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Advanced numerical methods for wave propagation problems: The Arlequin method & potential formulation for elastodynamics

2020

2019

2019

2018

The purpose of this thesis is the mathematical study and numerical solution of problems that arise in low-frequency electromagnetics, and their application to the simulation of industrial processes. More precisely, we deal with both eddy current and magnetostatic problems, sometimes coupling the formulation in terms of partial differential equations with a lumped one modeling electrical circuits. Our study is motivated by the need of characterizing the electromagnetic phenomena that take place in several industrial processes, to be able to perform a subsequent optimization and optimal control.

The memoir is divided into two parts. In the first one, contributions are made to the study and numerical solution of eddy current models in three-dimensional and axisymmetric domains, considering both linear and nonlinear magnetic materials. In the second part, we approach the modeling and optimization of electrical machines in two-dimensional domains from multiple perspectives. In both cases we face challenges related to the development of new models and algorithms, together with the mathematical and numerical analysis of partial differential equation problems that provide theoretical support to numerical techniques already present in the literature.

Firstly, in Chapter 1, we focus on the mathematical and numerical analysis of a formulation for the time-harmonic eddy current problem in 3D bounded domains, combining a vector potential in conductors with a scalar one in the whole domain. We restrict ourselves to the case with electric ports, in which sources are given on the domain boundary, either in terms of currents or voltage drops prescribed by external power generators. Then, in Chapter 2, we address a nonlinear transient eddy current problem, including hysteresis effects, to perform the numerical simulation of magnetization and demagnetization processes. In this case, geometries present cylindrical symmetry, and two main situations are distinguished, depending on the current density living in, or being perpendicular to, the meridional section of the conducting domain. In the first case, it is usual to solve a problem defined only in the conducting part and written in terms of the magnetic field, while in the second one it is more common to use the so-called magnetic vector potential as it leads to a scalar problem.

In the remainder of the thesis, we study several problems related to electrical machines. First, we state a 2D transient magnetic problem that arises in the mathematical modeling of electrical machines. Indeed, the electromagnetic model of electrical motors is often based on describing the active zone of the device as a 2D distributed nonlinear problem because the magnetic cores are usually laminated media consisting of a large number of steel sheets. Moreover, the formulation defined on the cross-section of the machine is often coupled with circuit equations to model the end regions of the motor.

In Chapter 3, we study this 2D transient magnetic problem coupled with circuit equations, with sources given in terms of the remanent fluxes in permanent magnets and the potential drop per unit length in each conductor. In particular, we focus on showing that the continuous problem is well-posed and obtaining an error estimate for a finite element discretization. Then, in Chapter 4, we define and study an optimal control problem related to this model, in which we will minimise the losses in a permanent magnet synchronous motor, while we guarantee the generation of a certain minimum torque. Finally, in Chapter 5, we change the formulation to use more sophisticated circuit equations and incorporate motion. We use this model as the starting point for developing a methodology that seeks good approximations for the initial currents in the rotor bars of a squirrel-cage induction motor, allowing us to reach the steady-state of the machine in the shortest possible simulation time, avoiding the otherwise long transient state.

Ayudas FPU del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.

2018

• Ayudas para la etapa predoctoral de la Xunta de Galicia 2013.
• Ayudas FPU 2013 del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.
• Ayuda de la Fundación Barrie para estancias breves.

2018

Development of antenna arrays for terrestrial and satellite applications: Feasibility study of different solutions to monitoring the atmospheric pollution, determination of electromagnetic fields in urban scenarios and calculation of their dosimetry in small animals

 

2018

The Fokker-Planck equation is a partial differential equation that describes the time evolution of the probability density function of the velocity of a particle under the influence of drag forces and random forces, as in Brownian motion. The equation can be generalized to other observables as well. The Fokker-Planck equation is often used to approximate the description of particle transport processes with highly forward-peaked scattering, then the Fokker-Planck equation is an asymptotic approximation to the linear Boltzmann equation.

In this thesis it is considered a new finite difference method and an iterative method to solve the Fokker-Planck equation when the angular flux depends on spatial, polar and azimuthal variables. Fourier technique is applied to split the problem into a set of azimuthal angle-independent problem.

 

2017

Modeling, simulation and optimization of gas transport networks

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela y Julio González Díaz

La mayoría de los países disponen de una red de infraestructuras para el transporte de gas a sus potenciales clientes. Éstos demandan consumos diferentes que el gestor de la red debe satisfacer de la manera más eficiente posible. Por eso, cobra especial relevancia disponer de una herramienta informática que ayude a realizar estas tareas, con seguridad en el suministro, pero también con coste mínimo. En la bibliografía existen numerosas referencias sobre trabajos de investigación centrados en las aplicaciones y, por tanto, apenas orientados al análisis matemático de los modelos y métodos numéricos. La mayoría se refieren sólo a la modelización y simulación numérica, pero en los últimos años existe un interés creciente en la optimización. En esta tesis se pretende profundizar en el estudio matemático de estos temas y en el desarrollo de técnicas matemáticas para la optimización del diseño y la operación de redes de transporte de gas. El primer paso será modelizar una red de gas como un grafo dirigido. Cada una de las aristas representará un conducto de la red con sus propiedades físicas. Los nudos se asociarán, principalmente, con puntos de consumo o de emisión de gas y se caracterizarán también por sus propiedades físicas. Haciendo uso del grafo, se planteará un primer sistema de ecuaciones no lineales, compuesto por las ecuaciones de conservación de la masa en los nudos y por la conservación de la cantidad de movimiento a través de las aristas. Estas ecuaciones permitirán conocer el estado estacionario de la red y constituirán la ecuación de estado. El planteamiento del sistema deberá ir acompañado de un análisis matemático para verificar la existencia y unicidad de solución. Puesto que el problema está basado en un grafo, existen dificultades que también deberán ser analizadas, como son los problemas de conexión y la existencia de bucles de circulación de flujo. La ecuación de conservación de cantidad de movimiento es una simplificación unidimensional de una ecuación en derivadas parciales (EDP) tridimensional. Por tanto, se resolverá esta EDP mediante diferencias finitas para contrastar dicha simplificación. Con el mismo objetivo, se construirá un modelo tridimensional de un conducto para su resolución mediante paquetes informáticos de simulación de fluidos. A la hora de optimizar se aplicarán técnicas de teoría de control, por lo que en cada iteración se resolverá la ecuación de estado con las variaciones en las variables de diseño resultantes de la aplicación del algoritmo de optimización. Además, se empleará un sistema basado en el estado adjunto para conocer los gradientes de la ecuación de estado con respecto a las variables de diseño. La parte de optimización también se articulará sobre un análisis matemático que abarca la existencia de un mínimo, la unicidad de solución y la caracterización del problema, es decir, las condiciones de optimalidad. La conjunción de los puntos mencionados darán como resultado un programa informático. El programa se desarrollará en Fortran ya que posibilita el tratamiento de vectores y matrices de forma eficiente y el uso de orientación a objetos.

BIBLIOGRAFÍA - J. André, J. F. Bonnans, Optimal structure of gas transmission trunklines. Optim Eng 12: 175–198 (2011). - A. Bermúdez, Continuum Thermomechanics. Birkhauser, Basel, 2005. - K. Ehrhardt, M.C. Steinbach, Nonlinear Optimization in Gas Networks. ZIB-Report 03-46. Konrad-Zuse-Zentrum fur Informationstechnik. Berlin 2003. - D. Mahlke, A. Martin, S. Moritz, A mixed integer approach for time dependent gas network optimization. Optimization Methods and Software, 25:4, 625-644 (2010). - A.J. Osciadacz, Simulation and Analysis of Gas Networks. Gulf Publishing Company. Londres. 1987.

 

2017

Métodos de series de tiempo para aplicaciones en SHM y cálculos de coherencia múltiple: validación en condiciones reales y de laboratorio

Jerónimo Rodríguez García

• Monitorización estructural: Esta primera línea de investigación se inscribe en el marco de la monitorización estructural (SHM, Structural Health Monitoring)). El objetivo es elaborar métodos que permitan evaluar el estado de salud de una estructura (si contiene daño o no; localización del daño). Dado que la modelización de toda la estructura y la resolución numérica del modelo sería demasiado costosa, se proponen métodos basados simplemente en el análisis de series de tiempo procedentes de sensores situados en la estructura (métodos basados en vibraciones). En particular, estos métodos se basan en la modelización mediante métodos autorregresivos de las señales obtenidas al excitar la estructura sana en una primera fase de aprendizaje. A continuación, en una fase de detección, se trata de comparar (mediante un contraste de hipótesis) el comportamiento de las señales obtenidas en el estado actual con el correspondiente en la fase de aprendizaje. Los citados métodos han sido aplicados con éxito a datos obtenidos sobre una torre de laboratorio que simula un aerogenerador. Adicionalmente se ha trabajado sobre extensiones de este método a situaciones de gran interés práctico. Por una parte hacerlos robustos ante condiciones medioambientales cambiantes (mediante PCA), y por otra incluir en la modelización otros factores como la posición del daño, haciendo posible su localización. Dichas extensiones se han validado en una pala de aerogenerador a escala.
• Cálculo de coherencia múltiple sobre señales no estacionarias para detección de fuentes de ruido: el cálculo de coherencias implica la obtención de las densidades de potencia espectral (autoespectros y espectros cruzados) de las señales involucradas. Para ello los métodos clásicos se basan tanto en la transformada rápida de Fourier como en modelización paramétrica (métodos autoregresivos, por ejemplo). Ambos métodos suponen que las señales son estacionarias (señales WSS) lo cual, en multitud de aplicaciones (como el estudio del ruido en la cabina de una ascensor), no se satisface y motiva la extensión de este tipo de técnicas a situaciones no estacionarias. De cara a realizar tal extensión, se han explorado dos alternativas. La primera de ellas, no-estructurada, consiste en dividir la señal en bloques aplicando en cada uno de ellos una técnica para señales estacionarias. Los autoespectros y espectros cruzados proporcionados tienen una gran variabilidad en tiempo que en ocasiones se tiene que corregir realizando medias en tiempo (perdiendo resolución). La segunda alternativa consiste en imponer en los coeficientes del modelo autorregresivo una dependencia temporal con una estructura impuesta a priori. Ello reduce el número de parámetros que se deben emplear en el modelado y la variabilidad temporal de los espectros calculados. Se proponen técnicas del tipo FS-TAR en las que la dependencia temporal se realiza a través de proyecciones sobre espacios funcionales (que pueden ser polinomios, funciones trigonométricas,...). El coste computacional de estos métodos y la calidad de las coherencias dependen en gran medida de los órdenes empleados en el modelado. Los métodos desarrollados se han validado sobre datos experimentales: medidas en cámara semianecoica con fuente en movimiento y medidas realizadas en el hueco y cabina de un ascensor. El objetivo final en esta línea es identificar las fuentes predominantes de ruido en distintas situaciones.

 

2017

Development of a multidisciplinary and optimized design methodology for surface permanent magnets synchronous machines

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela e Irma Villar Iturbe

 

2016

José Antonio Álvarez Dios e María del Carmen Muñiz Castiñeira

 

2015

Análisis matemático y numérico de las ecuaciones para aguas poco profundas: Aplicaciones a las ciencias medioambientales

Lino José Álvarez Vázquez y Rafael Muñoz Sola

La presente memoria se divide en dos partes:

La Parte I está dedicada al estudio de ciertos problemas relacionados con el medioambiente circunscritos al ámbito de los ríos y canales. Dentro de este eje destacan dos objetivos primordiales: por una parte, el estudio teórico de un modelo unidimensional para el flujo fluvial; por otra, la aplicación de este modelo a situaciones realistas de control medioambiental, como son, la localización óptima de los puntos de muestreo en un sistema de monitorización de la calidad del agua en un río, o la recuperación de tramos fluviales altamente contaminados mediante la inyección óptima de aguas limpias.

