

Análise matemática e numérica das ecuacións para augas pouco profundas: Aplicacións ás ciencias medioambientais

Lino José Álvarez Vázquez e Rafael Muñoz Sola

A presente memoria divídese en dúas partes:

A Parte I está dedicada ao estudo de certos problemas relacionados co medioambiente circunscritos ao ámbito dos ríos e canles. Dentro deste eixo destacan dous obxectivos primordiais: por unha banda, o estudo teórico dun modelo unidimensional para o fluxo fluvial; por outra, a aplicación deste modelo a situacións realistas de control ambiental, como son, a localización óptima dos puntos de mostraxe nun sistema de monitorización da calidade da auga nun río, ou a recuperación de tramos fluviais altamente contaminados mediante a inxección óptima de augas limpas.

A Parte II da memoria céntrase no estudo teórico e numérico das ecuacións de augas pouco profundas bidimensionais. Preséntanse varios problemas de aplicación destas ecuacións a situacións ambientais realistas. En concreto, abórdase o deseño e funcionamento óptimo das escalas para peces, estruturas hidráulicas que permiten aos peixes continuar as súas migracións fluviais a través de obstáculos construídos polo home.

En termos matemáticos o problema da construción de novas escalas para peces formúlase como un problema de optimización de forma, mentres que a xestión dunha escala xa construída dá lugar a un problema de control fronteira.

Numerical solution of the Boltzmann transport equation for photons and some equations derived from the Fokker-Planck approximation for electrons. Applicationto radiotherapy

Solución numérica do problema de conformado electromagnético

Modelización Matemática e resolución numérica de problemas de combustión de carbón pulverizado

José Luis Ferrín González e Alfredo Bermúdez de Castro

Proxectos:

Innovación en algoritmos de simulación de problemas non lineais procedentes de industrias de producción de aluminio e de materiais cerámicos (Ministerio de Educación e Ciencia: DPI2004-01993).
Innovación en algoritmos de simulación de problemas non lineais procedentes de industrias de producción de aluminio e de materiais cerámicos (Xunta de Galicia: PGIDIT05PXIC20701PN).

Contratos:

Estudo da obtención de gres para pavimentos rústicos usando residuos industriais como colorantes. Instituto de Cerámica.
Predicción de depósitos en caldeiras de carbón pulverizado na C.T. As Pontes (Endesa). Instituto de Cerámica.
Asesoramento científico-técnico sobre a depuradora, auga de balsas e lodos de aluminio. Instituto de Cerámica.

Como os problemas abordados na tese proveñen da metalurxia, móstranse aplicacións dos métodos numéricos a este tipo problemas.

Análise numérica e simulación en modelos de remodelado óseo

José Ramón Fernández García e Juan Manuel Viaño Rey

O óso é un tecido vivo que se atopa en estado de cambio permanente en resposta a sinais externas e internas. Así, a súa estructura modifícase como consecuencia das cargas aplicadas, inmobilización, influencias hormonais ou outros factores. Este proceso adaptativo denominase remodelado óseo.

Utilizando as ferramentas usuais da análise funcional aplicadas ás ecuacións en derivadas parciais estudiaremos matematicamente algúns dos modelos de remodelación de ósos máis usuais, ademais de propor e analizar esquemas de aproximación numérica para ditos modelos utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF) para a aproximación en espacio e o esquema de Euler explícito para a discretización das derivadas temporais. Programaranse en ordenador e validaranse con diferentes exemplos numéricos.

Proxecto "Análisis matemático y simulación numérica de modelos avanzados de comportamiento de materiales: aplicaciones en la industria, biomecánica y ortodoncia" do Ministerio de Educación e Ciencia. Referencia: MTM2006-13981.

Numerical resolution of water quality models: application to the closure of open pit mines

Alfredo Bermúdez de Castro e Peregrina Quintela Estévez

Durante máis de 25 anos LIMEISA veu extraendo lignito nunha explotación a ceo aberto situada na localidade coruñesa de Meirama. Uns meses despois do peche definitivo a finais do ano 2007, comezouse a encher con auga o oco da mina co obxectivo de xerar un lago artificial que permita a recuperación ambiental e paisaxística da zona. A posibilidade de que este lago non permaneza aillado, senón que poida conectarse a través do río Barcés co encoro de Cecebre, que abastece de auga á cidade da Coruña, fai que as súas augas deban cumprir a normativa vixente de verquidos a medios acuáticos naturais no momento final do enchido.

O problema medioambiental máis importante relacionado coa mina de Meirama é a presenza de sulfuros nas paredes da corta. Estes materiais, ao oxidarse, liberan acidez e metais pesados ao medio, o cal pode traer en consecuencia que a calidade final das augas do lago sexa inaceptable. Por outra banda, a oxidación de sulfuros é só o primeiro eslabón dunha cadea de reaccións químicas complexas que, en conxunto, determinarán a concentración das distintas especies químicas no lago. Ao mesmo tempo, a entrada de augas de distinta orixe e os patróns de circulación vertical do lago xogarán un papel importante na calidade final das augas.

A simulación numérica convértese nunha ferramenta indispensable á hora de poder cuantificar de xeito combinado todos os procesos implicados para así poder predicir a calidade final das augas do lago de Meirama. Este foi o principal obxectivo desta tese, que se compón de sete capítulos onde o seu contido se pode resumir nos puntos seguintes:

• Capítulo 1: Neste capítulo fíxose unha revisión bibliográfica exhaustiva de todos os procesos que interveñen na calidade das augas dun lago xerado no oco dunha mina a ceo aberto.

• Capítulo 2: As reaccións químicas que determinarán a calidade das augas do futuro lago de Meirama pódense clasificar a grosso modo en lentas ou rápidas. Neste capítulo introduciuse de xeito rigoroso, dende un punto de vista matemático, a teoría que rexe este tipo de reaccións por separado seguindo a notación de [1]. O casamento entre ambas escalas de reacción lévase a cabo mediante unha nova teoría matemática que implica o uso de multiplicadores de Lagrange. Esta nova formulación matemática supón un avance teórico con respecto á Teoría de perturbacións singulares para sistemas dinámicos (cf. [2]) xa que o problema resultante pódese resolver por sí mesmo para todas as especies químicas e non require dun tratamento posterior. Propóñense dúas técnicas de redución do problema completo formulado en termos dos multiplicadores de Lagrange.

• Capítulo 3: Proponse un algoritmo para a resolución numérica do problema químico formulado en termos dos multiplicadores de Lagrange e os resultados do problema completo compáranse cos dos problemas reducidos. Os resultados son os mesmos, pero o problema completo require dun maior esforzo computacional.

• Capítulo 4: Plantéxase o problema xeoquímico concreto para o caso da mina de Meirama considerando a teoría e a notación introducidas no Capítulo 2.

• Capítulo 5: Propóñense dous modelos para predicir a calidade final das augas dun lago xerado no oco dunha mina a ceo aberto: un modelo de tanque axitado, onde a concentración de todas as especies químicas é a mesma en cada punto e no que se teñen en conta as reaccións químicas descritas no Capítulo 2 así como a entrada de auga de diversas fontes, pero non os patróns de circulación vertical, e un modelo en tres capas, no que ademais das reaccións químicas e as entradas de auga de distinta orixe, cuantifícase a influencia da limnoloxía do futuro lago.

• Capítulo 6: Os resultados da aplicación dos modelos descritos no capítulo anterior ao caso particular do lago de LIMEISA móstranse neste capítulo. Para o modelo de tanque axitado fanse análise de sensibilidade con respecto á presenza ou non de reaccións químicas lentas e/ou precipitación de minerais secundarios, ao efecto da presenza de fracturas nas paredes da corta e á existencia de microorganismos acidófilos. No caso do modelo de tres capas, investígase a influencia de distintos coeficientes de convección que causarán unha maior ou menor mestura da columna de auga ao producirse unha inversión de densidade.

Dos resultados obtidos con respecto ao tanque axitado conclúese que as reaccións de parede teñen influencia na calidade final das augas, e que esta é maior canto maior sexa a superficie reactiva, que a precipitación é un proceso fundamental que ten que ser cuantificado en simulacións realistas e que a presenza de microorganismos acidófilos pode ser importante en termos de calidade de augas se se dan as condicións idóneas para a súa supervivencia. A adsorción parece non ser un mecanismo importante no caso do lago de Meirama.

En canto ao modelo de capas, obsérvase que os resultados son máis realistas e detallados que no caso do modelo de tanque axitado, e podemos comprobar cál é a diferenza entre considerar ou non mestura vertical.

Todos os resultados apuntan a unha calidade de augas aceptable para o futuro lago da mina de Meirama, a excepción da concentración de manganeso que excede lixeiramente o límite legal permitido en certos casos.

• Capítulo 7: As conclusións da tese recóllense neste capítulo así como certas recomendacións para futuros estudos continuadores deste.

Referencias

[1] Bermúdez, A. (2005): Continuum Thermomechanics. Birkhäuser

[2] Tikhonov, A.N., Vasileva, A.B. and Sveshnikov, A.G. (1985): Differential Equations. Springer-Verlag .

Diferentes estratexias para a análise e resolución numérica de problemas de xestión medioambiental en zonas costeiras

Lino José Álvarez Vázquez e Miguel Ernesto Vázquez Méndez

O principal obxectivo da tese é estudar, desde a óptica do control multiobxectivo de ecuacións en derivadas parciais, os problemas que xurden á hora de xestionar a depuración a realizar en cada unha das plantas que conforman un sistema de depuración de augas residuais.

Os problemas formúlanse, a partir dun sistema parabólico, como problemas de control multiobxectivo e estúdanse desde dous puntos de vista, cooperativo e non-cooperativo. Próbase a existencia de solucións, tanto dun equilibrio de Nash como de óptimos-Pareto, e establécense condicións de optimalidade para caracterizar esas soluciones. Analízanse os distintos modos de resolver numericamente os problemas formulados, impleméntanse esos métodos e compáranse as solucións obtidas, en diferentes situacións realistas formuladas na Ría de Vigo. Finalmente, preséntase unha toolbox de simulación numérica (SOS) que debe servir na toma de decisións relacionadas coa descarga de augas residuais e o seu impacto ambiental.

Simulación numérica dalgúns problemas de mecánica de fluidos con fronteira libre

Peregrina Quintela Estévez

Esta memoria trata sobre a simulación numérica bidimensional de fluidos bifásicos; separados por unha interfase que varia co tempo e na que se consideran os efectos da tensión superficial. Se leva a cabo unha análise comparativa de distintas metodoloxías Eulerianas e estratexias numéricas xa existentes na literatura para simular o transporte da interfase, calcular a súa curvatura ou evitar a difusión numérica dela cando o tempo avanza. Combínase unha formulación en conxuntos de nivel coa aplicación do método de elementos finitos estándar; posteriormente utilízase o método de elementos finitos extendidos que permite capturar de forma más eficaz a discontinuidade da presión na interfase.

Finalmente, realízase a análise matemática dun modelo asociado ao proceso de enchido dun molde; neste caso, o fluido considerado é unha espuma compresible, o comportamento da cal é non Newtoniano e, en xeral, non homoxénea. Obtense un resultado de existencia e unicidade de solución para espumas homoxéneas mediante técnicas de minimización de funcionais diferenciables convexos. Tamén dase un resultado de existencia para o caso de espumas non homoxéneas utilizando unha técnica de punto fixo.

Bolsa Mutis de MAE-AECI e Bolsa predoutoral para Iberoamericanos en etapa de tese da USC.