La Parte II de la memoria se centra en el estudio teórico y numérico de las ecuaciones de aguas poco profundas bidimensionales. Se presentan varios problemas de aplicación de estas ecuaciones a situaciones medioambientales realistas. En concreto, se aborda el diseño y funcionamiento óptimo de las escalas para peces, estructuras hidráulicas que permiten a los peces continuar sus migraciones fluviales a través de obstáculos construidos por el hombre.

En términos matemáticos el problema de la construcción de nuevas escalas para peces se formula como un problema de optimización de forma, mientras que la gestión de una escala ya construida da lugar a un problema de control frontera.

 

2014

 

2013

 

2013

Numerical solution of the Boltzmann transport equation for photons and some equations derived from the Fokker-Planck approximation for electrons. Applicationto radiotherapy

Óscar López Pouso

Este trabajo se centra en la resolución de la ecuación de transporte de Boltzmann (ETB) para fotones y de un cierto tipo de ecuaciones parabólicas degeneradas derivadas de la ecuación de Fokker-Planck. La ETB se resuelve en el caso tridimensional mediante la técnica de expansión en órdenes de scattering, mientras que se emplean diferencias finitas para las ecuaciones parabólicas degeneradas. Todos los resultados numéricos y gráficos se han obtenido empleando el lenguaje de programación MATLAB. La motivación de la tesis es el cálculo de la dosis de radiación absorbida durante el tratamiento del cáncer mediante radioterapia externa. Los capítulos iniciales recopilan información de carácter médico-biológico y físico, y en ellos se explican los fundamentos de la radioterapia y los fenómenos de interacción entre radiación y materia.

 

2012

El objetivo de esta tesis doctoral es el estudio de ciertos problemas termomecánicos acoplados no lineales de la mecánica de sólidos, los cuales surgen de procesos reales bajo fuertes gradientes de temperatura. Con esta temática en común, se aborda la modelización y el análisis matemático de varios submodelos en termomecánica. Concretamente se deducen varios modelos termomecánicos acoplados para materiales termoviscoelásticos con memoria larga y con tensiones dependientes de la temperatura. Estos permiten modelar, por ejemplo, los procesos de solidificación de coladas, de extrusión de piezas de metal y de laminación de metales y aleaciones. Además, se realiza un estudio de la existencia, unicidad y regularidad de solución de dos submodelos termomecánicos. En el primero se considera el submodelo mecánico con parámetros dependientes de la temperatura, con una ley de comportamiento no lineal de tipo Maxwell-Norton y condiciones de contorno mixtas, suponiendo que el campo de temperaturas es conocido. Bajo este contexto se pueden modelar las deformaciones mecánicas sufridas por una estructura de aleación expuesta al fuego. En el segundo se analiza un problema termoelástico completamente acoplado con condiciones de contorno mixtas, incluyendo una condición de contorno tipo Robin, para el submodelo térmico. Este modelo permite realizar una primera aproximación de las deformaciones termomecánicas de una estructura expuesta al fuego.

 

2012

 

2012

Modelización Matemática y resolución numérica de problemas de combustión de carbón pulverizado

José Luis Ferrín González y Alfredo Bermúdez de Castro

 

2012

Métodos iterativos en s-pasos para la resolución de grandes sistemas dispersos de ecuaciones y su implementación paralela

José Antonio Álvarez Dios e José Carlos Cabaleiro Domínguez

 

2012

Problemas de contacto en elasticidad dinámico con XFEM

Carlos Moreno González e Peregrina Quintela Estévez

Sobresaliente cum laude

Proyectos:

• Innovación en algoritmos de simulación de problemas no lineales procedentes de industrias de producción de aluminio y de materiales cerámicos (Ministerio de Educación y Ciencia: DPI2004-01993).
• Innovación en algoritmos de simulación de problemas no lineales procedentes de industrias de producción de aluminio y de materiales cerámicos (Xunta de Galicia: PGIDIT05PXIC20701PN).

Contratos:

• Estudio de la obtención de gres para pavimentos rústicos usando residuos industriales como colorantes. Instituto de Cerámica.
• Predicción de depósitos en calderas de carbón pulverizado en la C.T. As Pontes (Endesa). Instituto de Cerámica.
• Asesoramiento científico-técnico sobre la depuradora, agua de balsas y lodos de aluminio. Instituto de Cerámica.

2011

2011

Análisis numérico y simulación en modelos de remodelación ósea

José Ramón Fernández García y Juan Manuel Viaño Rey

El hueso es un tejido vivo que se encuentra en estado de cambio permanente en respuesta a señales externas e internas. Así, su estructura se modifica como consecuencia de las cargas aplicadas, inmovilización, influencias hormonales u otros factores. A este proceso adaptativo se le denomina remodelación ósea.

Utilizando las herramientas usuales del análisis funcional aplicado a las ecuaciones en derivadas parciales estudiaremos matemáticamente algunos de los modelos de remodelación de huesos más usuales, además de proponer y analizar esquemas de aproximación numérica para dichos modelos utilizando el Método de los Elementos Finitos (MEF), para la aproximación en espacio, y el esquema de Euler explícito para la discretización de las derivadas temporales. Se implementarán en ordenador y se validarán con diferentes ejemplos numéricos.

Proyecto "Análisis matemático y simulación numérica de modelos avanzados de comportamiento de materiales: aplicaciones en la industria, biomecánica y ortodoncia" del Ministerio de Educación y Ciencia. Referencia: MTM2006-13981.

2011

Numerical resolution of water quality models: application to the closure of open pit mines

Alfredo Bermúdez de Castro y Peregrina Quintela Estévez

Durante máis de 25 anos LIMEISA veu extraendo lignito nunha explotación a ceo aberto situada na localidade coruñesa de Meirama. Uns meses despois do peche definitivo a finais do ano 2007, comezouse a encher con auga o oco da mina co obxectivo de xerar un lago artificial que permita a recuperación ambiental e paisaxística da zona. A posibilidade de que este lago non permaneza aillado, senón que poida conectarse a través do río Barcés co encoro de Cecebre, que abastece de auga á cidade da Coruña, fai que as súas augas deban cumprir a normativa vixente de verquidos a medios acuáticos naturais no momento final do enchido.

O problema medioambiental máis importante relacionado coa mina de Meirama é a presenza de sulfuros nas paredes da corta. Estes materiais, ao oxidarse, liberan acidez e metais pesados ao medio, o cal pode traer en consecuencia que a calidade final das augas do lago sexa inaceptable. Por outra banda, a oxidación de sulfuros é só o primeiro eslabón dunha cadea de reaccións químicas complexas que, en conxunto, determinarán a concentración das distintas especies químicas no lago. Ao mesmo tempo, a entrada de augas de distinta orixe e os patróns de circulación vertical do lago xogarán un papel importante na calidade final das augas.

A simulación numérica convértese nunha ferramenta indispensable á hora de poder cuantificar de xeito combinado todos os procesos implicados para así poder predicir a calidade final das augas do lago de Meirama. Este foi o principal obxectivo desta tese, que se compón de sete capítulos onde o seu contido se pode resumir nos puntos seguintes:

•  Capítulo 1: Neste capítulo fíxose unha revisión bibliográfica exhaustiva de todos os procesos que interveñen na calidade das augas dun lago xerado no oco dunha mina a ceo aberto.

•  Capítulo 2: As reaccións químicas que determinarán a calidade das augas do futuro lago de Meirama pódense clasificar a grosso modo en lentas ou rápidas. Neste capítulo introduciuse de xeito rigoroso, dende un punto de vista matemático, a teoría que rexe este tipo de reaccións por separado seguindo a notación de [1]. O casamento entre ambas escalas de reacción lévase a cabo mediante unha nova teoría matemática que implica o uso de multiplicadores de Lagrange. Esta nova formulación matemática supón un avance teórico con respecto á Teoría de perturbacións singulares para sistemas dinámicos (cf. [2]) xa que o problema resultante pódese resolver por sí mesmo para todas as especies químicas e non require dun tratamento posterior. Propóñense dúas técnicas de redución do problema completo formulado en termos dos multiplicadores de Lagrange.

•  Capítulo 3: Proponse un algoritmo para a resolución numérica do problema químico formulado en termos dos multiplicadores de Lagrange e os resultados do problema completo compáranse cos dos problemas reducidos. Os resultados son os mesmos, pero o problema completo require dun maior esforzo computacional.

•  Capítulo 4: Plantéxase o problema xeoquímico concreto para o caso da mina de Meirama considerando a teoría e a notación introducidas no Capítulo 2.

•  Capítulo 5: Propóñense dous modelos para predicir a calidade final das augas dun lago xerado no oco dunha mina a ceo aberto: un modelo de tanque axitado, onde a concentración de todas as especies químicas é a mesma en cada punto e no que se teñen en conta as reaccións químicas descritas no Capítulo 2 así como a entrada de auga de diversas fontes, pero non os patróns de circulación vertical, e un modelo en tres capas, no que ademais das reaccións químicas e as entradas de auga de distinta orixe, cuantifícase a influencia da limnoloxía do futuro lago.

•  Capítulo 6: Os resultados da aplicación dos modelos descritos no capítulo anterior ao caso particular do lago de LIMEISA móstranse neste capítulo. Para o modelo de tanque axitado fanse análise de sensibilidade con respecto á presenza ou non de reaccións químicas lentas e/ou precipitación de minerais secundarios, ao efecto da presenza de fracturas nas paredes da corta e á existencia de microorganismos acidófilos. No caso do modelo de tres capas, investígase a influencia de distintos coeficientes de convección que causarán unha maior ou menor mestura da columna de auga ao producirse unha inversión de densidade.

Dos resultados obtidos con respecto ao tanque axitado conclúese que as reaccións de parede teñen influencia na calidade final das augas, e que esta é maior canto maior sexa a superficie reactiva, que a precipitación é un proceso fundamental que ten que ser cuantificado en simulacións realistas e que a presenza de microorganismos acidófilos pode ser importante en termos de calidade de augas se se dan as condicións idóneas para a súa supervivencia. A adsorción parece non ser un mecanismo importante no caso do lago de Meirama.

En canto ao modelo de capas, obsérvase que os resultados son máis realistas e detallados que no caso do modelo de tanque axitado, e podemos comprobar cál é a diferenza entre considerar ou non mestura vertical.

Todos os resultados apuntan a unha calidade de augas aceptable para o futuro lago da mina de Meirama, a excepción da concentración de manganeso que excede lixeiramente o límite legal permitido en certos casos.

•  Capítulo 7: As conclusións da tese recóllense neste capítulo así como certas recomendacións para futuros estudos continuadores deste.

Referencias

[1] Bermúdez, A. (2005): Continuum Thermomechanics. Birkhäuser

[2] Tikhonov, A.N., Vasileva, A.B. and Sveshnikov, A.G. (1985): Differential Equations. Springer-Verlag .

 

2010

Diferentes estrategias para el análisis y resolución numérica de problemas de gestión medioambiental en zonas costeras

Lino José Álvarez Vázquez y Miguel Ernesto Vázquez Méndez

El principal objetivo de la tesis es estudiar, desde la óptica del control multiobjetivo de ecuaciones en derivadas parciales, los problemas que surgen a la hora de gestionar la depuración a realizar en cada una de las plantas que conforman un sistema de depuración de aguas residuales.

Los problemas se formulan, a partir de un sistema parabólico, como problemas de control multiobjetivo y se estudian desde dos puntos de vista, cooperativo y no-cooperativo. Se prueba la existencia de soluciones, tanto de un equilibrio de Nash como de óptimos-Pareto, y se establecen condiciones de optimalidad para caracterizar esas soluciones. Se analizan los distintos modos de resolver numéricamente los problemas planteados, se implementan esos métodos y se comparan las soluciones obtenidas, en diferentes situaciones realistas planteadas en la Ría de Vigo. Finalmente, se presenta una toolbox de simulación numérica (SOS) que debe servir en la toma de decisiones relacionadas con la descarga de aguas residuales y su impacto ambiental.