Mathematical analysis and numerical simulation of some nonlinear problems in solid mechanics

Patricia Barral Rodiño e Peregrina Quintela Estévez

No traballo presentado ao longo da tese pódense distinguir tres partes ben diferenciadas aínda que cunha temática común: o estudio matemático e a resolución numérica de problemas non lineais en mecánica de sólidos, que xorden de procesos físicos presentes nas industrias do aluminio e as cerámicas. Considéranse situacións reais onde aparecen distintas non linearidades: leis de comportamento de tipo viscoplástico, condicións de contorno tales como o contacto unilateral, etc.

• Parte 1. Procesos de colada de aluminio: Algoritmos eficientes para a súa simulación numérica. Na primeira parte da tese propoñemos dous algoritmos para resolver numericamente a deformación sufrida por unha placa de aluminio no proceso de colada. Considerase que o proceso de colada é un problema cuasi-estático para un sólido termo-elasto-viscoplástico cunha condición de contacto unilateral co falso fondo. Co obxectivo de mellorar a converxencia de algoritmos propostos anteriormente, propóñense novas estratexias numéricas para a resolución numérica deste proceso, tales como métodos xeneralizados de Newton, unha técnica de adimensionalización da lei constitutiva do aluminio, unha factorización parcial de Cholesky ou unha elección automática dos parámetros do algoritmo.

• Parte 2. Ensaio de flexión en tres puntos: Estudio matemático e simulación numérica. A segunda parte está dedicada á análise matemática do ensaio de flexión en tres puntos e ao cálculo do módulo de ruptura de materiais fráxiles. En primeiro lugar, demóstrase a existencia dunha solución única do problema elástico con condición de contacto unilateral sen rozamento correspondente ao ensaio de flexión en tres puntos e, para xustificar a fórmula clásica do módulo de ruptura, búscase o modelo límite do problema usando técnicas de análise asintótica. En segundo lugar, analizase analítica e numericamente, desde varias perspectivas, o módulo de ruptura de materiais fráxiles. En particular, danse catro aproximacións diferentes d módulo de ruptura: a través da fórmula clásica, a través de simulacións numéricas uni y tridimensionais, e usando unha fórmula mellorada para o módulo de ruptura obtida a través da análise asintótica.

• Parte 3. Un problema de elasticidade para soportes de procesos de catálise: O método de desdobramentos. O obxectivo da terceira parte da tese é estudar o comportamento asintótico dos soportes usados en procesos de catálise nun problema de elasticidade lineal, onde se considera que o soporte é unha estrutura formada por vigas, colocadas periodicamente e con ocos interiores. Considerase o método de desdobramentos, ou "unfolding method", que ofrece ferramentas para levar a cabo a análise asintótica e homoxeneización de diferentes estruturas formadas por un gran número de vigas, placas o membranas.

Métodos numéricos para problemas de convección difusión. Aplicación á convección natural

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

O proxecto de tese céntrase no estudo de problemas de convección-difusión. Como aplicación particular considéranse os procesos de convección natural. O obxectivo da tese é desenvolver métodos numéricos precisos e estables para problemas de convección-difusión. Neste traballo propuxemos dúas estratexias diferentes que descentran o térmo convectivo: métodos de características e métodos distributivos.

Estos métodos presentan boas propiedades, o que fan deles unha ferramenta eficaz para a resolución numérica de problemas de convección. Na tese presentamos diferentes métodos de características de segunda orde combinados con métodos de elementos finitos. Analízamos matematicamente un método de características enteiramente Lagrangiano para un problema de convección-difusión cuxo coeficiente de difusión pode ser dexenerado. Obtemos resultados de estabilidade e converxencia.

Presentamos os resultados numéricos obtidos con diferentes métodos de características. Verificamos as ordes de converxencia probados para o método enteiramente Lagrangiano que estudamos neste traballo. Unha boa alternativa aos métodos de características é o método PSI (Positive Streamwise Implicit). Na tese presentamos de forma rigurosa a técnica xeral de discretización do termo convectivo mediante os métodos distributivos. En particular, introducimos dous dos métodos distributivos máis importantes: o N-esquema (Narrow) e o PSI. Implementamos mediante programas de ordenador ditos métodos e verificamos os resultados que predí a teoría. Por último, con obxecto de testar os métodos propostos resolvemos un problema bidimensional de convección natural nunha cavidade cadrada donde as paredes verticais se encontran a distintas temperaturas e comparamos os resultados obtidos cos presentados por outros autores.

Debido ao amplo uso de estruturas sólidas anisótropas, o estudo da piezoelectricidade anisótropa faise cada vez máis importante. O obxectivo desta tese é estender a investigación de Álvarez-Dios&Viaño[1993,1996,2003] e Trabucho&Viaño[1996] a vigas elásticas anisótropas e presentar modelos asintóticos para vigas anisótropas piezoeléctricas.

Estes modelos son deducidos dunha forma rigorosa do problema tridimensional para unha viga anisótropa e piezoeléctrica baixo o efecto dun potencial eléctrico aplicado, primeiro, en ambos os dous extremos da viga e, segundo, sobre a superficie lateral.

Para analizar o comportamento asintótico da solución do problema de piezoelectricidade tridimensional cando o diámetro da sección transversal tende a cero, utilízanse as técnicas asintóticas tomando o diámetro da sección transversal como pequeno parámetro.

A memoria comeza cunha breve introdución ás ecuacións tridimensionais que describen a teoría da piezoelectricidade lineal: un problema de contorno para un sistema ecuacións en derivadas parciais acoplado que describe o equilibrio mecánico e o eléctrico, nas súas formulacións débil e forte.

Para a análise asintótica, comezamos por un cambio de variable a unha viga de referencia, o re-escalado das incógnitas e ao desenvolvemento asintótico da solución con respecto ao pequeno parámetro (o diámetro da sección transversal). A identificación dos primeiros termos do desenvolvemento conduce os seguintes modelos de vigas piezoeléctricas e anisótropas:

- Teoría de vigas unidimensional para unha viga piezoeléctrica anisótropa de clase 2 baixo un potencial aplicado en ambos os dous extremos (Capítulo 3). A caracterización dos desprazamentos de segundo orde é un paso esencial para chegar a este modelo e para demostrar a converxencia forte do desenvolvemento asintótico.
- Un modelo para vigas piezoeléctricas anisótropas de clase 2 con potencial aplicado na súa fronteira lateral (Capítulo 4). A converxencia débil do desenvolvemento asintótico discútese neste capítulo para vigas piezoeléctricas anisótropas de clase 6 mm.
- Un modelo de orde cero para un arco rebaixado composto dun material piezoeléctrico transversalmente isótropo con simetría de clase 6 mm, sometido a un potencial eléctrico en ambos os dous extremos (Capítulo 5).

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela e Rafael Muñoz Sola

Rafael Vázquez Hernández

A tese trata do estudo dun problema termo-magneto-hidrodinámico que aparece na simulación dun forno de inducción deseñado para fundir silicio. Con vistas á simulación numérica faise un estudo dun modelo electromagnético relacionado co forno, e introdúcense métodos numéricos axeitados para a discretización en tempo e en espazo. Inclúense resultados da simulación para un problema con simetría cilíndrica.

A tese tamén inclúe unha análise dun modelo matemático para un problema de magnetohidrodinámica, considerando efecto Joule e disipación viscosa na ecuación da calor. Próbase a existencia e unicidade de solución deste modelo, baixo hipóteses de datos pequenos.

Finalmente, introdúcese unha nova formulación do problema electromagnético que permite manter a xeometría orixinal do forno, sen considerar simetría cilíndrica.

Lino José Álvarez Vázquez

Francisco Javier Fernández Fernández

Un dos maiores problemas das grandes masas de auga é o concernente os altos nivéis de contaminantes con contido en nitróxeno e fósforo que chegan ata a auga. Estos contaminantes proveñen, principalmente, das actividades humans como a agricultura, a industria e o transporte. Unha parte de estos contaminantes poden ser empregadas como nutrientes polo fitoplancton, sen embargo, a saturación das costas con estos nutrientes pode producir un crecemento excesivo que pode producir efectos non desexados. Esta sobrecarga de nutrientes é o que se coñece como eutrofización.

Neste traballo analizamos matemática e numéricamente un modelo 3D para a eutrofización relativamente simple (pero realista), no que se consideran cinco variables biolóxicas: Nutriente xenérico, como por exemplo o Nitróxeno (como será o noso caso) ou o Fósforo, Fitoplancton, Zooplancton, Detritos Orgánicos e o Osíxeno Disolto. Tamén estudiamos como reducir as altas concentracións de nutrientes empregando biorreactores. A idea básica dun biorreactor consiste en estancar auga eutrófica (rica, por exemplo, en nitróxeno) en grandes tanques os cales engadimos unha certa cantidade de fitoplancton que deixamos medrar con fin de absorver o nitróxeno da auga. No problema particular que analizamos neste traballo, consideramos dous tanques coa misma capacidade pero con posiblemente diferentes xeometrías e intentamos controlar o proceso a través da cantidade de fitoplancton que engadimos ó comenzo do proceso (control sobre a condición inicial), a través da cantidade de fitoplancton que imos engadindo ó longo do proceso (control sobre o termo distribuído) e a través do tempo total que deixamos que o proceso evolucione en cada un dos tanques (control sobre o tempo).

Proxectos:

. Análise e control de problemas hidrodinámicos e o seu impacto medioambiental (2003-2006). Referencia BFM 200300373, dirixido por L.J. Álvarez Vázquez.

. Modelado e control de procesos hidrodinamicos en relacion co medioambiente (2006-2009). Referencia MTM 200601177, dirixido por L.J. Álvarez Vázquez

José Ramón Fernández García e Juan Manuel Viaño Rey

Marco Antonio Campo Cabana

Estúdanse unha serie de problemas en mecánica de sólidos dos cales o nexo común é a consideración do dano material. Os problemas considerados inclúen casos dinámicos e cuasiestáticos e distintos comportamentos materiais como son a elasticidade, viscoelasticidade con e sen memoria e elasto-viscoplasticidade.

Preséntanse para cada problema resultados de existencia e unicidade de solución, así como unha completa análise numérica dos problemas discretizados, detallando en cada caso as hipóteses a ter en conta para o bon plantexamento dos problemas. Dedúcense ademáis as condicións necesarias para a obtención da converxencia dos problemas discretizados e, para cada caso, preséntanse algunhas simulacións, resultado de programar no ordenador os esquemas numéricos estudados, obtendo o comportamento descrito no estudo teórico.

Some contributions in time-harmonic dissipative acoustic problems

Alfredo Bermúdez de Castro, Luis María Hervella Nieto y Rodolfo Rodríguez Alonso

Andrés Prieto Aneiros

O traballo presentado ao longo da tese enmarcase no dominio da frecuencia, é dicir, baixo a hipótese de dependencia harmónica da variable do tempo. De feito, a nosa atención centrarase en problemas de propagación acústica no réxime de baixas frecuencias, no que a discretización mediante un método de elementos finitos é aínda viable e non custosa,dende un punto de vista computacional. De feito, todos os métodos propostos para a resolución numérica dos problemas de propagación acústica ao longo da tese, teñen en común o uso dos elementos finitos. Pódense distinguir tres parte ben diferenciadas aínda que cunha temática común:o estudio de problemas de propagación acústica tanto en dominios limitados como non limitados que involucran materias disipativos. Nuns casos a materia de estudio serán o comportamento acústico dos materias porosos, mentres que noutros, ditos materiais usaranse como ferramenta numérica para tentar resolver outros problemas, como pode ser o truncamento de dominios computacionais non limitados.Na primeira parte, centramos a nosa atención no cálculo das frecuencias de resonancia e da resposta en frecuencia de materias porosos acoplados a fluídos acústicos en recintos limitados. Mentres a segunda parte dedícase á análise matemática e numérica da técnica das PML, a cal tamén pode ser considerado como un caso especial de medio disipativo. Finalmente, a última parte deste traballo mostra algunhas aplicacións computacionais que involucran medios porosos e que usan a técnica das PML para truncar o dominio non limitado que involucra o problema de propagación acústica.