 

2009

Simulación numérica de algunos problemas de mecánica de fluidos con frontera libre

Peregrina Quintela Estévez

Esta memoria trata sobre la simulación numérica bidimensional de fluidos bifásicos; separados por una interfase que varía con el tiempo y en la que se consideran los efectos de la tensión superficial. Se lleva a cabo un análisis comparativo de distintas metodologías Eulerianas y estrategias numéricas ya existentes en la literatura para simular el transporte de la interfase, calcular su curvatura o evitar la difusión numérica de ella cuando el tiempo avanza. Se combina una formulación en conjuntos de nivel con la aplicación del método de elementos finitos estándar; posteriormente se utiliza el método de elementos finitos extendidos que permite capturar de forma más eficaz la discontinuidad de la presión en la interfase.

Finalmente, se realiza el análisis matemático de un modelo asociado al proceso de llenado de un molde; en este caso, el fluido considerado es una espuma compresible, cuyo comportamiento es no Newtoniano y, en general, no homogénea. Se obtiene un resultado de existencia y unicidad de solución para espumas homogéneas mediante técnicas de minimización de funcionales diferenciables convexos. También se da un resultado de existencia para el caso de espumas no homogéneas utilizando una técnica de punto fijo.

Beca Mutis de MAE-AECI y Beca predoctoral para Iberoamericanos en etapa de tesis de la USC.

2009

Mathematical analysis and numerical simulation of some nonlinear problems in solid mechanics

Patricia Barral Rodiño y Peregrina Quintela Estévez

En el trabajo presentado a lo largo de la tesis se pueden distinguir tres partes bien diferenciadas aunque con una temática común: el estudio matemático y la resolución numérica de problemas no lineales en mecánica de sólidos, que surgen de procesos físicos presentes en las industrias del aluminio y las cerámicas. Se consideran situaciones reales donde aparecen distintas no linealidades: leyes de comportamiento de tipo viscoplástico, condiciones de contorno tales como el contacto unilateral, etc.

•  Parte 1. Procesos de colada de aluminio: Algoritmos eficientes para su simulación numérica. En la primera parte de la tesis proponemos dos algoritmos para resolver numéricamente la deformación sufrida por una placa de aluminio en el proceso de colada. Se considera que el proceso de colada es un problema cuasi-estático para un sólido termo-elasto-viscoplástico con una condición de contacto unilateral con el falso fondo. Con el objetivo de mejorar la convergencia de algoritmos propuestos anteriormente, se proponen nuevas estrategias numéricas para la resolución numérica de este proceso, tales como métodos generalizados de Newton, una técnica de adimensionalización de la ley constitutiva del aluminio, una factorización parcial de Cholesky o una elección automática de los parámetros del algoritmo.

•  Parte 2. Ensayo de flexión en tres puntos: Estudio matemático y simulación numérica. La segunda parte está dedicada al análisis matemático del ensayo de flexión en tres puntos y al cálculo de módulo de ruptura de materiales frágiles. En primer lugar, se prueba la existencia de una solución única del problema elástico con condición de contacto unilateral sin rozamiento correspondiente al ensayo de flexión en tres puntos y, para justificar la fórmula clásica del módulo de ruptura, se busca el modelo límite del problema usando técnicas de análisis asintótico. En segundo lugar, se analiza analítica y numéricamente, desde varias perspectivas, el módulo de ruptura de materiales frágiles. En particular, se dan cuatro aproximaciones diferentes del módulo de ruptura: a través de la fórmula clásica, a través de las simulaciones numéricas uni y tridimensionales, y usando una fórmula mejorada para el módulo de ruptura obtenida a través del análisis asintótico.

•  Parte 3. Un problema de elasticidad para soportes de procesos de catálisis: El método de desdoblamientos. El objetivo de la tercera parte de la tesis es estudiar el comportamiento asintótico de los soportes usados en procesos de catálisis en un problema de elasticidad lineal, donde se considera que el soporte es una estructura formada por vigas, colocadas periódicamente y con huecos interiores. Para ello, se considera el método de desdoblamientos, o "unfolding method", que ofrece herramientas para llevar a cabo el análisis asintótico y homogeneización de diferentes estructuras formadas por un gran número de vigas, placas o membranas.

 

2009

Métodos numéricos para problemas de convección difusión. Aplicación a la convección natural

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

El proyecto de tesis se centra en el estudio de problemas de convección-difusión. Como aplicación particular se consideran los procesos de convección natural. El objetivo de la tesis es desarrollar métodos numéricos precisos y estables para problemas de convección-difusión. En este trabajo proponemos dos estrategias diferentes que descentran el término convectivo: métodos de características y métodos distributivos.

Estos métodos presentan buenas propiedades, lo que hacen de ellos una herramienta eficaz para la resolución numérica de problemas de convección. En la tesis presentamos diferentes métodos de características de segundo orden combinados con métodos de elementos finitos. Analizamos matemáticamente un método de características enteramente Lagrangiano para un problema de convección-difusión cuyo coeficiente de difusión puede ser degenerado. Obtenemos resultados de estabilidad y convergencia.

Presentamos los resultados numéricos obtenidos con diferentes métodos de características. Verificamos los órdenes de convergencia probados para el método enteramente Lagrangiano que estudiamos en este trabajo. Una buena alternativa a los métodos de características es el método PSI (Positive Streamwise Implicit). En la tesis presentamos de forma rigurosa la técnica general de discretización del término convectivo mediante los métodos distributivos. En particular, introducimos dos de los métodos distributivos más importantes: el N-esquema (Narrow) y el PSI. Implementamos mediante programas de ordenador dichos métodos y verificamos los resultados que predice la teoría. Por último, con objeto de testear los métodos propuestos resolvemos un problema bidimensional de convección natural en una cavidad cuadrada donde las paredes verticales se encuentran a distintas temperaturas y comparamos los resultados obtenidos con los presentados por otros autores.

 

2009

Debido al amplio uso de estructuras sólidas anisótropas, el estudio de la piezoelectricidad anisótropa se hace cada vez más importante. El objetivo de esta tesis es extender la investigación de Álvarez-Dios&Viaño[1993,1996,2003] y Trabucho&Viaño[1996] a vigas elásticas anisótropas y presentar modelos asintóticos para vigas anisótropas piezoeléctricas.

Estos modelos son deducidos de una forma rigurosa del problema tridimensional para una viga anisótropa y piezoeléctrica bajo el efecto de un potencial eléctrico aplicado, primero, en ambos extremos de la viga y, segundo, sobre la superficie lateral.

Para analizar el comportamiento asintótico de la solución del problema de piezoelectricidad tridimensional cuando el diámetro de la sección transversal tiende a cero, se utilizan las técnicas asintóticas tomando el diámetro de la sección transversal como pequeño parámetro.

La memoria comienza con una breve introducción a las ecuaciones tridimensionales que describen la teoría de la piezoelectricidad lineal: un problema de contorno para un sistema ecuaciones en derivadas parciales acoplado que describe el equilibrio mecánico y el eléctrico, en sus formulaciones débil y fuerte.

Para el análisis asintótico, comenzamos por un cambio de variable a una viga de referencia, el re-escalado de las incógnitas y al desarrollo asintótico de la solución con respecto al pequeño parámetro (el diámetro de la sección transversal). La identificación de los primeros términos del desarrollo conduce a los siguientes modelos de vigas piezoeléctricas y anisótropas:

•  Teoría de vigas unidimensional para una viga piezoeléctrica anisótropa de clase 2 bajo un potencial aplicado en ambos extremos (Capítulo 3). La caracterización de los desplazamientos de segundo orden es un paso esencial para llegar a este modelo y para demostrar la convergencia fuerte del desarrollo asintótico.

•  Un modelo para vigas piezoeléctricas anisótropas de clase 2 con potencial aplicado en su frontera lateral (Capítulo 4). La convergencia débil del desarrollo asintótico se discute en este capítulo para vigas piezoeléctricas anisótropas de clase 6mm .

•  Un modelo de orden cero para un arco rebajado compuesto de un material piezoeléctrico transversalmente isótropo con simetría de clase 6mm, sometido a un potencial eléctrico en ambos extremos (Capítulo 5).

 

2009

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela y Rafael Muñoz Sola

Rafael Vázquez Hernández

La tesis trata del estudio de un problema termo-magneto-hidrodinámico que aparece en la simulación de un horno de inducción diseñado para fundir silicio. Con vista a la simulación numérica, se realiza un estudio de un modelo electromagnético relacionado con el horno, y se introducen métodos numéricos adecuados para la discretización en tiempo y en espacio. Se incluyen además resultados de varias simulaciones para un problema con simetría cilíndrica.

La tesis incluye también un análisis de un modelo matemático para un problema de magnetohidrodinámica, considerando efecto Joule y disipación viscosa en la ecuación del calor. Se prueba la existencia y unicidad de solución para este modelo, bajo varias hipótesis de datos pequeños.

Finalmente, se introduce una nueva formulación del problema electromagnético que permite mantener la simetría original del horno, sin considerar simetría cilíndrica. Para esta formulación se realiza el análisis matemático y numérico.

2008

Lino José Álvarez Vázquez

Francisco Javier Fernández Fernández

Uno de los mayores problemas de las grandes masas de agua es el relativo a los altos niveles de contaminantes con contenido en nitrógeno y fósforo que llegan hasta el agua. Estos contaminantes provienen principalmente de las actividades humanas como la agricultura, la industria o el transporte. Una parte de estos contaminantes puede ser utilizada como nutrientes por el fitoplancton, sin embargo, la saturación de las costas con estos nutrientes puede producir un crecimiento excesivo que acarree efectos negativos no deseados. Esta sobrecarga de nutrientes es lo que se conoce como eutrofización.

En este trabajo hemos analizado matemática y numéricamente un modelo 3D para la eutrofización relativamente simple (aunque realista), en donde se consideran cinco variables biológicas: Nutriente Genérico, como por ejemplo el Nitrógeno (como será nuestro caso) o Fósforo, Fitoplancton, Zooplancton, Detritos Orgánicos y Oxígeno Disuelto. También hemos estudiado como reducir las altas concentraciones de nutrientes en el \'agua usando biorreactores. La idea básica de un biorreactor consiste en estancar agua eutrófica (rica, por ejemplo, en nitrógeno) en grandes tanques a los cuales añadimos una cierta cantidad de fitoplancton que dejamos crecer con el fin de que absorba el nitrógeno del agua. En el problema particular que analizamos en este trabajo hemos considerado dos tanques con la misma capacidad pero con posiblemente diferente geometría e intentamos controlar el proceso a través de la cantidad de fitoplancton que añadimos al comienzo del proceso (control sobre la condición inicial), a través de la cantidad de fitoplancton que vamos añadiendo a lo largo del proceso (control sobre el término distribuido) y a través del tiempo total de permanencia en cada tanque.

Proyectos:

. Análisis y control de problemas hidrodinámicos y su impacto medioambiental (2003-2006). Referencia BFM 200300373, dirigido por L.J. Álvarez Vázquez.

. Modelado y control de procesos hidrodinamicos en relacion con el medioambiente (2006-2009). Referencia MTM 200601177, dirigido por L.J. Álvarez Vázquez

2008

José Ramón Fernández García y Juan Manuel Viaño Rey

Marco Antonio Campo Cabana

Se estudian una serie de problemas en mecánica de sólidos cuyo nexo común es la consideración del daño material. Dichos problemas incluyen casos dinámicos y cuasiestáticos y distintos comportamientos materiales como son la elasticidad, viscoelasticidad con y sin memoria y elasto-viscoplasticidad.

Se presentan para cada problema resultados de existencia y unicidad de solución, así como un completo análisis numérico de los problemas discretizados, detallando en cada caso las hipótesis a tener en cuenta para el buen planteamiento de los problemas. Se deducen además las condiciones necesarias para la obtención de la convergencia de los problemas discretizados y, para cada caso, se presentan algunas simulaciones, resultado de programar en un ordenador los esquemas numéricos estudiados, observando el comportamiento obtenido en el estudio teórico.