A primeira parte Materiais porosos está dedicada ao estudio da propagación acústica en réxime harmónico a través de materiais porosos. Esta clase de materiais é amplamente usada en diferentes aplicacións do control pasivo do ruído. Estes materiais son ben coñecidos pola súa habilidade para disipar as ondas acústicas. Polo tanto, dende un punto de vista acústico, os materiais porosos posúen vantaxes relevantes fronte a outra clase de materiais xa que son lixeiros e absorbentes ao mesmo tempo, dúas características que os converten en fundamentais nas aplicacións acústicas á vida real. Esta primeira parte ten dous obxectivos fundamentais. Por unha parte, facer unha revisión dos modelos de medios porosos atendendo ás características físicas dos materias, xa sexan de parte sólida ríxida ou elástica, remarcando a diferencia entre os modelos clásicos e aqueles que apareceron recentemente, obtidos mediante as técnicas de homoxeneización. Por outra parte, a nosa atención tamén se centra na resolución numérica dalgún destes modelos, proporcionando ferramentas numéricas capaces de calcular as frecuencias de resonancia e a resposta en frecuencia de sistemas acústicos que involucran a estes materias porosos.

A segunda parte da tese Capas perfectamente adaptadas está dedicada ao estudio da técnica das PML ( Perfectly Matched Layers ). Primeiro introdúcense as ecuacións en derivadas parciais que definen o seu comportamento como orixinalmente fixo Berenger empregando o argumento da separación artificial das variables do problema (tamén coñecido como ``splitting'') para despois darlle unha interpretación física como medio disipativo que non produce reflexións espurias ao acoplarse cun fluído acústico. De feito a técnica das PML é ferramenta numérica que se usa ao longo deste traballo para truncar a dominio computacional dos problemas de dispersión acústica enunciados sobre dominios non limitados. Esta técnica permite reducir o dominio de ditos problemas sen perturbar demasiado a solución do problema orixinal. Sen embargo, o estudio das PML non se reduce á simple utilización da técnica senón que ao longo desta parte da tese se propón unha modificación que optimiza os resultados numéricos acadados nos problemas discretizados. Máis precisamente, ata o de agora para construír as capas PML usábase unha función absorbente limitada,que aínda que teoricamente adecuados, non producía un resultados numéricos óptimos nos problemas discretizados. Ao longo desta parte ademais de presentar esta técnica, se analizan dende un punto de vista teórico e numérico a solución destes inconvintes empregando unha función absorbente non integrable.

a terceira parte Aplicacións computacionais na acústica de medios disipativos , preséntanse algunhas aplicacións numéricas da técnica das PML e dos modelos de medios porosos que foron estudiados nas dúas primeiras partes. Primeiro, comparamos dous modelos diferentes que tratan de modelar medios disipativos: o modelo de Allard-Champoux, que se pode entender como un medio de reacción extensa (entendendo que o campo de presión nun punto espacial depende dos valores da presión que hai ao seu redor) e o modelo de impedancia de parede que se clasifica como un modelo de reacción local (xa que a presión na impedancia de parede depende unicamente do que ocorre nese punto espacial concreto). Os dous modelos son comparados en varios problemas de dispersión acústica enunciados en dominios non limitados. Despois, o cálculo do coeficiente de absorción é analizado para os modelos de medios porosos de parte sólida ríxida e para diferentes tipos de paneis de reacción local. En todos os casos, lévase a cabo unha análise preliminar con ondas planas e, ademais, a técnica das PML é usada para truncar o dominio computacional de interese físico en todos os problemas

Numerical analysis of second order Lagrange-Galerkin schemes. Application to option pricing problems

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela e Carlos Vázquez Cendón

María Rodríguez Nogueiras

Nesta tese estúdase a resolución numérica de ecuacións lineares, e non lineares, de tipo convección-difusión-reacción mediante un método de Lagrange-Galerkin de orde dúas. O estudo foi motivado por unha aplicación nas finanzas: a valoración de produtos financeiros de tipo derivado usando ecuacións en derivadas parciais.

Con máis detalle, o método de Lagrange-Galerkin introdúcese usando o formalismo da mecánica dos medios continuos e formulacións febles. Despois, estabelécense rigorosamente as propiedades de estabilidade e consistencia (orde dúas) do algoritmo. Ademais, abórdase o problema da cuadratura numérica, propoñendo fórmulas de cuadratura para elementos finitos de Lagrange, lineares e cuadráticos, que preservan a estabilidade do método (como se proba mediante unha análise de Fourier). Finalmente, móstranse algúns exemplos numéricos obtidos mediante un código implementado en FORTRAN, que ilustran e completan a nosa análise.

Fixándonos na aplicación en finanzas, realízase unha introducción á modelización en finanzas no marco de Black-Scholes, centrándonos nun tipo particular de opcións financieiras: as opcións asiáticas, para as que se deducen algunhas propiedades orixinais e se formula o problema matemático de valoración.

No caso das opcións asiáticas de tipo europeo, realízase a resolución numérica do problema de valoración empregando os métodos de Lagrange-Galerkin analizados, atendendo ás particularidades do problema concreto (por exemplo, optimízase a estructura alxebraica do algoritmo).

No caso das opcións asiáticas de tipo americano, a súa resolución numérica combina un algoritmo iterativo cos métodos de Lagrange-Galerkin. Máis precisamente, compáranse dous algoritmos iterativos baseados na formulación mixta do problema: o algoritmo de Bermúdez-Moreno e un algoritmo de conxunto activo de tipo quasi-Newton.

En ámbolos dous casos (de opcións asiáticas), os resultados numéricos aos que se chega son moi satisfactorios comparados con resultados obtidos usando métodos de Lagrange-Galerkin clásicos e con resultados da literatura obtidos con distintos métodos.

Bolsa de Formación do Profesorado Universitario, do Ministerio de Educación, Cultura e Deporte. (2001-2005). Proxectos:

Contrato de Investigación: "Numerical solution of models for pricing financial derivatives". Fundación Caixa Galicia. (2001-2003). Ivt. ppales: Alfredo Bermúdez e Carlos Vázquez.
Proxecto de Investigación: "Métodos de características elementos finitos para a simulación do calor por convección natural". (2003-2006) Ministerio de Educación, Cultura e Deporte. Ivt. ppal: Alfredo Bermúdez.

Análise variacional e numérica de problemas de contacto en viscoelasticidade con memoria longa.

Mircea Sofonea e Juan Manuel Viaño Rey

Ángel Daniel Rodríguez Arós

Os fenómenos de contacto involucrando corpos deformables abundan nos procesos industriais, coma por exemplo no sector automobilístico, o siderúrxico ou o da construcción, pero tamén na vida cotiá. Os exemplos disto son numerosos e variados, como se advirte simplemente con citar o contacto das pastillas de freo coa roda, dos pneumáticos coa estrada ou do arame cos "brackets" dentais en ortodoncia. En todos estes casos, o rozamento é un dos fenómenos tribolóxicos máis importantes asociados ó contacto. Por esta razón existe unha extensa literatura dedicada ó estudio das distintas formas de contacto e rozamento para unha ampla variedade de materiais. Con gran impulso dende os anos 60, a mecánica clásica modeliza estes fenómenos fortemente non lineais mediante inclusións diferenciais e aborda o seu estudio con argumentos da teoría de operadores maximais monótonos, o que conduce a formulacións en base a inecuacións variacionais. Os problemas sen rozamento constitúen unha primeira aproximación para o estudio de problemas máis realistas que si o teñan en conta.

Por outra banda, a investigación en mecánica de sólidos deformables veuse enriquecida nas últimas décadas coa superación dos clásicos modelos en elasticidade, que foran estudiados en gran detalle ó longo do século XX. A súa incapacidade para describir fenómenos reais coma, por exemplo, o endurecemento, a relaxación, as deformacións irreversibles ou o envellecemento fixo necesario o estudio de modelos máis complexos que nos permitan afrontar e dar cumprida resposta a estas dificultades.

O presente traballo pretende aportar unha contribución neste campo, realizando a análise matemática e numérica de varios problemas de contacto para unha clase concreta de materiais, os viscoelásticos de memoria longa. A principal característica destes materiais, dende o punto de vista mecánico, é que a evolución de tensións e deformacións non depende soamente do que lle estea sucedendo "agora" ó material, senon que depende tamén (en maior ou menor medida) do que lle teña sucedido "antes", isto es, da súa historia ou memoria. Na natureza, diversos tipos de polímeros, gomas, pastas e madeiras teñen un comportamento mecánico que se axusta a esta descrición.

Os contidos que se presentan na memoria son o resultado do estudio de diversos problemas de contacto en viscoelasticidade con memoria longa, con e sen rozamento e na súa maior parte están publicados ou pendentes de publicación en revistas internacionais da especialidade. As formulacións variacionais que se obteñen poden englobarse en dúas clases de inecuacións variacionais evolutivas diferentes. O primeiro tipo, que temos denominado "inecuacións variacionais con termo integral de tipo Volterra" está asociado ós problemas de contacto sen rozamento. O segundo tipo, que temos denominado "inecuacións variacionais integro-diferenciais de Volterra", a problemas de contacto con rozamento, maiormente. O seu estudio baséase fundamentalmente en argumentos da teoría de operadores monótonos en espacios de Banach e de punto fixo.

Polo tanto, o obxectivo deste traballo é dobre. Por unha banda, se estudian a existencia e unicidade de solución, as propiedades e maila aproximación numérica de dúas clases de inecuacións variacionais evolutivas, pero ó mesmo tempo, estes resultados teóricos son aplicados á análise variacional e numérica dunha variada gama de problemas de contacto con e sen rozamento para sólidos viscoelásticos de memoria longa. Entre estes podemos destacar o problema de contacto uniateral sen rozamento entre un corpo e unha fundación ríxida (Signorini) ou deformable (con resposta normal), o problema de contacto entre dous corpos deformables con condicións de non interpenetración nen rozamento, o problema de contacto biateral e rozamento de tipo Tresca entre un corpo deformable e unha fundación ríxida, o problema de contacto uniateral sen rozamento entre un corpo deformable e unha fundación semiríxida, e algúns outros máis.

En xeral, para cada problema de contacto, a nosa intención foi a de partir do modelo mecánico para cubrir nos seus aspectos teóricos e prácticos o estudio da existencia e unicidade de solución débil, a súa aproximación numérica, a análise do erro, e finalmente a implementación en ordenador dun algoritmo que permita realizar simulacións numéricas. Desta maneira, en cada capítulo ou sección se pantexan e estudian o problema de contacto na súa forma diferencial, na súa forma variacional, o problema aproximado con discretización espacial e mailo problema aproximado con discretización espacial e temporal.

Este traballo realízouse no marco da Acción Integrada Francia-España HF2001-0036. Ademais, é parte do proxecto ``Contacto de materiais viscoplásticos e viscoelásticos: formulación matemática e análise numérica'' do Ministerio de Ciencia e Tecnoloxía (referencia BFM2003-05357) e do proxecto ``New Materials, Adaptive Systems and their Nonlinearities; Modelling Control and Numerical Simulation'', que forma parte do programa da U.E. ``Improving the Human Research Potential and the Socio-Economic Knowledge Base'' (Contrato n: HPRN-CT-2002-00284).

Estudo matemático e resolución numérica de modelos que xurden no estudo dunha colada de aluminio.

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

María Victoria Otero Piñeiro

O primeiro obxectivo deste traballo é o estudo do compartamento térmico do aluminio durante o proceso industrial da colada. Os procesos de solidificación de aluminio nos que nos centramos son aqueles destinados á obtención de lingotes de grandes dimensións mediante a colada clásica e a colada electromagnética. Na colada clásica o aluminio líquido confínase mediante un molde, mentres que na electromágnética confínase gracias ao campo electromagnético. Ámbolos dous procesos industriais presentan características que os diferencian de outros procesos como o da solidificación nun molde, entre os que cabe suliñar o contacto directo da auga de refrixeración co bloque en formación, que provoca unha solidificación máis rápida, co obxectivo de mellorar a calidade do producto final.

Durante os dous procesos de colada hai que ter en conta os diferentes fenómenos que xurden ademáis do xa mencionado fenómeno térmico: os fenómenos electromagnéticos, hidrodinámicos e mecánicos. O fenómeno térmico involucra un cambio de estado e está acoplado cos demais fenómenos, aínda que neste traballo non considérase dito acoplamento.

O modelo matemático que presentamos consta dunha formulación tipo entalpía cun termo convectivo, que ten en conta o campo de velocidades no líquido debido ao campo electromagnético, que se supón coñecido. Este modelo permite ter en conta a posibilidade dun cambio de estado gradual (de modo que a entalpía sexa unívoca) ou un cambio de estado a temperatura fixa (a entalpía é multívoca). Suporemos que o material é homoxeneo co que os parámetros termofisicos con unicamente dependentes da temperatura. O modelo formúlase sobre un dominio tridimensional variable co tempo.

Co obxecto de probar que este modelo ten solución, presentamos un resultado de existencia nun marco abstracto. Mediante un cambio de variable axeitado, obtense unha formulación débil, nun dominio fixo, do modelo formulado inicialmente. O problema resultante enmárcase dentro da formulación abstracta correspondente ao resultado de existencia dado.

Para a resolución numérica preséntase unha formulación débil no dominio variable co tempo, e a continuación procédese a súa discretización cun esquema implícito en tempo, un método de elementos finitos lineais a cachos en espazo e próponse un algóritmo iterativo para resolver o problema non lineal resultante.

A segunda parte deste traballo centrase no estudo do proceso de solidificación de aleacións. Na meirande parte dos procesos industriais de colada, o material que se solidifica non é unha substancia pura, senón que trátase dunha aleación con varios compoñentes. Un dos fenómenos máis suliñables da solidificación dunha aleación é que, durante o cambio de estado, o líquido se enriquece de impureza mentres que o sólido se empobrece.

A diferencia do caso da solidificación dunha substancia pura, non soamente estúdase o comportamento da temperatura, senón que debemos obter a concentración dos compoñentes da devandita aleación. No caso dunha aleación binaria, formulamos un sistema de ecuacións en derivadas parciais para a temperatura e a concentración dun dos compoñentes durante o proceso de solidificación. Certos parámetros que interveñen nas ecuacións se supoñen dependentes das dúas incógnitas. Ademais, as ecuacións para a temperatura e a concentración de soluto están acopladas a través do chamado diagrama de fases da aleación.

Proxecto PGIDT00PXI20701PR Análise matemática e métodos numéricos en ecuacións en derivadas parciais. Aplicacións en física e enxeñería

Contribución ao modelado matemático dalgúns problemas na metalurxia do silicio

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

Francisco José Pena Brage

O obxetivo da tese é analizar desde un punto de vista analítico e numérico dos modelos matemáticos que aparecen nos problemaes ligados á metalurxia do silicio. O primeiro deles utilízase para estudar o comportamento termoeléctrico de electrodos metalúrxicos nun forno de arco. O segundo refírese ao modelado da colada de silicio. Desde un punto de vista matemático, tense un sistema non lineal de ecuacións en derivadas parciais. No caso do comportamento termoeléctrico de electrodos, o problema electromagnético obtense a partir das ecuacións de maxwell en baixa frecuencia e o problema térmico a partir das ecuacións de transferencia de calor en estado evolutivo. O acoplamento entrambos modelos é debido a que a fonte de calor no problema térmico é o efecto Joule e ao feito de que os parámetros físicos dependen da temperatura. No caso da colada de silicio sólo considérase a ecuación de transferencia de calor en estado evolutivo, ao non existir efecto Joule. Este desacoplamento permite considerar un novo efecto, o troco de estado en alguns materiais, que reflítese na multivocidade da entalpía.

O Capítulo 1 da primeira parte ten como obxetivo a descrición do problema físico da producción de silicio e en particular do funcionamento dos electrodos do forno e súas diferentes compoñentes. Na derradeira parte do capítulo faise un resumo dos artigos da bibliografía que propoñen modelos matemáticos para o estudo dos electrodos e/ou presentan resultados numéricos derivados de esos modelos.

No Capítulo 2 abórdase a descripción das ecuacións que interveñen nos modelos matemáticos, detallando a súa deducción e posibles variantes. Iníciase o capítulo coas ecuacións do electromagnetismo de Maxwell; escríbense as ecuacións simplificadas para baixa frecuencia, corrente alterna e corrente continua. No seguinte apartado analízase a ecuación de transferencia de calor e a súa escritura en varios casos: con ou sen cambio de estado, con dependencia dos parámetros respecto do punto espacial,... Como colofón, introdúcese un problema semellante, o coñecido como problema do “thermistor” do que existe ampla bibliografía, preséntase un cadro comparativo cos artigos que estudan aspectos teóricos do problema termoeléctrico acoplado. Vemos que na maior parte dos artigos que abordan este tema non se fai fincapé no término da entalpía e en xeral, ésta se toma igual á temperatura.

No Capítulo 3 demostramos un resultado de existencia para o noso modelo nun dominio tridimensional. Na parte térmica considérase a existencia dun cambio de estado “gradual”, de forma que a entalpía non sexa multívoca. Existen varios materiais, o que se traduce en que os parámetros termoeléctricos poden depender do punto espacial. Na parte electromagnética a principal suposición que faremos será que a corrente é cuasi-estacionaria. A corrente poderá ser variable no tempo (non necesariamente alterna). Pretendemos así investigar un problema máis sinxelo que o correspondente ao cambio de fase a unha temperatura dada, pero analizado nun marco axeitado para a súa extensión a este derradeiro caso. Na parte térmica, o térmo da entalpía lévanos a ter que usar operadores de substitución para poder tratala derivada temporal da entalpía.

O Capítulo 4 céntrase no estudo numérico dun modelo axisimétrico para un único electrodo, polo que se usan as coordenadas cilíndricas. O algoritmo baséase nunha semidiscretización en tempo mediante un esquema implícito e un método de elementos finitos, continuos lineais a trozos en espacio.

O Capítulo 5 adícase á descrición dun paquete informático programado en fortran que implementa o algoritmo anterior. Este programa dispón dunha interfaz gráfica que permite ao usuario modificar unha ampla gama de parámetros antes de realizar a simulación numérica. Asimesmo, permítelle visualizar os resultados obtidos. Un exemplo da simulación do estado evolutivo dun electrodo ELSA é mostrado, baixo condicións realistas.

Na segunda parte deste traballo analizamos outro proceso físico ligado á producción de silicio. Trátase do enfriamento do silicio, unha vez que sae da cuba, sobre placas de cobre refrixerado.

O Capítulo 1 desta segunda parte descrebe o problema físico do enfriamento do silicio cando se utiliza unha mesa de colada continua.

O Capítulo 2 presenta un resultado de existencia para un modelo bidimensional da placa. Considérase a ecuación do calor con termo fonte nulo e condicións de contorno de tipo “convección—radiación”. A diferencia do problema dos electrodos, neste caso, poderemos probar un resultado de existencia que contemple o cambio de fase. A pesar de que, na realidade, o silicio móvese sobre a mesa de colada, o resultado require velocidade nula. A principal dificultade do problema reside en que a transmisión de calor entre o silicio e a placa é imperfecta, sendo descoñecida a resistencia de contacto que establécese entrambos. Aproveitando o feito de que a calor evacuada pola placa é coñecida, demóstrase entón un resultado de existencia de solución para cada calor experimental dada.

No Capítulo 3 se descríbese un algoritmo numérico para un modelo bidimensional correspondente á sección media da placa. Un método de punto fixo permite axustar a resistencia de contacto que devolve a calor evacuada obtida experimentalmente.

Finalmente, no Capítulo 4 móstranse os resultados obtidos utilizando un programa de ordenador que implementa o algoritmo anterior. Os datos utilizados para tal simulación correspóndense na orde de magnitude coa situación real en pranta.

Proxectos:

FEDER-CICYT 1FD97.0280 Simulación numérica termo-electromagneto-hidrodinámica dun forno de inducción..
Modelo matemático de colada continua de ferroaleacións (Ferroatlántica).
Modelizacion matemática e simulación por ordenador de electrodos, coladas e procesos de purificación na industria do silicio (Ferroatlántica) ano 2002.
Modelizacion matemática e simulación por ordenador de electrodos, coladas e procesos de purificación na industria do silicio (Ferroatlántica) ano 2003.

Contribución ao estudo de modelos matemáticos en acústica e interacción fluído-estructura

Alfredo Bermúdez de CastroLópez-Varela e Rodolfo Rodríguez Alonso

Duarte Santamarina Ríos

O traballo realizado tivo por obxecto introducir, analizar e resolver numericamente modelos matemáticos de acústica disipativa e da interacción fluído-estructura.

En primeiro lugar desenvolvéronse e deducíronse por procedementos relativamente rigurosos, as ecuacións da acústica disipativa, na súa formulación máis xeral, considerando que a disipación pode ser de índole dinámica e térmica. linealizáronse as ecuacións facendo uso de técnicas estándar co fin de analízalas de xeito matemático e poder implementalas computacionalmente. Presentáronse diversas formulacións do problema utilizando distintas variables para describir o comportamento do fluído. As ecuacións que se obtiveron comparáronse coas que aparecen na bibliografía existente sobre este tópico para ver que eran coincidentes. Ademais amosáronse outras novedosas, como son por exemplo a formulación en desprazamento ou a de desprazamentos e temperatura.

Na segunda parte da memoria analízouse unha das formulacións do problema da acústica disipativa presentadas no capítulo primeiro: a formulación en desprazamentos e temperatura. O estudo realizado consistíu na análise do problema evolutivo onde se obtivo a existencia e unicidade do mesmo; discretízouse temporalmente por elementos finitos e estudiáronse dúas discretizacións temporais da mesma. Compróbouse tamén a converxencia temporal dos métodos.

No terceiro capítulo estúdouse un problema de interacción fluído-estructura propiamente, o problema de elastoacústica en formulación en desprazamentos. No dominio das frecuencias estes problemas foron amplamente analizados e a extensa cantidade de referencias bibliográficas sobre o particular dan testemuña delo. Pola contra, os traballos existentes no dominio do tempo sobre o tópico son relativamente escasos. estúdouse, do mesmo xeito que no capítulo previo, a existencia e unicidade de solución e preséntouse unha discritización temporal da que se probou a súa conversencia. Impleméntouse computacionalmente e observáronse as boas características do esquema proposto (esquema conservativo, orde 2).