2007

Some contributions in time-harmonic dissipative acoustic problems

Alfredo Bermúdez de Castro, Luis María Hervella Nieto y Rodolfo Rodríguez Alonso

Andrés Prieto Aneiros

El trabajo presentado a lo largo de la tesis se enmarca en el dominio de la frecuencia, es decir, bajo la hipótesis de dependencia armónica de la variable del tiempo. De hecho, nuestra atención se centrará en problemas de propagación acústica en el régimen de bajas frecuencias, en el que la discretización mediante un método de elementos finitos es aún viable y no costosa, desde un punto de vista computacional. En la primera parte, centramos nuestra atención en el cálculo de las frecuencias de resonancia y de la respuesta en frecuencia de materiales porosos acoplados a fluidos acústicos en recintos acotados. Mientras la segunda parte se dedica al análisis matemático y numérico de la técnica de las PML, la cual también puede ser considerada como un caso especial de medio disipativo. Finalmente, la última parte de este trabajo muestra algunas aplicaciones computacionales que involucran medios porosos y que usan la técnica de las PML para truncar el dominio no acotado que involucra el problema de propagación acústica.

La primera parte está dedicada al estudio de la propagación acústica en régimen armónico a través de materiales porosos. Esta clase de materiales es ampliamente usada en diferentes aplicaciones del control pasivo do ruido. Estos materiales son bien conocidos por su habilidad para disipar las ondas acústicas. Por lo tanto, desde un punto de vista acústico, los materiales porosos poseen ventajas relevantes frente a otra clase de materiales ya que son ligeros y absorbentes al mismo tiempo. Esta primera parte tiene dos objetivos fundamentales. Por una parte, hacer una revisión de los modelos de medios porosos atendiendo a las características físicas de los materiales, ya sean de parte sólida rígida o elástica, remarcando la diferencia entre los modelos clásicos y aquellos que aparecieron recientemente, obtenidos mediante las técnicas de homogeneización. Por otra parte, nuestra atención también se centra en la resolución numérica de alguno de estos modelos, proporcionando herramientas numéricas capaces de calcular as frecuencias de resonancia y la respuesta en frecuencia de sistemas acústicos que involucran a estos materiales porosos.

La segunda parte de la tesis está dedicada al estudio de la técnica de las PML ( Perfectly Matched Layers ). Primero se introducen las ecuaciones en derivadas parciales que definen su comportamiento como originalmente hizo Berenger empleando el argumento de la separación artificial de las variables del problema (también conocido como ``splitting'') para después darle una interpretación física como medio disipativo que no produce reflexiones espurias al acoplarse con un fluido acústico. De hecho la técnica de las PML es la herramienta numérica que se usa a lo largo de este trabajo para truncar el dominio computacional de los problemas de dispersión acústica enunciados sobre dominios no acotados. Esta técnica permite reducir el dominio de dichos problemas sin perturbar demasiado la solución del problema original. Sin embargo, el estudio de las PML no se reduce a la simple utilización de la técnica sino que a lo largo de esta parte de la tesis se propone una modificación que optimiza los resultados numéricos obtenidos en los problemas discretizados. Más precisamente, hasta ahora para construir las capas PML se usaba una función absorbente acotada, que aún que teóricamente adecuadas, no producía unos resultados numéricos óptimos en los problemas discretizados. A lo longo de esta parte además de presentar esta técnica, se analizan desde un punto de vista teórico e numérico la solución de estos inconvenientes empleando una función absorbente no integrable.

n la tercera parte, se presentan algunas aplicaciones numéricas de la técnica de las PML y de los modelos de medios porosos que fueron estudiados en las dos primeras partes. Primero, comparamos dos modelos diferentes que tratan de modelar medios disipativos: el modelo de Allard-Champoux, que se puede entender como un medio de reacción extensa (entendiendo que el campo de presiones en un punto espacial depende de los valores de la presión que hay a su alrededor) y el modelo de impedancia de pared que se clasifica como un modelo de reacción local (ya que la presión en la impedancia de pared depende únicamente de lo que ocurre en ese punto espacial concreto). Los dos modelos son comparados en varios problemas de dispersión acústica enunciados en dominios no acotados. Después, el cálculo del coeficiente de absorción es analizado para los modelos de medios porosos de parte sólida rígida y para diferentes tipos de paneles de reacción local. En todos los casos, se lleva a cabo un análisis preliminar con ondas planas y, además, la técnica de las PML es usada para truncar el dominio computacional de interés físico en todos los problemas.

2007

Numerical analysis of second order Lagrange-Galerkin schemes. Application to option pricing problems.

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela e Carlos Vázquez Cendón

María Rodríguez Nogueiras

En esta tesis se estudia la resolución numérica de ecuaciones lineales, y no lineales, de tipo convección-difusión-reacción mediante un método de Lagrange-Galerkin de orden dos. El estudio ha sido motivado por una aplicación en finanzas: la valoración de productos financieros de tipo derivado usando ecuaciones en derivadas parciales.

Más detalladamente, el método de Lagrange-Galerkin se introduce usando el formalismo de la mecánica de los medios continuos y formulaciones débiles. Después, se establecen rigurosamente las propiedades de estabilidad y consistencia (orden dos) del algoritmo. Además, se aborda el problema de la cuadratura numérica, proponiendo fórmulas de cuadratura para elementos finitos de Lagrange, lineales y cuadráticos, que preservan la estabilidad del método (como se comprueba mediante un análisis de Fourier). Finalmente, se muestran algunos ejemplos numéricos obtenidos mediante un código implementado en FORTRAN, que ilustran y completan nuestro análisis.

Con respecto a la aplicación en finanzas, se realiza una introducción a la modelización en finanzas en el marco de Black-Scholes, centrándonos en un tipo particular de opciones financieras: las opciones asiáticas, para las que se deducen algunas propiedades originales y se formula el problema matemático de valoración de las mismas.

En el caso de las opciones asiáticas de tipo europeo, se realiza la resolución numérica del problema de valoración empleando los métodos de Lagrange-Galerkin analizados, atendiendo a las particularidades del problema concreto (por ejemplo, se optimiza la estructura algebraica del algoritmo).

En el caso de las opciones asiáticas de tipo americano, su resolución numérica combina un algoritmo iterativo con los métodos de Lagrange-Galerkin. Más precisamente, se han comparado dos algoritmos basados en la formulación mixta del problema: el algoritmo de Bermúdez-Moreno y un algoritmo de conjunto activo de tipo quasi-Newton.

En los dos casos de opciones asiáticas, los resultados numéricos obtenidos son muy satisfactorios comparados con resultados obtenidos mediante métodos de Lagrange-Galerkin clásicos y comparados con resultados de la literatura obtenidos con distintos métodos.

Beca de Formación del Profesorado Universitario, del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (2001-2005). Proyectos:

• Contrato de Investigación: "Numerical solution of models for pricing financial derivatives". Fundación Caixa Galicia. (2001-2003). Ivt. ppales: Alfredo Bermúdez y Carlos Vázquez.
• Proyecto de Investigación: "Métodos de características elementos finitos para la simulación del calor por convección natural". (2003-2006) Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Ivt. ppal: Alfredo Bermúdez.

2005

Análisis variacional y numérico de problemas de contacto en viscoelasticidad con memoria larga.

Mircea Sofonea y Juan Manuel Viaño Rey

Ángel Daniel Rodríguez Arós

Los fenómenos de contacto involucrando cuerpos deformables abundan en los procesos industriales, como por ejemplo en el sector automovilístico, el siderúrgico o el de la construcción, pero también en la vida cotidiana. Los ejemplos de ello son numerosos y variados, como se advierte simplemente con citar el contacto de las pastillas de freno con la rueda, de los neumáticos con la carretera o del alambre con los "brackets" dentales en ortodoncia. En todos estos casos, el rozamiento es uno de los fenómenos tribológicos más importantes asociados al contacto. Por esta razón existe una extensa literatura dedicada al estudio de las distintas formas de contacto y rozamiento para una amplia variedad de materiales. Con gran impulso desde los años 60, la mecánica clásica modeliza estos fenómenos fuertemente no lineales mediante inclusiones diferenciales y aborda su estudio con argumentos de la teoría de operadores maximales monótonos, lo que conduce a formulaciones en base a inecuaciones variacionales. Los problemas sin rozamiento constituyen una primera aproximación en el estudio de problemas más realistas que sí lo tengan en cuenta.

Por otra parte, la investigación en mecánica de sólidos deformables se ha visto enriquecida en las últimas décadas con la superación de los clásicos modelos en elasticidad, que habían sido estudiados en gran detalle a lo largo del siglo XX. Su incapacidad para describir fenómenos reales como, por ejemplo, el endurecimiento, la relajación, las deformaciones irreversibles o el envejecimiento ha hecho necesario el estudio de modelos más complejos que nos permitan afrontar y dar cumplida respuesta a estas dificultades.

El presente trabajo pretende aportar una contribución en este campo, realizando el análisis matemático y numérico de varios problemas de contacto para una clase concreta de materiales, los viscoelásticos de memoria larga. La principal característica de estos materiales, desde el punto de vista mecánico, es que la evolución de tensiones y deformaciones no depende solamente de lo que esté sucediendo "ahora" en el material, sino que depende también (en mayor o menor medida) de lo que le ha sucedido "antes", esto es, de su historia o memoria. En la naturaleza, diversos tipos de polímeros, gomas, pastas y maderas tienen un comportamiento mecánico que se ajusta a esta descripción.

Los contenidos que se presentan son el resultado del estudio de diversos problemas de contacto en viscoelasticidad con memoria larga, con y sin rozamiento y en su mayor parte están publicados o pendientes de publicación en revistas internacionales de la especialidad. Las formulaciones variacionales que se obtienen pueden englobarse en dos clases de inecuaciones variacionales evolutivas diferentes. El primer tipo, que hemos denominado "inecuaciones variacionales con término integral de tipo Volterra" está asociado a los problemas de contacto sin rozamiento. El segundo tipo, que hemos denominado "inecuaciones variacionales integro-diferenciales de Volterra", a problemas de contacto con rozamiento, mayormente. Su estudio se basa fundamentalmente en argumentos de la teoría de operadores monótonos en espacios de Banach y de punto fijo.

Por tanto, el objetivo de este trabajo es doble. Por una parte, se estudian la existencia y unicidad de solución, las propiedades y la aproximación numérica de dos clases de inecuaciones variacionales evolutivas, pero al mismo tiempo, estos resultados teóricos son aplicados al análisis variacional y numérico de una variada gama de problemas de contacto con y sin rozamiento para sólidos viscoelásticos de memoria larga. Entre estos podemos destacar el problema de contacto unilateral sin rozamiento entre un cuerpo y una fundación rígida (Signorini) o deformable (con respuesta normal), el problema de contacto entre dos cuerpos deformables con condiciones de no interpenetración ni rozamiento, el problema de contacto bilateral y rozamiento de tipo Tresca entre un cuerpo deformable y una fundación rígida, el problema de contacto unilateral sin rozamiento entre un cuerpo deformable y una fundación semirígida, y algunos otros más.

En general, para cada problema de contacto, la intención ha sido la de partir del modelo mecánico para cubrir en sus aspectos teóricos y prácticos el estudio de la existencia y unicidad de solución débil, su aproximación numérica, el análisis del error, y eventualmente la implementación en ordenador de un algoritmo que permita realizar simulaciones numéricas. De esta manera, en cada capítulo o sección se plantean y estudian el problema de contacto en su forma diferencial, en su forma variacional, el problema aproximado con discretización espacial y el problema aproximado con discretización espacial y temporal.

Este trabajo ha sido realizado en el marco de la acción integrada Francia-España HF2001-0036. Además, es parte del proyecto ``Contacto de materiales viscoplásticos y viscoelásticos: formulación matemática y análisis numérico'' del Ministerio de Ciencia y Tecnología (referencia BFM2003-05357) y del proyecto ``New Materials, Adaptive Systems and their Nonlinearities; Modelling Control and Numerical Simulation'', que forma parte del programa de la U.E. ``Improving the Human Research Potential and the Socio-Economic Knowledge Base'' (Contrato n$^0$ HPRN-CT-2002-00284).

2005

Estudio matemático y resolución numérica de modelos que surgen en el estudio de una colada de aluminio.

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

María Victoria Otero Piñeiro

El primer objetivo de este trabajo es el estudio del comportamiento del aluminio durante el proceso industrial de la colada. Los procesos de solidificación de aluminio en los que nos centramos son aquellos destinados a la obtención de lingotes de grandes dimensiones mediante la colada clásica y la colada electromagnética. En la colada clásica el aluminio líquido se confina mediante un molde, mientras que en la electromagnética se confirma gracias al campo electromagnético. Ambos procesos industriales presentan características que los diferencian de otros procesos como el de la solidificación en un molde, entre los que cabe destacar el contacto directo del agua de refrigeración con el bloque en formación, que provoca una solidificación más rápida, con el objetivo de mejorar la calidad del producto final.

Durante ambos procesos de colada hay que tener en cuenta los diferentes fenómenos que surgen además del ya mencionado fenómeno térmico: los fenómenos electromagnéticos, hidrodinámicos y mecánicos. El fenómeno térmico involucra un cambio de estado y está acoplado con los demás fenómenos, aunque en este trabajo no se considera dicho acoplamiento.
El modelo matemático que planteamos consta de una formulación tipo entalpía con un término convectivo que tiene en cuenta el campo de velocidades en el líquido debido al campo electromagnético, que se supone conocido. Este modelo permite contemplar la posibilidad de un cambio de estado gradual (de modo que la entalpía sea unívoca) o un cambio de estado a temperatura fija (la entalpía es multívoca). Supondremos que el material tridimensional variable con el tiempo.

Con objeto de probar que este modelo tiene solución, presentamos un resultado de existencia en un marco abstracto. Mediante un cambio de variable adecuado, se obtiene una formulación débil, en un dominio fijo, del modelo planteado inicialmente. El problema resultante se enmarca dentro de la formulación abstracta correspondiente al resultado de existencia dado.
Para la resolución numérica se plantea una formulación débil en el dominio variable con el tiempo, y a continuación se procede a su discretización con un esquema implícito en tiempo, un método de elementos finitos lineales a trozos en espacio y se propone un algoritmo iterativo para resolver el problema no lineal resultante.

La segunda parte de este trabajo se centra en el estudio del proceso de solidificación de aleaciones. En la mayor parte de los procesos industriales de colada, el material que se solidifica no es una sustancia pura, sino que se trata de una aleación con varias componentes. Uno de los fenómenos más destacables de la solidificación de una aleación es que, durante el cambio de estado, el líquido se enriquece de impureza mientras que el sólido se empobrece.

A diferencia del caso de solidificación de una sustancia pura, no solamente se estudia el comportamiento de la temperatura, sino que debemos obtener la concentración de las componentes de dicha aleación. En el caso de una aleación binaria, planteamos un sistema de ecuaciones en derivadas parciales para la temperatura y la concentración de una de las componentes durante el proceso de solidificación. Ciertos parámetros que intervienen en las ecuaciones se suponen dependientes de ambas incógnitas. Además, las ecuaciones para la temperatura y la concentración de soluto están acopladas a través del llamado diagrama de fases de la aleación.

La resolución numérica se plantea en un dominio bidimensional fijo. Se considera un esquema semi-implícito en tiempo, que permite eliminar las no linealidades debidas a que los parámetros dependen de las dos incógnitas del problema. Se comprueba la existencia de solución máxima y mínima del problema resultante. Para deshacer el acomplamiento que todavía persiste entre ambas ecuaciones, se plantea un algoritmo iterativo. Por último, se procede con una discretización espacial mediante un método de elementos finitos lineales a trozos.

Proyecto PGIDT00PXI20701PR Análisis matemático y métodos numéricos en ecuaciones en derivadas parciales. Aplicaciones en física e Ingeniería.

2004

Contribución al modelado matemático de algunos problemas en la metalurgia del silicio

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

Francisco José Pena Brage

El objetivo de la tesis es analizar desde un punto de vista analítico y numérico dos modelos matemáticos que aparecen en los problemas ligados a la metalurgia del silico. El primero de ellos se utiliza para estudiar el comportamiento termoeléctrico de electrodos metalúrgicos en un horno de arco. El segundo se refiere al modelado de la colada de silicio. Desde un punto de vista matemático, se tiene un sistema no lineal de ecuaciones de Maxwell en baja frecuencia y el problema térmico a partir de las ecuaciones de transferencia de calor en estado evolutivo. El acoplamiento entre ambos modelos es debido a que la fuente de calor en el problema térmico es el efecto Joule y al hecho de que los parámetros físicos dependen de la temperatura. En el caso de la colada de silico sólo se considera la ecuación de transferencia de calor en estado evolutivo, al no existir efecto Joule. Este desacoplamiento permite consdierar un nuevo efecto, El cambio de estado en algunos materiales, que se refleja en la multivocidad de la entalpía.

El Capítulo 1 de la primera parte tiene como objetivo la descripción del problema físico de la producción de silicio y en particular del funcionamiento de los electrodos del horno y sus diferentes componentes. En la última parte del capítulo se hace un resumen de los artículos de la bibliografía que proponen modelos matemáticos para el estudio de los electrodos y/o presentan resultados numéricos derivados de esos modelos.

En el Capítulo 2 se aborda la descripción de las ecuaciones que intervienen en los modelos matemáticos, detallando su dedución y posibles variantes. Se inicia el capítulo con las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell; se escriben las ecuaciones simplificadas para baja frecuencia, corriente alterna y corriente continua. En el siguiente apartado se analiza la ecuación de transferencia de calor y su escritura en varios casos: con o sin cambio de estado, con dependencia de los parámetros respecto del punto espacial, .. Como colofón, se introduce un problema muy parecido, el conocido como problema de "thermistor" del que existe amplia bibliografía, se presenta un cuadro comparativo con los artículos que estudian aspectos teóricos del problema termoeléctrico acoplado. Vemos que en la mayor parte de los artículos que abordan este tema no se hace hincapié en el término de la entalpía y en general, ésta se toma igual a la temperatura.

En el Capítulo 3 demostramos un resultado de existencia para nuestro modelo en un dominio tridimensional. En la parte térmica se considera la existencia de cambio de estado "gradual", de forma que la entalpía no sea multívoca. Existen varios materiales, lo que se traduce en que los parámetros termoeléctricos pueden depender del punto espacial. En la parte electromagnética la principal suposición que hacemos será que la corriente es cuasi-estacionaria. La corriente podrá ser variable en el tiempo (no necesariamente alterna). Pretendemos así investigar un problema más sencillo que el correspondiente al cambio de fase a una temperatura dada, pero analizado en un marco adecuado para su extensión a este último caso. En la parte térmica, el término de la entalpía nos lleva a tener que usar operadores de sustitución para poder tratar la derivada temporal de la entalpía.

El Capítulo 4 se centra en el estudio numérico de un modelo axisimétrico para un único electrodo, por lo que se usan las coordenadas cilíndricas. El algoritmo se basa en una semidiscretización en tiempo mediante un esquema implícito y un método de elementos finitos, continuos lineales a trozos en espacio.

El Capítulo 5 se dedica a la descripción de un paquete informático programado en Fortran que implementa el agloritmo anterior. Este programa dispone de una interfaz gráfica que permite al usuario modificar una amplia gama de parámetros antes de realizar la simulación numérica. Asimismo, le permite visualizar los resultados obtenidos. Un ejemplo de la simulación del estado evolutivo de un electrodo ELSA es mostrado, bajo condiciones realistas.
En la segunda parte de este trabajo analizamos otros proceso físico ligado a la producción de silicio. Se trata del enfriamiento del silicio, una vez que ha salido de la cuba, sobre placas de cobre refrigerado.

El Capítulo 1 de esta segunda parte describe el problema físico del enfriamiento del silicio cuando se utiliza una mesa de colada continua.

El Capítulo 2 presenta un resultado de existencia para un modelo bidimensional de la placa. Se considera la ecuación del calor con término fuente nula y condiciones de contorno de tipo "convencción-radiación". A diferencia del problema de los electrodos, en este caso, podremos probar un resultado de existencia que contemple el cambio de fase. A pesar de que, en la realidad, el silicio se mueve sobre la mesa de colada, el resultado requiere velocidad nula. La principal dificultad del problema reside en que la transmisión de calor entre el silicio y la placa es imperfecta, siendo desconocida la resistencia de contacto que se establece entre ambos. Aprovechando el hecho de que el calor evacuado por la placa es conocido, se demuestra entonces un resultado de existencia de solución para cada calor experimental dado.
En el Capítulo 3 se describe un algoritmo numérico para un modelo bidimensional correspondiente a la sección media de la placa. Un método de punto fijo permite ajustar la resistencia de contacto que devuelve el calor evacuado obtenido experimentalmente.
Finalmente, en el Capítulo 4 se muestran los resultados obtenidos utilizando un programa de ordenador que implementa el algoritmo anterior.

Los datos utilizados para tal simulación se corresponden en el orden de magnitud con la situación real en planta.

Proyectos:

• FEDER-CICYT 1FD97.0280 Simulación numérica termo-electromagneto-hidrodinámica de un horno de inducción..
• Modelo matemático de colada continua de ferroaleaciones (Ferroatlántica).
• Modelizacion matemática y simulación por ordenador de electrodos, coladas y procesos de purificación en la industria del silicio (Ferroatlántica) año 2002.
• Modelizacion matemática y simulación por ordenador de electrodos, coladas y procesos de purificación en la industria del silicio (Ferroatlántica) año 2003.

2003

Contribución ao estudio de modelos matemáticos en acústica e interacción fluído-estructura

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela e Rodolfo Rodríguez Alonso

Duarte Santamarina Ríos

El trabajo realizado tuvo por objetivo introducir, analizar y resolver numéricamente modelos matemáticos de acústica disipativa y de la interacción fluido-estructura.

En primer lugar, se desarrollaron y dedujeron por procedimientos relativamente rigurosos, las ecuaciones de la acústica disipativa, en su formulación más general, considerando que la disipación puede ser de índole dinámica y térmica. Se linealizaron las ecuaciones haciendo uso de técnicas estándar con el fin de analizarlas de forma matemática y poder implementarlas computacionalmente. Se presentaron diversas formulaciones del problema utilizando distintas variables para describir el comportamiento del fluido. Las ecuaciones que se obtuvieron se compararon con las que aparecen en la bibliografía existente sobre este tópico para ver que eran coincidentes. Además, se presentaron otras novedosas, como son por ejemplo la formulación en desplazamientos o la de desplazamientos y temperatura.
En la segunda parte de la memoria se analizó una de las formulaciones del problema de la acústica disipativa presentadas en el capítulo primero: la formulación en el desplazamiento y temperatura. El estudio realizado consistió en el análisis del problema evolutivo donde se obtuvo la existencia y unicidad del mismo; se discretizó temporalmente por elementos finitos y se estudiaron dos discretizaciones temporales de la misma. Se comprobó también la convergencia temporal de los métodos.

En el tercer capítulo se estudió un problema de interacción fluído-estructura propiamente, el problema de elastoacústica en formulación en desplazamientos. En el dominio de las frecuencias estos problemas fueron ampliamente analizados y la extensa cantidad de referencias bibliográficas sobre el particular dan testimonio de ello. Por el contrario, los trabajos existentes en el dominio del tiempo sobre el tópico son relativamente escasos. Se estudió, de la misma forma que en el capítulo previo, la existencia y unicidad de solución y se presentó una discretización temporal de la que se probó su convergencia. Se implementó computacionalmente y se observaron las buenas características del esquema propuesto (esquema conservativo, orden 2).