Para rematar, no último capítulo resólveuse un problema de hidroelasticidade. Trátase dun problema tridimensional no que o fluído ten unha fronteira libre e o sólido é unha placa sumerxida. Os modos de vibración calculados mediante un método de elementos finitos foron comparados con éxito a valores obtidos experimentalmente.

Estadías:

FONDAP Matemática Aplicada e CONICYT-Chile en 2 estadías de investigación.
Xunta de Galicia: Secretaría Xeral de I+D no seu Programa de Recursos Humanos: "Bolsas para estadías no estranxeiro e en centros españois situados fóra da Comunidade Autónoma" PGIDT01PX e PGIDT02PX.

Proxectos:

Recubrimientos híbridos pasivo-activos para a absorción do ruido de banda ancha. Proxecto Programas Nacionais DPI2001-1613-C02-02 Do 28/12/2001 ao 27/12/2004. Ministerio de Ciencia e Tecnoloxía.
Análise matemática e métodos numéricos en ecuacións en derivadas parciais. Aplicacións en Física e Enxeñería. (Participante) Proxecto Programas Autonómicos PGIDT00PXI20701PR Do 28/07/2000 ao 31/12/2002.

Mathematical and numerical analysis of some electromagnetic problems. Application to the simulation of metallurgical electrodes.

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela e Rodolfo Rodríguez Alonso

María del Pilar Salgado Rodríguez

O obxectivo da tese é introducir e analizar un modelo matemático tridimensional para estudar o comportamento termoeléctrico de electrodos metalúrxicos nun forno de arco. Desde un punto de vista matemático o modelado termoeléctrico de electrodos da lugar a un sistema non lineal de ecuacións en derivadas parciais para os campos electromagnéticos e a temperatura. En concreto, o problema electromagnético obtense a partir das ecuacións de Maxwell en baixa frecuencia e réxime harmónico e o problema térmico a partir da ecuación de transferencia de calor en estado estacionario. O acople entrambos modelos é debido a que a fonte de calor no problema térmico é o efecto Joule e ao feito de que os parámetros físicos dependen da temperatura. Na memoria estúdase o problema acoplado e unha parte importante da investigación se centra no estudo e a resolución numérica do problema electromagnético.

O Capítulo 1 ten como obxectivo a descrición do problema físico e dos modelos matemáticos a estudar.

Na primeira parte do capítulo descríbese detalladamente o problema físico que ten lugar un forno eléctrico para a producción de silicio así como a problemática dos electrodos. A continuación, intodúcese o modelo electromagnético no forno completo, considerando condicións de contorno adecuadas para resolver o problema nun dominio acotado que conten conductores e dieléctricos. Dado que este modelo é bastante complexo e a súa resolución numérica supón un alto costo computacional, é importante dispoñer de modelos máis sinxelos que describen separadamente os compoñentes do forno. Por iso, proponse un modelo electromagnético sobre un único electrodo e con condicións de contorno adecuadas desde un punto de vista das aplicacións.

Os dous modelos electromagnéticos derivan en interesantes problemas matemáticos que son estudados nos siguientes capítulos. Finalmente, intodúcese un modelo térmico estacionario que será acoplado co modelo electromagnético.

No Capítulo 2 abórdase o estudo matemático e a resolución numérica do problema electromagnético sobre o forno completo. O dominio de cálculo inclúe neste caso conductores e dieléctricos. En consecuencia, seguindo as ideas de Bossavit e Verité intodúcese una formulación débil do problema en termos dun campo magnético non conductor e dun potencial escalar magnético non dieléctrico. Considéranse problemas relacionados coa topoloxía do dominio, concretamente, contémplase a posibilidade de que o dominio dieléctrico non sexa simplemente conexo o cal conduce a traballar cun potencial multievaluado no dominio.

Proponse un método de elementos finitos para a resolución numérica do problema e próbanse estimacións de erro baixo hipóteses de regularidade suficientes sobre a solución.

O capítulo se completa coa descrición de técnicas numéricas para implementar eficientemente o método numérico en ordenador e preséntanse resultados numéricos que mostran as propiedades de converxencia probadas teoricamente.

No Capítulo 3 analízase desde un punto de vista matemático e numérico o problema electromagnético sobre un único electrodo, é dicir, sobre un dominio conductor e acotado.

A idea máis novedosa do modelo é a introducción de condicións de contorno directamente relacionadas coas intensidades de corrente impostas no electrodo. Ademais, analízase un problema relacionado con este, donde o dato de contorno sería o fluxo de corrente en lugar das intensidades. Trátase de condicións de contorno que non son esenciais nin naturais, polo que se impoñen mediante a introducción dun multiplicador de Lagrange. As formulacións mixtas resultantes analízanse matematicamente seguindo as técnicas clásicas e proponse un método de elementos finitos para a súa resolución. Dependendo da regularidade dos datos estúdanse diferentes problemas discretos para os que obtense resultados de converxencia baixo hipóteses de regularidade sobre a solución. A última sección do capítulo inclúe diferentes resultados numéricos.

No Capítulo 4 se acopla o problema electromagnético co problema térmico.

A primeira parte do capítulo está dedicada ao estudo matemático do problema continuo e inclúe un teorema de existencia de solución. Desde un punto de vista matemático trátase dun problema similar ao do "thermistor" pero non é posible utilizar as técnicas utilizadas nestes problemas. Isto é debido, a que no noso caso os parámetros físicos non só dependen da temperatura senón tamén da posición e por outra parte a incógnita do problema eléctrico non é un potencial escalar como ocorre habitualmente no problema do thermistor.

Como consecuencia, é necesario utilizar técnicas para problemas elípticos que conteñen segundos membros en L1.

Na segunda parte do capítulo intodúcese a resolución numérica do problema acoplado e descríbense os algoritmos iterativos propostos para resolver as diferentes non linealidades que presenta o problema.

A última parte do capítulo recolle resultados numéricos correspondentes á simulación de electrodos reais.

Contribución ao estudoo de problemas de simulación elastoacústica e control activo do ruido

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela e Rodolfo Rodríguez Alonso

Este traballo consta de tres partes relacionadas, cada unha corresponde a un capitulo. O traballo está enfocado ao desenvolvemento de ferramentas de cálculo eficientes para o deseño acústico de recintos e para o deseño de sistemas de control pasivo-activo do ruído.

No primeiro capítulo estúdase o problema do cálculo das vibracións libres dun sistema elastoacústico non disipativo. O cálculo destes modos propios permite, entre outras cosas, determinar para que frecuencias prodúcense niveis altas de ruído no fluído, o cal é interesante, tanto desde o punto de vista do deseño de recintos (automóbiles, avións,.) como á hora de implementar un sistema de Control Activo do ruído para reducir o nivel de ruído.

En xeral, a disipación no interior do fluído debida a súa viscosidade soe ser desprezable, sen embargo, para poder estudar o efecto que teñen sobre o sistema as técnicas pasivas de reducción do ruído (control pasivo), é fundamental modelala disipación debida a materiais viscoelásticos (impedancias de parede) colocados entre o fluído e a estructura.Neste caso, o problema de valores propios que obtense para o sistema elastoacústico con disipación é non lineal, o que complica notablemente a súa resolución, incluso en casos moi sinxelos. Unha alternativa consiste en determinalas frecuencias de resonancia facendo un varrido en frecuencias. É dicir, obter a denominada curva de resposta en frecuencia do recinto. Para iso, é necesario resolver para cada frecuencia un problema fonte. Por un lado, esto simplifica o problema pero, por outro lado, se fai moi custoso desde un punto de vista computacional, xa que o número de frecuencias necesario para obter unha representación adecuada da curva de resposta soe ser grande.

O segundo capítulo apunta nesta dirección. Estúdase por simplificidade o problema fonte para un sistema acústico disipativo (fluído sen viscosidade pero con impedancias de parede) sen acoplamiento cunha estructura, o efecto desta modélase a través de condicións de contorno adecuadas. Ao ser problemas harmónicos, o modelo que obtense é a ecuación de Helmholtz. As técnicas analizadas neste capitulo permiten obtela curva de resposta en frecuencia para unha cavidade que contén un fluído acústico sen viscosidade e nas súas paredes pode haber materiais viscoelásticos (sistema acústico disipativo). Non parece complicado estender estas técnicas ao caso acoplado, é dicir, ao sistema elastoacústico con impedancias de parede. Ademais, se inclúe neste capitulo o estudo do caso no que o termo fonte é do tipo delta de Dirac, este estudo é fundamental para poder abordar o problema de Control Activo do Ruído que analízase no terceiro capitulo.

No último capitulo estúdase un problema de Control Activo do ruído para un sistema acústico disipativo como o que analízase no segundo capitulo. Este problema consiste en determinar as posicións, amplitudes e fases dunha serie de actuadores, modelados como deltas de Dirac (monopolos), para minimizar o nivel de ruído arónico nunha serie de puntos dun recinto. O ruído que deséxase reducir (denominado ruído primario) é debido á vibración armónica da fronteira (corresponde ao efecto da estructura sobre o fluído) e modélase cunha condición de contorno adecuada. De novo, estender os resultados ao caso dun sistema acoplado elastoacústico con impedancias de parede non parece complicado.

Bolsa predoutoral da Xunta de Galicia.

Bolsa FPU do Ministerio de Educación e Ciencia.

Análise numérica de problemas de contacto sen rozamento en viscoplasticidade

Juan Manuel Viaño Rey

José Ramón Fernández García

Nesta tese estúdanse, desde o punto de vista matemático e numérico, os siguientes problemas cuasiestáticos de contacto en viscoplasticidade:

Problema de contacto cun sólido deformable de resposta normal: Establécese a existencia e unicidade de solución débil, proponse un esquema de resolución utilizando o método dos elementos finitos e o esquema de Euler implícito. Derívase un resultado da estimación do erro e concluese con algunhas experiencias numéricas que mostran a eficacia do algoritmo.
Problema de contacto cun sólido ríxido (Signorini): Utilizando un problema estudado de Rochdi desde o punto de vista matemático e un esquema introducido por Han e Sofonea, impleméntase e mostranse algúns exemplos numéricos que comproban as estimacións do erro teóricas. Ademais, verifícase numericamente a converxencia da solución do problema anterior hacia a solución deste.
Problema de contacto entre corpos viscoplásticos: Considérase o problema estudado por Rochdi e Sofonea e esténdsee os resultados de Han e Sofonea o caso de considerar mallados incompatibles usando as ideas de Ben Belgacem, Hild e Laborde. Propóñense dúas formas de discretización espacial usando o operador de unión (presentado na tese de Hild) e o operador de interpolación de Lagrange. Aproxímase en tempo mediante o esquema de Euler implícito, dedúcense estimacións do erro en cada caso e estúdanse diversos exemplos numéricos.

Ademáis, para cada un dos problemas anteriores analízanse problemas análogos cunha variante da lei constitutiva obtida ao considerar variables de estado internas.

Análise matemática e simulación numérica do comportamento termomecánico dunha colada de aluminio

Peregrina Quintela Estévez

Patricia Barral Rodiño

Na memoria estúdase un modelo matemático que describe o comportamento termomecanico dunha placa de aluminio durante o proceso de colada. Trátase dun problema de evolución cuasi-estático para materiais viscoelásticos de Maxwell-Norton, formulado nun dominio tridimensional que varia co tempo, cunha condición de contacto nunha parte da fronteira.