Para terminar, en el último capítulo se resolvió un problema de hidroelasticidad. Se trata de un problema tridimensional en el que el fluido tiene una frontera libre y el sólido es una placa sumergida. Los modos de vibración calculados mediante un método de elementos finitos fueron comparados con éxito contra valores obtenidos experimentalmente.

Estancías:

• FONDAP Matemática Aplicada y CONICYT-Chile en 2 estancías de investigación.
• Xunta de Galicia: Secretaría Xeral de I+D en su Programa de Recursos Humanos: "Becas para estancías en el extranjero y en centros españoles situados fuera de la Comunidad Autónoma" PGIDT01PX y PGIDT02PX.

Proyectos:

• Recubrimientos híbridos pasivo-activos para la absorción del ruido de banda ancha. Proyecto Programas Nacionales DPI2001-1613-C02-02 Del 28/12/2001 al 27/12/2004. Ministerio de Ciencia y Tecnología.
• 
  Análisis matemático y métodos numéricos en ecuaciones en derivadas parciales. Aplicaciones en Física e Ingeniería. (Participante) Proyecto Programas Autonómicos PGIDT00PXI20701PR Del 28/07/2000 al 31/12/2002.

2002

 

Mathematical and numerical analysis of some electromagnetic problems. Application to the simulation of metallurgical electrodes.

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela e Rodolfo Rodríguez Alonso

María del Pilar Salgado Rodríguez

El objetivo de la tesis es introducir y analizar un modelo matemático tridimensional para estudiar el comportamiento termoeléctrico de electrodos metalúrgicos en un horno de arco. Desde un punto de vista matemático el modelado termoeléctrico de electrodos da lugar a un sistema no lineal de ecuaciones en derivadas parciales para los campos electromagnéticos y la temperatura. En concreto, el problema electromagnético se obtiene a partir de las ecuaciones de Maxwell en baja frecuencia y régimen armónico y el problema térmico a partir de la ecuación de transferencia de calor en estado estacionario. El acople entre ambos modelos es debido a que la fuente de calor en el problema térmico es el efecto Joule y al hecho de que los parámetros físicos dependen de la temperatura. En la memoria se estudia el problema acoplado y una parte importante de la investigación se centra en el estudio y la resolución numérica del problema electromagnético.

El Capítulo 1 tiene como objetivo la descripción del problema físico y de los modelos matemáticos a estudiar.
En la primera parte del capítulo se describe detalladamente el problema físico que tiene lugar un horno eléctrico para la producción de silicio así como la problemática de los electrodos. A continuación, se introduce el modelo electromagnético en el horno completo, considerando condiciones de contorno adecuadas para resolver el problema en un dominio acotado que contiene conductores y dieléctricos. Dado que este modelo es bastante complejo y su resolución numérica supone un alto coste computacional, es importante disponer de modelos más sencillos que describen separadamente los componentes del horno. Por ello, se propone un modelo electromagnético sobre un único electrodo y con condiciones de contorno adecuadas desde un punto de vista de las aplicaciones.

Los dos modelos electromagnéticos derivan en interesantes problemas matemáticos que son estudiados en los siguientes capítulos. Finalmente, se introduce un modelo térmico estacionario que será acoplado con el modelo electromagnético.

En el Capítulo 2 se aborda el estudio matemático y la resolución numérica del problema electromagnético sobre el horno completo. El dominio de cálculo incluye en este caso conductores y dieléctricos. En consecuencia, siguiendo las ideas de Bossavit y Verité se introduce una formulación débil del problema en términos de un campo magnético en el conductor y de un potencial escalar magnético en el dieléctrico. Se consideran problemas relacionados con la topología del dominio, concretamente, se contempla la posibilidad de que el dominio dieléctrico no sea simplemente conexo lo cual conduce a trabajar con un potencial multievaluado en el dominio.

Se propone un método de elementos finitos para la resolución numérica del problema y se prueban estimaciones de error bajo hipótesis de regularidad suficientes sobre la solución.

El capítulo se completa con la descripción de técnicas numéricas para implementar eficientemente el método numérico en ordenador y se presentan resultados numéricos que muestran las propiedades de convergencia probadas teóricamente.

En el Capítulo 3 se analiza desde un punto de vista matemático y numérico el problema electromagnético sobre un único electrodo, es decir, sobre un dominio conductor y acotado.

La idea más novedosa del modelo es la introducción de condiciones de contorno directamente relacionadas con las intensidades de corriente impuestas en el electrodo. Además, se analiza un problema relacionado con éste, donde el dato de contorno sería el flujo de corriente en lugar de las intensidades. Se trata de condiciones de contorno que no son esenciales ni naturales, por lo que se imponen mediante la introducción de un multiplicador de Lagrange. Las formulaciones mixtas resultantes se analizan matemáticamente siguiendo las técnicas clásicas y se propone un método de elementos finitos para su resolución. Dependiendo de la regularidad de los datos se estudian diferentes problemas discretos para los que se obtienen resultados de convergencia bajo hipótesis de regularidad sobre la solución. La última sección del capítulo incluye diferentes resultados numéricos.

En el Capítulo 4 se acopla el problema electromagnético con el problema térmico.

La primera parte del capítulo está dedicada al estudio matemático del problema continuo e incluye un teorema de existencia de solución. Desde un punto de vista matemático se trata de un problema similar al del "thermistor" pero no es posible utilizar las técnicas utilizadas en estos problemas. Esto es debido, a que en nuestro caso los parámetros físicos no solo dependen de la temperatura sino también de la posición y por otra parte la incógnita del problema eléctrico no es un potencial escalar como ocurre habitualmente en el problema del thermistor.

Como consecuencia, es necesario utilizar técnicas para problemas elípticos que contienen segundos miembros en L1.

En la segunda parte del capítulo se introduce la resolución numérica del problema acoplado y se describen los algoritmos iterativos propuestos para resolver las diferentes no linealidades que presenta el problema.

La última parte del capítulo recoge resultados numéricos correspondientes a la simulación de electrodos reales.

2002

Contribución al estudio de problemas de simulación elastoacústica y control activo del ruido

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela e Rodolfo Rodríguez Alonso

Pablo Gamallo Ponte

Este trabajo consta de tres partes relacionadas, cada una corresponde a un capitulo. El trabajo está enfocado al desarrollo de herramientas de cálculo eficientes para el diseño acústico de recintos y para el diseño de sistemas de control pasivo-activo del ruido.

En el primer capítulo se estudia el problema del cálculo de las vibraciones libres de un sistema elastoacústico no disipativo. El calculo de estos modos propios permite, entre otras cosas, determinar para que frecuencias de producen niveles altas de ruido en el fluido, lo cual es interesante, tanto desde el punto de vista del diseño de recintos (automóviles, aviones,.) como a la hora de implementar un sistema de Control Activo del ruido para reducir el nivel de ruido.

En general, la disipación en el interior del fluido debida a su viscosidad suele ser despreciable, sin embargo, para poder estudiar el efecto que tienen sobre el sistema las técnicas pasivas de reducción del ruido (control pasivo), es fundamental modelar la disipación debida a materiales viscoelásticos (impedancias de pared) colocados entre el fluido y la estructura. En este caso, el problema de valores propios que se obtienen para el sistema elastoacústico con disipación es no lineal, lo que complica notablemente su resolución, incluso en casos muy sencillos. Una alternativa consiste en determinar las frecuencias de resonancia haciendo un barrido en frecuencias. Es decir, obtener la denominada curva de respuesta en frecuencia del recinto. Para ello, es necesario resolver para cada frecuencia un problema fuente. Por un lado, esto simplifica el problema pero, por otro lado, se hace muy costoso desde un punto de vista computacional, ya que el número de frecuencias necesario para obtener una representación adecuada de la curva de respuesta suele ser grande.

El segundo capítulo apunta en esta dirección. Se estudia por simplificidad el problema fuente para un sistema acústico disipativo (fluido sin viscosidad pero con impedancias de pared) sin acoplamiento con una estructura, el efecto de esta se modela a través de condiciones de contorno adecuadas. Al ser problemas armónicos, el modelo que se obtiene es la ecuación de Helmholtz. Las técnicas analizadas en este capitulo permiten obtener la curva de respuesta en frecuencia para una cavidad que contiene un fluido acústico sin viscosidad y en cuyas paredes puede haber materiales viscoelásticos (sistema acústico disipativo). No parece complicado extender estas técnicas al caso acoplado, es decir, al sistema elastoacústico con impedancias de pared. Además, se incluye en este capitulo el estudio del caso en el que el termino fuente es del tipo delta de Dirac, este estudio es fundamental para poder abordar el problema de Control Activo del Ruido que se analiza en el tercer capitulo.

En el último capitulo se estudia un problema de Control Activo del ruido para un sistema acústico disipativo como el que se analiza en el segundo capitulo. Este problema consiste en determinar las posiciones, amplitudes y fases de una serie de actuadores, modelados como deltas de Dirac (monopolos), para minimizar el nivel de ruido arónico en una serie de puntos de un recinto. El ruido que se desea reducir (denominado ruido primario) es debido a la vibración armónica de la frontera (corresponde al efecto de la estructura sobre el fluido) y se modela con una condición de contorno adecuada. De nuevo, extender los resultados al caso de un sistema acoplado elatoacústico con impedancias de pared no parece complicado.

• Beca predoctoral de la Xunta de Galicia.

Beca FPU del Ministerio de Educación y Ciencia.

2002

Análisis numérico de problemas de contacto sin rozamiento en viscoplasticidad

Juan Manuel Viaño Rey

José Ramón Fernández García

En esta tesis se estudian, desde el punto de vista matemático y numérico, los siguientes problemas cuasiestáticos de contacto en viscoplasticidad:

1. Problema de contacto con un sólido deformable de respuesta normal: Se establece la existencia y unicidad de solución débil, se propone un esquema de resolución utilizando el método de los elementos finitos y el esquema de Euler implícito. Se deriva un resultado de la estimación del error y se concluye con algunas experiencias numéricas que muestran la eficacia del algoritmo.
2. Problema de contacto con un sólido rígido (Signorini): Utilizando un problema estudiado de Rochdi desde el punto de vista matemático y un esquema introducido por Han y Sofonea, se implementa y se muestran algunos ejemplos numéricos que comprueban las estimaciones del error teóricas. Además, se verifica numéricamente la convergencia de la solución del problema anterior hacia la solución de este.
3. Problema de contacto entre cuerpos viscoplásticos: Se considera el problema estudiado por Rochdi y Sofonea y se extiende los resultados de Han y Sofonea el caso de considerar mallados incompatibles usando las ideas de Ben Belgacem, Hild y Laborde. Se proponen dos formas de discretización espacial usando el operador de unión (presentado en la tesis de Hild) y el operador de interpolación de Lagrange. Se aproxima en tiempo mediante el esquema de Euler implícito, se deducen estimaciones del error en cada caso y se estudian diversos ejemplos numéricos.

Además, para cada uno de los problemas anteriores se analizan problemas análogos con una variante de la ley constitutiva obtenida al considerar variables de estado internas.

2002

Análisis matemático y simulación numérica del comportamiento termomecánico de una colada de aluminio

Peregrina Quintela Estévez

Patricia Barral Rodiño

En la memoria se estudia un modelo matemático que describe el comportamiento termomecanico de una placa de aluminio durante el proceso de colada. Se trata de un problema de evolución cuasi-estático para materiales viscoelásticos de Maxwell-Norton, formulado en un dominio tridimensional que varia con el tiempo, con un condicion de contacto en una parte de la frontera.

Las principales dificultades que surgen en la resolución numérica de este problema son la imposición de la condición de contorno que refleja la presión metalostática ejercida por el aluminio liquido sobre la zona ya solidificada, el tratamiento de la condición de contacto y la no linealidad de la ley viscoelástica. La utilización de un metodo de dominio ficticio permite implementar numéricamente la presión metalostática de una forma sencilla, si bien es necesario conocer los parámetros mecánicos que se deben considerar en la ley de comportamiento de dicho dominio ficticio. Estos parametros se obtienen a partir de un análisis asintótica del problema. Para tratar la condición de contacto y evitar la no linealidad de la ley viscoelástica se utilizan tecnicas de operadores maximales monotonos.

La formulación variacional propuesta se discretiza en espacio mediante un metodo de elementos finitos y en tiempo mediante un esquema implicito.

El algoritmo construido se valida con varios ejemplos academicos. Además, se presentan las deformaciones obtenidas en la simulación de diversos procesos de colada y se comparan estos resultados con datos experimentales.

Finalmente, se demuestra la existencia de solución del submodelo obtenido al eliminar la dependencia del dominio con respecto al tiempo y de la ley constitutiva con respecto a la temperatura.

Beca IGAPE y contratos con INESPAL.

2001

Métodos de elementos finitos y reducción modal para problemas de interacción fluido-estructura

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela e Rodolfo Rodríguez Alonso

Luis María Hervella Nieto

En esta memoria se proponen y analizan diversos métodos numéricos para el cálculo de los modos de vibración de un sistema formado por una estructura elástica y un fluido compresible. Consta de dos capítulos y un apéndice.

En el primer capítulo se considera que la estructura elástica es una placa. Se describe un modelo para las vibraciones del sistema placa-fluido, que resulta de acoplar las ecuaciones de Reissner-Mindlin para la placa con las ecuaciones para pequeños movimientos de un fluido compresible no viscoso en dimensión tres, y se plantea el correspondiente problema espectral. Se describe una discretización por elementos finitos basada en elementos MITC3 para la placa y elementos de Raviart-Thomas para el fluido. Se demuestra la convergencia de los autovalores y las autofunciones del problema espectral discreto hacia las del problema espectral continuo con orden óptimo. Se presentan asimismo resultados numéricos ilustrativos del método numérico propuesto.

En este primer capítulo se considera también un modelo para el sistema que resulta de introducir entre la placa y el fluido una fina capa de un material aislante. Se estudian un problema fuente, un problema no lineal de autovalores asociado al problema fuente y un problema simplificado, se plantea la discretización de estos problemas y se muestran los correspondientes resultados numéricos.

En el segundo capítulo se considera un sistema formado por una estructura elástica que encierra un fluido compresible en dimensión 2. Se estudia el problema espectral en formulación potencial/desplazamiento, así como su aproximación mediante el método de reducción modal. Se efectúa una descripción completa del método de reducción modal, teniendo en cuenta que en la práctica éste ha de combinarse con una discretización mediante elementos finitos en el fluido y en el sólido. Se obtienen estimaciones de error que tienen en cuenta tanto la reducción modal como la discretización por elementos finitos. En este segundo capítulo también se estudia una discretización directa del problema espectral en potencial/desplazamiento y se muestran resultados numéricos correspondientes a los métodos en él descritos.

Beca FPU y Acción Integrada Hispano-Francesa: HF98-167.

2000

Análisis y control óptimo de problemas relacionados con la dispersión de contaminantes

Aurea María Martínez Varela e Carmen Rodríguez Iglesias

Miguel Ernesto Vázquez Méndez

Se presenta un modelo bidemensional de dispersión de contaminantes en medios marinos que permite obtener modelos relativos a ciertos indicadores de polución muy utilizados; entre ellos, un modelo acoplado de Demanda Biológica de Oxígeno (DBO) y Oxígeno Disuelto (OD). Se lleva a cabo también la resolución numérica de dichos modelos.

Se plantea, utilizando el modelo acoplado anterior, un problema de gestión óptima de un sistema de depuración de aguas residuales vertidas al mar. Su fórmula éste como un problema de control puntual con restricciones puntuales sobre el control y sobre el estado. Se estudia matemáticamente el problema y se demuestra la existencia de control óptimo, estableciendo asimismo un sistema de optimalidad. Se aborda la resolución numérica del problema de control discreto utilizando un método de puntos adminisibles y se contrastan los resultados utilizando también un algoritmo de programación cuadrática sucesiva. Por último, se presentan resultados numéricos obtenidos en situaciones realistas sobre diferentes rías gallegas.

 

1999

Estudio asintótico del fenómemo de St. Venant y de modos propios en vigas elásticas lineales

Juan Manuel Viaño Rey

Hipólito Irago Baúlde

En esta tesis analizamos varios tópicos correspondientes al sistema de elasticidad lineal en vigas prismáticas. Para ello nos servimos del método asintótico, donde el diámetro de la sección transversal de la viga jugará el papel de pequeño parámetro.

Así, en la aproximación de la solución reescalada del problema estacionario por el desplazamiento de Bernoulli-Navier, término de orden cero del desarrollo asintótico, el error en norma H1 es de orden de la raíz cuadrada del diámetro de la sección. Al mismo tiempo hacemos un análisis de la parte principal (capa límite) del residuo de orden cero, evidenciando formalmente el decaimiento exponencial de aquella en la proximidad de los extremos de la viga. Demostramos luego, de forma rigurosa en términos de la energía axial de deformación, este decaimiento para el caso del problema estacionario libre.

En el ámbito del sistema evolutivo justificamos, los modelos unidimensionales de tracción y torsión dando un resultado de convergencia fuerte.

Respecto del problema espectral obtenemos aportaciones de segundo orden para los autovalores y autofunciones límite de flexión. Justificamos finalmente los modelos espectrales de elongación-torsión unidimensionales como límites asintóticos de familias de autoelementos 3D con índice tendiendo a infinito cuando el diámetro de la sección transversal tiende a cero.

Proyectos:

• Shells: Mathematical modelling and analysis, scientific computing, del programa "Human Capital and Mobility (HCM)" de la Comisión de las Comunidades Europeas con participación de 9 Laboratorios Europeos de Alemania, España, Francia, Italia y Portugal. Ref. Contrato ERBCHRXCT 940536. 1995-97.
• Desarrollo de una teoría de hipervigas elásticas y su aplicación en ingeniería, proyecto coordinado con el Departamento de Mecánica de Medios Continuos da ETSCCP de la Universidad Politécnica de Madrid y financiado por la "Dirección General de Enseñanza Superior" (DGES). Ref. PB95-0862-C02-01. Septiembre 1996-septiembre 1999.

1999

Algunas contribuciones a la modelización matemática de procesos de combustión de carbón

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

José Luis Ferrín González

En esta tesis se propone un modelo matemático que describe el comportamiento de los fenómenos que ocurren en el interior de una caldera de carbón pulverizado, de las utilizadas en una central térmica, y se dan las herramientas para resolverlo. Además se construye un programa de ordenador que, por medio de un interfaz gráfico, permite simular una caldera de carbón pulverizado de manera sencilla.

Matemáticamente, se trata de un problema de dos fases acopladas formado por ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales relativas a ambas fases: la sólida y la gaseosa. La fase gaseosa establece las condiciones ambientales en las que se queman las partículas y la fase sólida proporciona fuentes para la mezcla gaseosa.

Para la fase gaseosa se considera un modelo euleriano mientras que para la fase sólida se hace una descripción lagrangiana.

Las ecuaciones de la fase sólida forman el llamado modelo de combustión, asociado a las partículas de carbón. Para ello se considera un modelo cinético simplificado formados por varias reacciones globales que tienen en cuenta la liberación de la humedad, la liberación y combustión de los volátiles y la gasificación del "char".

Parcialmente con una beca de ENDESA.

1999

Espacioes de distribuciones, operadores acretivos y radiación térmica

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

Óscar López Pouso

La memoria consta de dos partes independientes que han derivado de un único tema central, que es el estudio de las ecuaciones de transferencia de calor por radiación. Esas dos partes se corresponden con los capítulos 1 y 2 de la memoria.

En el capítulo 1 se abordan varias cuestiones relacionadas con el espacio de distribuciones sobre un cerrado V, D'(V). Este espacio está vinculado a la ecuación del transporte de neutrones, que es muy similar a la ecuación de transferencia de la intensidad de la radiación.

El capítulo 2 se centra en el sistema de EDPs formado por la ecuación de la energía y por la ecuación de transferencia de la intensidad de la radiación en una situación en la cual el gas está inmóvil, no hay conducción y hay una fuente de calor conocida f(x,t). Se prueban resultados de existencia y unicidad de solución generalizada ("MILD SOLUTION") haciendo uso de la teoría lineal de semigrupos en espacios de banach no reflexivos.

Parcialmente en el proyecto "Control óptimo de sistemas de combustión" de ENDESA.

1999

A numerical method for the computation of guided waves in integrated optics

Patrick Joly e Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

María Dolores Gómez Pedreira

En esta tesis se formula y estudia un nuevo método numérico para el cálculo de modos guiados en guías de ondas abiertas. Se considera una guía obtenida al perturbar una guía de referencia estratificada compuesta por una capa central de espesor finito y dos exteriores de espesor infinito, estando la perturbación confinada en una región acotada de la capa central. Desde el punto de vista matemático, la determinación de los modos guiados constituye un problema de autovalores para un operador elíptico autoadjunto de segundo orden planteado en la sección transversal de la guía. La dificultad esencial de este problema proviene de la no acotación del dominio.

El método propuesto involucra dos reformulaciones del problema y tres aproximaciones numéricas. En primer lugar, se transforma el problema original en uno equivalente planteado en las dos interfases entre las capas mediante la introducción de un operador pseudodiferencial que puede ser explicitado parcialmente usando la transformada de Fourier y que involucra un problema de contorno auxiliar planteado en la capa central. Seguidamente, se reduce este problema a otro equivalente, planteado en un dominio rectangular contenido en la capa central y que contiene a la perturbación, usando condiciones de contorno transparentes y series de Fourier.
La primera aproximación es debida al truncamiento de dichas series al orden N; la segunda al truncamiento de las interfases a una distancia finita R y la tercera a la discretización final mediante elementos finitos mixtos híbridos.

En la tesis también se analiza la convergencia del método con respecto a N y R por separado, se describe con detalle la implementación, se presentan experimentos numéricos y se formulan algunas generalizaciones del método propuesto.

Por el INRIA, la Universidade de Santiago de Compostela y los proyectos:

• Resolución numérica de problemas de propagación de ondas: Aplicación al estudio de guías de ondas electromagnéticas y de problemas de vibraciones fluido-estructura (Programa de Cooperación con Iberoamérica)
• Simulación numérica aplicada al proceso de fabricación del aluminio: modelización matemática de cubas electrolíticas y coladas electromagnéticas. CICYT: MAT96-0715.
• Aplicación del método de elementos finitos a la resolución de problemas industriales de ingeniería asistida por ordenador. Xunta de Galicia: PGIDT99INM20701.

1999

Estudio matemático de fenómenos de cavitación en lubricación elastohidrodinámica piezoviscosa

José Durany Castrillo y Carlos Vázquez Cendón

Guillermo García Lomba

En esta memoria doctoral se han aplicado diferentes técnicas del análisis matemático y del análisis numérico a varios problemas del ámbito de la tribología formulados mediante ecuaciones en derivadas parciales. En concreto, se ha centrado en dos modelos matemáticos de lubricación elastohidrodinámica con cavitación que incluyen, por una parte, las dificultades intrínsecas de los problemas de frontera libre y, por otra, las no linealidades debidas a las leyes de comportamiento de los fluidos que intervienen.

En relación con el análisis matemático, se han obtenido resultados de existencia de solución para el problema elastohidrodinámico de tipo hertziano con fluidos piezoviscosos y condiciones de contorno de tipo mixto.

Asimismo, se ha demostrado la existencia de solución para el problema elastohidrodinámica de tipo placa con condiciones de contorno periódicas.