As principais dificultades que xurden na resolución numérica deste problema son a imposición da condición de contorno que reflicte a presión metalostática exercida polo aluminio liquido sobre a zona xa solidificada, o tratamento da condición de contacto e a non linealidade da lei viscoelástica. A utilización dun método de dominio ficticio permite implementar numericamente a presión metalostática dunha forma sinxela, si ben é necesario conocer os parámetros mecánicos que débense considerar na lei de comportamento de dito dominio ficticio. Estes parámetros se obteñen a partir dun análise asintótica do problema. Para tratar a condición de contacto e evitar a non linealidade da lei viscoelástica se utilizan técnicas de operadores maximais monótonos.

A formulación variacional proposta discretízase en espazo mediante un método de elementos finitos e en tempo mediante un esquema implícito.

O algoritmo construído valídase con varios exemplos académicos. Ademais, preséntanse as deformacións obtidas na simulación de diversos procesos de colada e compáranse estes resultados con datos experimentais.

Finalmente, demóstrase a existencia de solución do submodelo obtido ao eliminar a dependencia do dominio con respecto ao tempo e da lei constitutiva con respecto á temperatura.

Bolsa IGAPE, contratos con INESPAL

Métodos de elementos finitos e reducción modal para problemas de interacción fluido-estructura

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela e Rodolfo Rodríguez Alonso

Luis María Hervella Nieto

Nesta memoria se propón e analizan diversos métodos numéricos para o cálculo dous modos de vibración dun sistema formado por unha estructura elástica e un fluído compresible. Consta de dous capítulos e un apéndice.

No primeiro capítulo considérase que a estructura elástica é unha placa. Descríbese un modelo para as vibracións do sistema placa-fluido, que resulta de acoplar as ecuacións de Reissner-Mindlin para a placa coas ecuacións para pequenos movementos dun fluído compresible non viscoso en dimensión tres, e formúlase o correspondente problema espectral. Descríbese unha discretización por elementos finitos baseada en elementos MITC3 para a placa e elementos de Raviart-Thomas para o fluído. Demóstrase a converxencia dos autovalores e as autofuncións do problema espectral discreto hacia as do problema espectral continuo con orde óptimo. Preséntanse así mesmo resultados numéricos ilustrativos do método numérico proposto.

Neste primeiro capítulo considérase tamén un modelo para o sistema que resulta de introducir entre a placa e o fluído unha fina capa dun material aislante. estúdanse un problema fonte, un problema non lineal de autovalores asociado ao problema fonte e un problema simplificado, formúlase a discretización destes problemas e móstranse os correspondentes resultados numéricos.

No segundo capítulo considérase un sistema formado por unha estructura elástica que encerra un fluído compresible en dimensión 2. Estúdase o problema espectral en formulación potencial/desplazamiento, así como a súa aproximación mediante o método de reducción modal. Se efectúa unha descrición completa do método de reducción modal, tendo en conta que na práctica este combinárase cunha discretización mediante elementos finitos no fluído e no sólido. Obtéñense estimacións de erro que teñen en conta tanto a reducción modal como a discretización por elementos finitos. Neste segundo capítulo tamén estúdase unha discretización directa do problema espectral en potencial/desprazamento e móstranse resultados numéricos correspondentes aos métodos nel descritos.

Bolsa FPU e Acción Integrada Hispano-Francesa: HF98-167.

Análise e control óptimo de problemas relacionados coa dispersión de contaminantes

Aurea María Martínez Varela e Carmen Rodríguez Iglesias

Miguel Ernesto Vázquez Méndez

Preséntase un modelo bidemensional de dispersión de contaminantes en medios mariños que permite obter modelos relativos a certos indicadores de polución moi utilizados; entre eles, un modelo acoplado de Demanda Biolóxica de Osíxeno (DBO) e Osíxeno Disolto (OD). Lévase a cabo tamén a resolución numérica de ditos modelos.

Formúlase, utilizando o modelo acoplado anterior, un problema de xestión óptima dun sistema de depuración de augas residuais vertidas ao mar. So fórmula este como un problema de control puntual con restriccións puntuais sobre o control e sobre o estado. Estúdase matematicamente o problema e demóstrase a existencia de control óptimo, establecendo así mesmo un sistema de optimalidade. Abórdase a resolución numérica do problema de control discreto utilizando un método de puntos adminisibles e contrástanse os resultados utilizando tamén un algoritmo de programación cadrática sucesiva. Por último, preséntanse resultados numéricos obtidos en situacións realistas sobre diferentes rías galegas.

Estudo asintótico do fenómemo de St. Venant e de modos propios en vigas elásticas lineais

Juan Manuel Viaño Rey

Hipólito Irago Baúlde

Nesta tese analizamos varios tópicos correspondentes ao sistema de elasticidade lineal en vigas prismáticas. Para iso nos servimos do método asintótico, donde o diámetro da sección transversal da viga xogará o papel de pequeno parámetro.

Así, na aproximación da solución reescalada do problema estacionario polo desprazamento de Bernoulli-Navier, término de orde cero do desenvolvemento asintótico, o erro en norma H1 é de orde da raíz cadrada do diámetro da sección. ao mesmo tempo facemos un análise da parte principal (capa límite) do residuo de orde cero, evidenciando formalmente o decaimiento exponencial de aquela na proximidade dous extremos da viga. Demostramos logo, de forma rigorosa en términos da enerxía axial de deformación, este decaimiento para o caso do problema estacionario libre.

No ámbito do sistema evolutivo xustificamos, os modelos unidimensionais de tracción e torsión dando un resultado de converxencia forte.

Respecto do problema espectral obtemos aportacións de segundo orde para os autovalores e autofuncións límite de flexión. Xustificamos finalmente os modelos espectrais de elongación-torsión unidimensionais como límites asintóticos de familias de autoelementos 3D con índice tendendo a infinito cando o diámetro da sección transversal tende a cero.

Proxectos:

Shells: Mathematical modelling and analysis, scientific computing, do programa "Human Capital and Mobility (HCM)" da Comisión das Comunidades Europeas con participación de 9 Laboratorios Europeos de Alemania, España, Francia, Italia e Portugal. Ref. Contrato ERBCHRXCT 940536. 1995-97.
Desenvolvemento dunha teoría de hipervigas elásticas e a súa aplicación en enxeñería, proxecto coordinado co Departamento de Mecánica de Medios Continuos da ETSCCP da Universidade Politécnica de Madrid e financiado pola "Dirección General de Enseñanza Superior" (DGES). Ref. PB95-0862-C02-01. Seetembro 1996-setembro 1999.

Algunhas contribucións á modelización matemática de procesos de combustión de carbón

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

José Luis Ferrín González

Nesta tese proponse un modelo matemático que describe o comportamento dos fenómenos que ocorren no interior dunha caldeira de carbón pulverizado, das utilizadas nunha central térmica, e danse as ferramentas para resolvelo. Ademáis construese un programa de ordenador que, por medio dun interfaz gráfico, permite simular unha caldeira de carbón pulverizado de maneira sinxela.

Matematicamente, trátase dun problema de dous fases acopladas formado por ecuacións diferenciais ordinarias e en derivadas parciais relativas a ambas fases: a sólida e a gaseosa. A fase gaseosa establece as condicións ambientais nas que queímanse as partículas e a fase sólida proporciona fontes para a mezcla gaseosa.

Para a fase gaseosa considérase un modelo euleriano mentres que para a fase sólida faise unha descrición lagrangiana.

As ecuacións da fase sólida forman o chamado modelo de combustión, asociado ás partículas de carbón. Para iso considérase un modelo cinético simplificado formados por varias reaccións globais que teñen en conta a liberación da humidade, a liberación e combustión dos volátiles e a gasificación do "char".

Parcialmente cunha bolsa de ENDESA.

Espacios de distribucións, operadores acretivos e radiación térmica

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

A memoria consta de duás partes independentes que derivaron dun único tema central, que é o estudo das ecuacións de transferencia de calor por radiación. Esas dúas partes se corresponden cos capítulos 1 e 2 da memoria.

No capítulo 1 abórdanse varias cuestións relacionadas co espazo de distribucións sobre un pechado V, D'(V). Este espazo está vinculado á ecuación do transporte de neutróns, que é moi similar á ecuación de transferencia da intensidade da radiación.

O capítulo 2 se centra no sistema de EDPs formado pola ecuación da enerxía e pola ecuación de transferencia da intensidade da radiación nunha situación na cal o gas está inmóbil, no hai conducción e hai unha fonte de calor coñecida f(x,t). Próbanse resultados de existencia e unicidade de solución xeralizada ("MILD SOLUTION") facendo uso da teoría lineal de semigrupos en espazos de banach non reflexivos.

Parcialmente no proxecto "Control óptimo de sistemas de combustión" de ENDESA.

A numerical method for the computation of guided waves in integrated optics

Patrick Joly e Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

María Dolores Gómez Pedreira

Nesta tese formúlase e estuda un novo método numérico para o cálculo de modos guiados en guías de ondas abertas. Considérase unha guía obtida ao perturbar unha guía de referencia estratificada composta por unha capa central de espesor finito e dos exteriores de espesor infinito, estando a perturbación confinada nunha rexión acotada da capa central. Desde o punto de vista matemático, a determinación dos modos guiados constitúe un problema de autovalores para un operador elíptico autoadxunto de segunda orde formulada na sección transversal da guía. a dificultade esencial deste problema provén da non acotación do dominio.

O método proposto involucra dúas reformulacións do problema e tres aproximacións numéricas. En primeiro lugar, transfórmase o problema orixinal nun equivalente formulado nas dúas interfases entre as capas mediante a introducción dun operador pseudodiferencial que pode explicítarse parcialmente usando a transformada de Fourier e que involucra un problema de contorno auxiliar formulado na capa central. Seguidamente, redúcese este problema a outro equivalente, formulado nun dominio rectangular contido na capa central e que conten a perturbación, usando condicións de contorno transparentes e series de Fourier.

A primeira aproximación é debida ao truncamento de dichas series ao orde N; a segunda ao truncamento das interfases a unha distancia finita R e a terceira á discretización final mediante elementos finitos mixtos híbridos.

Na tese tamén analízase a converxencia do método con respecto a N e R por separado, descríbese con detalle a implementación, preséntanse experimentos numéricos e formúlanse algunhas xeralizacións do método proposto.

Polo INRIA, a Universidade de Santiago de Compostela e os proxectos:

Resolución numérica de problemas de propagación de ondas: Aplicación ao estudo de guías de ondas electromagnéticas e de problemas de vibracións fluido-estructura (Programa de Cooperación con Iberoamérica)
Simulación numérica aplicada ao proceso de fabricación do aluminio: modelización matemática de cubas electrolíticas e coladas electromagnéticas. CICYT: MAT96-0715.
Aplicación do método de elementos finitos á resolución de problemas industriais de enxeñería asistida por ordenador. Xunta de Galicia: PGIDT99INM20701.

Estudo matemático de fenómenos de cavitación en lubricación elastohidrodinámica piezoviscosa

José Durany Castrillo e Carlos Vázquez Cendón

Guillermo García Lomba

Nesta memoria de doutoramento aplicáronse diferentes técnicas da análise matemática e da análise numérica a varios problemas do ámbito da triboloxía formulados mediante ecuacións en derivadas parciais. En concreto, centrouse en dous modelos matemáticos de lubricación elastohidrodinámica con cavitación que inclúen, por unha parte, as dificultades intrínsecas dos problemas de fronteira libre e, por outra, as no linealidades debidas ás leis de comportamento dos fluídos que intervén.

En relación coa análise matemática, obtivéronse resultados de existencia de solución para o problema elastohidrodinámico de tipo hertziano con fluídos piezoviscosos e condicións de contorno de tipo mixto.

Asimesmo, demostrouse a existencia de solución para o problema elastohidrodinámica de tipo placa con condicións de contorno periódicas.

En canto á análise numérica, combináronse as seguintes técnicas: algoritmos de "regula falsi" para axustar a carga imposta; algoritmos de punto fixo para desacoplar as partes hidrodinámica e elástica; algoritmos de transporte-difusión para tratalos termos de carácter convectivo; métodos de dualidade para a resolución de problemas non lineais de fronteira libre; e discretizacións espaciais de elementos finitos

Proxecto de investigación PB92-0323 da DGICYT, Proxecto 21005B93 da Xunta de Galicia, Accións Integradas Hispano-francesas HF95B088 e HF96B273 e dúas axudas para estadías de investigación da Universidade de Vigo (anos 1993 e 1995).

Esta tese céntrase na obtención de estimacións de erro para os métodos espectrais. na primeira parte, melloranse as estimacións de erro coñecidas para a discretización, polo método de colocación-Jacobi, dun problema elíptico bidimensional nun dominio cadrado.

Para isto, utilízase a descomposición da solución nunha parte regular, que aproxímase nos espazos con peso estándar, e unha parte que contén as singularidades, que aproxímanse de maneira óptima nunha nova familia de espazos con peso, para o cal estúdanse istos novos espazos e establécense resultados de aproximación polinómica en eles. Na segunda parte considérase a discretización espectral en multidominio dun problema elíptico, usando para impoñer as condicións de acoplamento o chamado método de "Patching". No caso monodimensional, mellórase a estimación coñecida para o esquema que usa os nodos de Gauss-Lobatto-Legendre, probando que é da mesma orde que a do método dos elementos espectrais; así mesmo próbase, mediante a formulación dun novo esquema, a imposición puntual das condicións de acoplamento causa unha perda de optimalidade na estimación de erro. Para o caso bidimensional demóstrase a existencia e unicidad de solución do esquema discreto do método de "Patching" e obtense unha estimación de erro, a orde do cal é inferior nunha unidade á do método de elementos espectrais. Por ultimo, demóstrase a optimalidade da discretización por colocación dun problema mixto particular, tras establecer algúns resultados de aproximación espectral uniforme de autofuncións e de certas funcións regulares.

A memoria establece un modelo matemático que describe o comportamento termoeléctrico dunha cuba de electrólise de aluminio. Matematicamente, trátase dun sistema acoplado de ecuacións en derivadas parciais cuias incógnitas son a temperatura e o potencial. Ademáis, a aparición dun material, chamado talva, froito da solidificación da zona líquida da cuba, o converte nun problema de Stefan dunha fase con fonte na fronteira libre.

No segundo capítulo, próbase a existencia de solución dunha versión bidimensional e térmica do problema global, no dominio ocupado polo talud, que considérase homoxéneo por materiais.

A existencia e unicidade de solución da versión heteroxénea do problema anterior demostrase no capítulo terceiro. Para demostrar a unicidade suponse que a fronteira libre é de medida bidimensional nula.

No capitulo cuarto, discretízase o problema termoeléctrico global sobre a cuba completa mediante o método de elementos finitos. Aplicando técnicas de operadores maximais monótonos proponse un algoritmo de carácter iterativo co que se obtendrán solucións aproximadas.

Finalmente, resolvese o problema para diferentes casos de cubas electrólicas de aluminio.

Unha teoría asintótica en vigas elásticas de perfil fino e a súa xustificación matemática.

Juan Manuel Viaño Rey

José Manuel Rodríguez Seijo

Partindo do problema tridimensional de elasticidade lineal e utilizando o xa clásico método de desenvolvementos asintóticos, neste traballo obtemos un modelo para vigas elásticas de perfil fino (sólidos caracterizados por ter tres dimensións de moi diferente magnitude e amplamente utilizados nas construccións modernas) que xustificamos matematicamente e que constitúe unha xeneralización dos modelos de Vlassov utilizados en enxeñería. Para o estudo do problema antes citado é fundamental analizar o comportamento da solución da ecuación de Poisson en dominios de pequeno espesor.

Dito análise necesita de técnicas diferentes en función da xeometría do dominio (que correspóndese coa sección transversal da viga) e constitúe en si mesmo unha das aportacións importantes da memoria.

Bolsa FPI, Bolsa Programa ERASMUS e os proxectos:

Junctions in elastic multi-structures (Proxecto Europeo do Programa SCIENCE: SC1-0473-C(EDB)) da CEE).
Simulación numérica e análise asintótica en vigas elásticas (DGICYT: PB92-0396).

Estudo de esquemas descentrados para a súa aplicación ás leis de conservación con termos fonte.

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

María Elena Vázquez Cendón

O tema central da memoria é a resolución numérica das ecuacións en derivadas parciais hiperbólicas con termos fonte. Propóñense técnicas de tipo xeral para estender algúns dos esquemas descentrados clásicos ao caso das leis de conservación con termos fonte. Concretamente, os q-esque- de Roe e van Leer, e as técnicas de descomposición fluxo de Steger-Warming e Vijayasundaram.

A metodoloxía desenvolvida aplícase ás ecuacións de Saint-Venant (shallow water equations), tanto nunha como en dúas dimensións, o que supón resolver certas dificultades como poden ser a non homoxeneidade da función fluxo, o cálculo dunha solución estacionaria de ditas ecuacións e o correcto tratamento da condición de contorno de deslizamento que, no caso bidimensional, conduce á definición dun novo tipo de volumenes finitos. Preséntanse así mesmo resultados numéricos para diferentes problemas test. Entre eles está o estudo de correntes na Ría de Pontevedra.

No último capítulo as técnicas desenvolvidas combnanse cunha discretización temporal que permite eliminar a restricción sobre o paso de tempo.

Os resultados utilizados para analizar a estabilidade constitúen o anexo da memoria.

Acción Integrada Hispano-Francesa e os proxectos:

PB89-0566 da D.G.I.C.Y.T.

AMP93-0768 da D.G.I.C.Y.T.

Análise numérica e resolución numérica de problemas de lubricación con cavitación.

José Durany Castrillo e Guy Bayada

Carlos Vázquez Cendón

O obxectivo central do traballo é o estudo teórico e numérico de diferentes problemas que xurden na lubricación hidrodinámica e elastohidrodinámica. No primeiro capítulo sinálanse os aspectos fundamentais da modelización matemática, dos problemas de lubricación hidrodinámica: ecuación de Reynolds, modelos de cavitación, leis de comportamento do fluído e xeometría do dispositivo lubricado. O estudo teórico realízase mediante técnicas de ecuacións en derivadas parciais aplicadas a problemas de fronteira libre: regularización, teoremas de punto fixo, comparación de solucións e técnicas de monotonía para problemas non lineais. Con estas ferramentas obtense no capítulo 2 un resultado de existencia e unicidade de solución para o modelo matemático do problema de lubricación hidrodinámica con fluído piezoviscoso e incomprensible en sistema eixe- chumaceira con alimentación axial. A aportación orixinal do capítulo 3 é o resultado de existencia de solución alcanzado para o modelo de cavitación de Elrod-Adams nun problema de contacto elastohidrodinámico entre unha esfera e un plano.

No marco de superficies deformables tamén dedúcese un resultado de existencia para o problema acoplado que xurde no sistema eixe-chumaceira, sendo o comportamento da chumaceira de tipo placa. A demostración realízase mediante un algoritmo que desacopla a parte hidrodinámica e elástica do problema.

O último capítulo, dedícase á resolución numérica, baseada no método das características técnicas de elementos finitos e algoritmo de dualidade para problemas non lineais. Preséntanse resultados numéricos para o problema do capítulo 2 e comparación desta solución numérica coa do modelo de Reynolds. Por último, descríbese o algoritmo numérico para o problema elastohidrodinámico analizado no capítulo 3.

Teoría asintótica de vigas elásticas lineais anisótropas e non homoxéneas.

Juan Manuel Viaño Rey

José Antonio Álvarez Dios

Mediante o uso de técnicas asintóticas nun modelo de elasticidade lineal tridimensional, xustifícanse e xeralizan modelos de vigas elásticas que teñen en conta a non homoxeneidade e anisotropía do material que as constitúe. Así obtense, en primeira instancia, un modelo xeral de flexión-extensión para vigas non homoxéneas anisótropas como límite do modelo tridimensional de elasticidade cando a área da sección transversal tende a cero.

Tamén incluense resultados de converxencia que xustifican o método desde o punto de vista matemático.

A continuación, identificando os termos de segundo orde no desenvolvemento asintótico, obtéñense modelos que teñen en conta efectos distintos da flexión e extensión, como efectos de Timoshenko e Saint Venant, para diferentes tipos de materiais: Materiais homoxéneos anisótropos, materiais isótropos reforzados lonxitudinalmente cando o coeficiente de Poisson é constante, materiais isótropos reforzados lonxitudinalmente en torsión, etc. Finalmente compáranse os modelos obtidos con varios modelos coñecidos das teorías clásicas.

Proxectos:

Junctions in elastic multi-structures (Proxecto Europeo do Programa SCIENCE: SC1-0473-C(EDB)) da CEE).
Análise teórica e numérica de novos modelos en elastoplasticidade de vigas, placas e láminas (D.G.I.C.Y.T.: PB 87-0481)
Análise asintótica e numérica dunha clase de problemas en mecánica de sólidos (Acción Integrada 46 - Área 1 Hispano-Portuguesa do Departamento de Matemática Aplicada da USC coa Facultade de Ciencias da Universidade de Lisboa).

Tratamento asintótico dalgúns problemas en elasticidade de placas e vigas.

Peregrina Quintela Estévez

Lino José Álvarez Vázquez

Na memoria realízanse tres aplicacións diferentes das técnicas asintóticas á teoría matemática da elasticidade:

O estudo do efecto das diferentes escalas no modelado de placas elásticas non lineais con espesor rapidamente variable e estructura periódica.
A xustificación asintótica dun novo modelo termoelástico dinámico para unha viga linealizada.
A xustificación dun modelo elástico dinámico para unha viga non lineal por métodos asintóticos.

Nas tres partes dase unha formulación do problema a estudar e do método asintótico empregado, caracterízanse os diferentes problemas límite e danse resultados de existencia e unicidade para ditos problemas.

Bolsa FPI (xaneiro de 1988 a setembro de 1989).
Bolsa predoutoral da Xunta de Galicia (outubro de 1989 a setembro de 1990).

Dous problemas de control óptimo con restriccións sobre o estado

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

Aurea María Martínez Varela

Nesta memoria estúdanse dous problemas de control óptimo con restriccións sobre o estado. O primeiro problema nace ao pretender a optimización do proceso de esterilización térmica dos alimentos enlatados. Trátase de encontrar en cada instante a temperatura óptima do vapor no autoclave de maneira que se alcance unha reducción microbiana dada dentro da lata durante o tempo de esterilización, minimizando o custo enerxético e maximizando a retención de nutrientes. Para iso, e en primeiro lugar, lévase a cabo a modelización matemática do problema baixo a forma de control óptimo. A continuación, faise un estudo teórico dun problema de control óptimo que, tras certas simplificacións, inclúe ao anterior como caso particular; concretamente, formúlase un problema de control fronteira dun sistema rexido por unha ecuación en derivadas parciais parabólica con restriccións, xeralmente no lineais, sobre o control e sobre o estado para o que demóstrase existencia de solución do problema de control óptimo e obtense un sistema de optimalidade que debe satisfacerse para unha solución de tal problema. Abórdase, por último, a resolución numérica a cal resulta complexa debido á necesidade de traballar con xeometrías de gran tamaño e a trátarse dun problema de programación non convexa.

Na segunda parte estúdase un problema de control relacionado co emprazamento óptimo de emisarios submarinos. Trátase de optimizar o emprazamento do difusor minimizando a distancia a un punto determinado e evitando que as augas contaminadas podan chegar ás zonas a protexer. Unha vez formulado este problema en termos matemáticos como un problema de control puntual con restriccións sobre o estado, abórdase aquí o caso estacionario, para o que próbase existencia de solución, obtéñense condicións de optimalidade e preséntanse algúns resultados numéricos.

Bolsa FPI (xaneiro de 1987 a setembro de 1989).
Bolsa predoutoral da Xunta de Galicia (outubro de 1989 a setembro de 1990).

Estudo numérico dos centros de isolas e puntos de bifurcacion perturbada.

Jean-Pierre Kernévez

María Luisa Seoane Martínez

Nesta memoria estúdase un problema non lineal asociado a fenómenos de bifurcación perturbada (Keener e Keller, 1973) que aparece en numerosos sistemas físicos e bioquímicos gobernados por ecuacións diferenciais, tanto ordinarias como en derivadas parciais: a formación de isolas. Unha isola é unha familia de solucións dun problema non lineal dependente dun parámetro, homotópica a unha elipse, esto é unha curva pechada, acotata e simple. Keller (1979) e posteriormente Dellwo et al. (1982) estudaron as condicións de formación de isolas en problemas non lineais con dous parámetros nun caso particular: as isolas centradas.

Deben o seu nome a que xurden a partir dunha singularidade chamada centro que pode caracterizarse, si o operador linealizado é sobreyectivo, como un punto elíptico da variedade diferenciable bidimensional de solucións.

No primeiro capítulo recórdanse as condicións de formación de isolas centradas (Keller, 1979, Dello et al., 1982) para problemas suficientemente regulares e utilizando o método de Lyapounov-Schmidt obtense unha parametrización da superficie de solucións de problema continuo. A evaluación da curvatura nos puntos críticos respecto de ( , U) permite recuperar a clásica condición sobre o discriminante da ecuación de bifurcación respecto de dada en Keller (1979): Si é positivo teriase un centro de isolas e si é negativo un punto de bifurcación perturbada.

No segundo capítulo establécese a existencia dunha variedade diferenciable bidimensional de solucións do problema discretizado nun entorno da singularidade do problema continuo e demóstrase que nun entorno do centro (resp. punto de bifucarción perturbada) do problema continuo existe, sobre a superficie de solucións do problema discretizado, un punto elíptico (resp. hiperbólico) esto é un centro (punto de bifurcación perturbada) do problema discretizado e no terceiro se obteñen estimacións de erro para discretizacións por métodos de colocación ortogonal de formulacións integrais de problemas de contorno para ecuacións diferenciais ordinarias, e aproximacións de Galerkin para formulacións variacionais de problemas non lineais obténdose converxencia de orde unha para o estado e o parámetro de bifurcación e de orde dúas para o parámetro de perturbación.

Finalmente, no capítulo cuarto, proponse un método de continuación sucesiva para a localización de centros de isolas elípticas e puntos de bifurcación perturbada, baseado na construcción dun sistema aumentado. O procedemento se ilustra con resultados numéricos obtidos ao aplicar o método a varios sistemas bioquímicos.

Análise numérica dunha clase de problemas de contacto en plasticidade perfecta.

Juan Manuel Viaño Rey

Margarita Burguera González

Esta memoria trata da resolución numérica dunha clase de problemas de contacto sen rozamento. Comézase cunha introducción á teoría matemática da plasticidade, recordando os conceptos fundamentais sobre os cales se asenta: O criterio de plasticidade é a lei de fluencia plástica. Analízanse e formulan dous problemas: contacto dun corpo plástico cun sólido ríxido e contacto entre dos corpos perfectamente plásticos. Realízase unha discretización por un método de elementos finitos e próbase a converxencia de dito método. Por último, resólvense numericamente mediante a introducción dun algoritmo variante dos de penalización-dualidade e se remata cos resultados obtidos sobre os problemas test ensaiados.

Análise numérica dun método de elementos finitos de tipo D.K.T. para problemas lineais de láminas delgadas.

María del Pilar Mato Eiroa

A formulación en desplazamentos dun problema de láminas, no marco da teoría lineal de Koiter, fai intervir as derivadas de segunda orde da compoñente normal do desprazamento o cal require, na discretización, do uso de elementos finitos de clase C1 polo menos, co custo que iso supón. De aí o interese suscitado polos métodos non conformes que en xeral soen ser menos custosos e de implementación máis sinxela.

Na memoria proponse e analízase a converxencia dun método non conforme de elementos finitos de tipo D.K.T. válido no análise de problemas lineais de laminas delgadas. A partir dun modelo de láminas de tipo Mindlin-Reissner formúlase un problema nas que as incógnitas son as tres compoñentes do desprazamento e as das rotacións da normal. A discretización de tales incógnitas nos espazos de elementos finitos apropiados así como a imposición da hipótese de Kirchhoff de modo discreto da lugar ao problema discreto a analizar. Na memoria, próbase a converxencia á solución clásica de laminas delgadas.

Así mesmo, conxecturando un resultado de regularidade para un problema de láminas, obtense unha estimación do erro na norma L2. Tamén móstranse varios aspectos previos á implementación do método na biblioteca de programas Modulef. Finalmente se da conta dos ensaios numéricos efectuados sobre varios exemplos test.

Bolsas para estadías de investigación en Francia da Universidade de Santiago de Compostela.

Acción Integrada Hispano-Francesa.número 123.

Bolsas do INRIA (Francia).

Proxectos:

MODULEF: Concepcion et realization d'une bibliothéque modulaire de programmes scientifiques. INRIA, Rocquencourt (Francia).
Análise teórica e numérica de novos modelos en elastoplasticidade de vigas, placas e láminas. Consellería de Educación, Xunta de Galicia.
Análise teórica e numérica de novos modelos en elastoplasticidade de vigas, placas e láminas (D.G.I.C.Y.T.:PB 87-0481).

Algunhas contribucións ao estudo teórico dos métodos multimalla no contexto das discretizacións de tipo espectral.

Neste traballo realízase un estudo teórico da converxencia dos métodos multimalla aplicados ás discretizacións de ecuacións en derivadas parciais de tipo espectral. máis concretamente, considéranse a aproximación por elementos espectrais e unha xeralización da aproximación pseudoespectral de Chebyshev.

Para levar a cabo dito estudo, analízanse en primeiro lugar os algoritmos multimalla para problemas variacionais simétricos nun contexto abstracto, o cal xeraliza o novo xa utilizado por Bank-Douglas e Maitre-Musy. Tras unha presentación do método dos elementos espectrais, estímase o factor de converxencia dun algoritmo multimalla-espectral proposto por Patera e Ronquist. en dimensión 1, próbase esencialmente a independencia de dito factor respecto do grao de aproximación polinómica e da partición efectuada, e establécense estimacións do factor de converxencia en función do número de iteracións de alisamento. En dimensión 2 e para o caso dun só elemento espectral, obtense, polo contrario, que o factor de converxencia si depende do grao da aproximación.

Para o caso da discretización pseudoespectral de Chebyshev, considérase un algoritmo multimalla que foi utilizado por Bank para resolver problemas variacionais non simétricos, en elementos finitos. Formalízase e estuda dito algoritmo nun contexto abstracto, para despois aplicalo a unha clase de discretizacións que inclúe a pseudoespectral de Chebyshev. a análise abstracta difire notablemente do estudo realizado por Bank, pois este autor limítase a considerar aqueles problemas variacionais non simétricos que poden interpretarse como unha perturbación non simétrica dun problema variacional simétrico, orixinada por algúns termos da ecuación en derivadas parciais, de orde non dominante.

Bolsa FPI, bolsa FPI no extranxeiro e bolsa do CIES (Francia)

Sur quelques questions d'elasticité non linéaire et de théorie de plaques

Peregrina Quintela Estévez

No marco da elasticidade non lineal considéranse en primeiro lugar os materiais hiperelásticos para os que demóstrase a positividade da derivada segunda da enerxía calculada na solución u encontrada por o teorema das funcións implícitas, o que permite demostrar que u é un mínimo local no espazo W 1,8 . Ademáis, mediante un contraexemplo evidenciase que o resultado non é valido, en xeral, para as topoloxías dos espazos W 1,p , 3<p<8. Sen embargo, si o funcional de enerxía fose policonvexo demóstrase que a solución trivial é un mínimo do funcional en tódolos espazos de Sobolev W 1,p , 3=p= 8.

A continuación dase unha definición de policonvexidade bidimensional adaptada ás ecuacións de von Kármán e dase unha xustificación da definición baseada no análise asintótico. Para este problema estúdase a relación entre os puntos críticos da enerxía e a solución dada polo teorema das funcións implícitas. Tamén preséntase un resultado de converxencia dun método incremental aplicado a unha clase de problemas en placas elásticas non lineais. Aínda no marco das ecuacións de von Kármán preséntase un método de desenvolvementos asintóticos acoplados que permite unha representación global do problema perturbado sempre que as solucións do problema bifurcado non perturbado sexan coñecidas globalmente.

Para finalizar, dedúcense os modelos límites bidimensionais asociados a placas elásticas non lineais de espesor rapidamente variable; os modelos obtidos correspóndense aos modelos clásicos de placas non lineais pero con coeficientes dependentes do material e da xeometría da placa.

Ministerio de Educación e Ciencia

Elasticidade non lineal. Modelo de von Karman

Peregrina Quintela Estévez

Relación entre as solucións do problema da elasticidade tridimensional non lineal e os mínimos da enerxía para materiais hiperelásticos.
Idem. Ecuación canónica de von Karman.
Policonvexidade bidimensional en von Karman. Existencia de mínimo da enerxía.
Método de desenvolvementos asintóticos acoplados para analizar a bifurcación perturbada do modelo de von Karman. .

Ministerio de Educación e Ciencia

Resolución de certos problemas non lineais da mecánica.

Alfredo Bermúdez de Castro

Carmen Rodríguez Iglesias

Na primeira parte introdúcese un cadro provisional abstracto que permite o adecuado tratamento matemático e posterior resolución numérica (utilizando o método de elementos finitos) das emanacións en derivadas parciais que modelizan o fenómeno coñecido como efecto Marangoni. Na segunda parte faise un detallado estudo numérico dos problemas da torsión elastoplastica e do fluxo do fluído de Binghan utilizando elementos finitos mixtos de Ranart-Hiomas.

Financiada parcialmente pola C.A.I.C.Y.T., proxecto 1800/82.

Existencia e aproximación de solucións en termoelasticidade e elastoplasticidade

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

Juan Manuel Viaño Rey

Teoremas de existencia e unicidade de solución xeralizada para un sistema de ecuacións en derivadas parciais que aparece en termoelasticidade (problemas de valor inicial e periódico). Construcción de algoritmos iterativos para a aproximación numérica das tensións nun problema de elastoplasticidade perfecta.

Presentadas as redes de ordenadores e as bases de datos en sub-capas independentes analízanse distintas formas de repartición dunha bd nunha rede. Se describen distintos aspectos ligados á seguridade dos datos. Se estuda a integridade externa e proponse un algoritmo de sincronización de actualizacións. Este algoritmo necesita 5 (n-1) mensaxes na rede (n: número de centros conectados). Se estudia a súa robusted. Se formaliza utilizando os tipos de datos abstractos -tda.

Estudo de solucións "feedback" para o control de sistemas distribuidos

Teses de doutoramento lidas da Área de Matemática Aplicada