En cuanto al análisis numérico, se han combinado las siguientes técnicas: algoritmos de "regula falsi" para ajustar la carga impuesta; algoritmos de punto fijo para desacoplar las partes hidrodinámica y elástica; algoritmos de transporte-difusión para tratar los términos de carácter convectivo; métodos de dualidad para la resolución de problemas no lineales de frontera libre; y discretizaciones espaciales de elementos finitos

Proyecto de investigación PB92-0323 de la DGICYT, Proyecto 21005B93  de la Xunta de Galicia, Acciones Integradas Hispano-francesas HF95B088 y HF96B273 y dos ayudas para estancias de investigación de la Universidad de Vigo (años 1993 y 1995).

1996

Esta tesis se centra en la obtención de estimaciones de error para los métodos espectrales. En la primera parte, se mejoran las estimaciones de error conocidas para la discretización, por el método de colocación-Jacobi, de un problema -elíptico bidimensional en un dominio cuadrado.

Para ello, se utiliza la descomposición de la solución en una parte regular, que se aproxima en los espacios con peso estándar, y una parte que contiene las singularidades, que se aproximan de manera optima en una nueva familia de espacios con peso, para lo cual se estudian estos nuevos espacios y se establecen resultados de aproximación polinómica en ellos. En la segunda parte se considera la discretización espectral en multidominio de un problema elíptico, usando para imponer las condiciones de acoplamiento el llamado método de "Patching". En el caso monodimensional, se mejora la estimación conocida para el esquema que usa los nodos de Gauss-Lobatto-Legendre, probando que es del mismo orden que la del método de los elementos espectrales; asimismo se prueba, mediante la formulación de un nuevo esquema, la imposición puntual de las condiciones de acoplamiento causa una perdida de optimalidad en la estimación de error. Para el caso bidimensional se demuestra la existencia y unicidad de solución del esquema discreto del método de "Patching" y se obtiene una estimación de error, cuyo orden es inferior en una unidad a la del método de elementos espectrales. Por ultimo, se demuestra la optimalidad de la discretización por colocación de un problema mixto particular, tras establecer algunos resultados de aproximación espectral uniforme de autofunciones y de ciertas funciones regulares.

1995

La memoria establece un modelo matemático que describe el comportamiento termoeléctrico de una cuba de electrólisis de aluminio. Matemáticamente, se trata de un sistema acoplado de ecuaciones en derivadas parciales cuyas incógnitas son la temperatura y el potencial. Además, la aparición de un material, llamado talva, fruto de la solidificación de la zona líquida de la cuba, lo convierte en un problema de Stefan de una fase con fuente en la frontera libre.

En el segundo capítulo, se prueba la existencia de solución de una versión bidimensional y térmica del problema global, en el dominio ocupado por el talud, que se considera homogéneo por materiales.

La existencia y unicidad de solución de la versión heterogénea del problema anterior se demuestra en el capítulo tercero. Para demostrar la unicidad se supone que la frontera libre es de medida bidimensional nula.

En el capítulo cuarto, se discretiza el problema termoeléctrico global sobre la cuba completa mediante el método de elementos finitos. Aplicando técnicas de operadores maximales monótonos se propone un algoritmo de carácter iterativo con el que se obtendrán soluciones aproximadas.

Finalmente, se resuelve el problema para diferentes casos de cubas electrólicas de aluminio.

1995

Una teoría asintótica en vigas elásticas de perfil fino y su justificación matemática.

Juan Manuel Viaño Rey

José Manuel Rodríguez Seijo

Partiendo del problema tridimensional de elasticidad lineal y utilizando el ya clásico método de desarrollos asintóticos, en este trabajo obtenemos un modelo para vigas elásticas de perfil fino (sólidos caracterizados por tener tres dimensiones de muy diferente magnitud y ampliamente utilizados en las construcciones modernas) que justificamos matemáticamente y que constituye una generalización de los modelos de Vlassov utilizados en ingeniería. Para el estudio del problema antes citado es fundamental analizar el comportamiento de la solución de la ecuación de poisson en dominios de pequeño espesor.

Dicho análisis necesita de técnicas diferentes en función de la geometría del dominio (que se corresponde con la sección transversal de la viga) y constituye en si mismo una de las aportaciones importantes de la memoria.

Beca FPI, Beca Programa ERASMUS y los proyectos:

• Junctions in elastic multi-structures (Proyecto Europeo del Programa SCIENCE: SC1-0473-C(EDB)) de la CEE).
• Simulación numérica y análisis asintótico en vigas elásticas (DGICYT: PB92-0396).

1994

Estudio de esquemas descentrados para su aplicación a las leyes de conservación con términos fuente.

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

María Elena Vázquez Cendón

El tema central de la memoria es la resolución numérica de las ecuaciones en derivadas parciales hiperbólicas con términos fuente. Se proponen técnicas de tipo general para extender algunos de los esquemas descentrados clásicos al caso de las leyes de conservación con términos fuente. Concretamente, los q-esque- de Roe y van Leer, y las técnicas de descomposición flujo de Steger-Warming y Vijayasundaram.

La metodología desarrollada se aplica a las ecuaciones de Saint-Venant (shallow water equations), tanto en una como en dos dimensiones, lo que supone resolver ciertas dificultades como pueden ser la no homogeneidad de la función flujo, el cálculo de una solución estacionaria de dichas ecuaciones y el correcto tratamiento de la condición de contorno de deslizamiento que, en el caso bidimensional, conduce a la definición de un nuevo tipo de volumenes finitos. Se presentan asimismo resultados numéricos para diferentes problemas test. Entre ellos está el estudio de corrientes en la Ría de Pontevedra.

En el último capítulo las técnicas desarrolladas se combinan con una discretización temporal que permite eliminar la restricción sobre el paso de tiempo.

Los resultados utilizados para analizar la estabilidad constituyen el anexo de la memoria.

Acción Integrada Hispano-Francesa y los proyectos:

• PB89-0566 de la D.G.I.C.Y.T.

AMP93-0768 de la D.G.I.C.Y.T.

1994

Análisis numérico y resolución numérica de problemas de lubricación con cavitación.

José Durany Castrillo y Guy Bayada

Carlos Vázquez Cendón

El objetivo central del trabajo es el estudio teórico y numérico de diferentes problemas que surgen en la lubricación hidrodinámica y elastohidrodinámica. En el primer capítulo se señalan los aspectos fundamentales de la modelización matemática, de los problemas de lubricación hidrodinámica: ecuación de Reynolds, modelos de cavitación, leyes de comportamiento del fluido y geometría del dispositivo lubricado. El estudio teórico se realiza mediante técnicas de ecuaciones en derivadas parciales aplicadas a problemas de frontera libre: regularización, teoremas de punto fijo, comparación de soluciones y técnicas de monotonia para problemas no lineales. Con estas herramientas se obtiene en el capítulo 2 un resultado de existencia y unicidad de solución para el modelo matemático del problema de lubricación hidrodinámica con fluido piezoviscoso e incomprensible en sistema eje- cojinete con alimentación axial. La aportación original del capítulo 3 es el resultado de existencia de solución alcanzado para el modelo de cavitación de Elrod-Adams en un problema de contacto elastohidrodinámico entre una esfera y un plano.

En el marco de superficies deformables también se deduce un resultado de existencia para el problema acoplado que surge en el sistema eje-cojinete, siendo el comportamiento del cojinete de tipo placa. La demostración se realiza mediante un algóritmo que desacopla la parte hidrodinámica y elástica del problema.

El último capítulo, se dedica a la resolución numérica, basada en el metodo de las características técnicas de elementos finitos y algóritmo de dualidad para problemas no lineales. Se presentan resultados numéricos para el problema del capítulo 2 y comparación de esta solución numérica con la del modelo de Reynolds. Por último, se describe el algóritmo numérico para el problema elastohidrodinámico analizado en el capítulo 3.

1992

Teoría asintótica de vigas elásticas lineales anisótropas y no homogéneas.

Juan Manuel Viaño Rey

José Antonio Álvarez Dios

Mediante el uso de técnicas asintóticas en un modelo de elasticidad lineal tridimensional, se justifican y generalizan modelos de vigas elasticas que tienen en cuenta la no homogeneidad y anisotropia del material que las constituye. Así se obtiene, en primera instancia, un modelo general de flexión-extensión para vigas no homogéneas anisótropas como límite del modelo tridimensional de elasticidad cuando el área de la sección transversal tiende a cero.

También se incluyen resultados de convergencia que justifican el método desde el punto de vista matemático.

A continuación, identificando los términos de segundo orden en el desarrollo asintótico, se obtienen modelos que tienen en cuenta efectos distintos de la flexión y extensión, como efectos de Timoshenko y Saint Venant, para diferentes tipos de materiales: materiales homogéneos anisótropos, materiales isótropos reforzados longitudinalmente cuando el coeficiente de Poisson es constante, materiales isótropos reforzados longitudinalmente en torsión, etc. Finalmente se comparan los modelos obtenidos con varios modelos conocidos de las teorías clásicas.

Proyectos:

• Junctions in elastic multi-structures (Proyecto Europeo del Programa SCIENCE: SC1-0473-C(EDB)) de la CEE).
• Análisis teórico y numérico de nuevos modelos en elastoplasticidad de vigas, placas e láminas (D.G.I.C.Y.T.: PB 87-0481)
• Análisis asintótico y numérico de una clase de problemas en mecánica de sólidos (Acción Integrada 46 - Área 1 Hispano-Portuguesa del Departamento de Matemática Aplicada de la USC con la Facultad de Ciencias de la Universidad de Lisboa).

1992

Tratamiento asintótico de algunos problemas en elasticidad de placas y vigas.

Peregrina Quintela Estévez

Lino José Álvarez Vázquez

En la memoria se realizan tres aplicaciones diferentes de las técnicas asintóticas a la teoría matemática de la elasticidad:

1.- El estudio del efecto de las diferentes escalas en el modelado de placas elásticas no lineales con espesor rapidamente variable y estructura periódica.

2.- La justificacion asintótica de un nuevo modelo termoelástico dinámico para una viga linealizada.

3.- La justificación de un modelo elástico dinámico para una viga no lineal por métodos asintóticos.

En las tres partes se da un planteamiento del problema a estudiar y del método asintótico empleado, se caracterizan los diferentes problemas límite y se dan resultados de existencia y unicidad para dichos problemas.

• Beca FPI (enero de 1988 a septiembre de 1989).
• Beca predoctoral de la Xunta de Galicia (octubre de 1989 a septiembre de 1990).

1991

Dos problemas de control óptimo con restricciones sobre el estado

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

Aurea María Martínez Varela

En esta memoria se estudian dos problemas de control óptimo con restricciones sobre el estado. El primer problema nace al pretender la optimización del proceso de esterilización térmica de los alimentos enlatados. se trata de encontrar en cada instante la temperatura óptima del vapor en el autoclave de manera que se alcance una reducción microbiana dada dentro de la lata durante el tiempo de esterilizacion, minimizando el coste energético y maximizando la retención de nutrientes. Para ello, y en primer lugar, se lleva a cabo la modelización matematica del problema bajo la forma de control óptimo. A continuación, se hace un estudio teórico de un problema de control óptimo que, tras ciertas simplificaciones, incluye al anterior como caso particular; concretamente, se plantea un problema de control frontera de un sistema regido por una ecuación en derivadas parciales parabólica con restricciones, generalmente no lineales, sobre el control y sobre el estado para el que se demuestra existencia de solución del problema de control óptimo y se obtiene un sistema de optimalidad que debe ser satisfecho para una solución de tal problema. Se aborda, por último, la resolución numérica la cual resulta compleja debido a la necesidad de trabajar con geometrías de gran tamaño y a tratarse de un problema de programación no convexa.

En la segunda parte se estudia un problema de control relacionado con el emplazamiento óptimo de emisarios submarinos. se trata de optimizar el emplazamiento del difusor minimizando la distancia a un punto determinado y evitando que las aguas contaminadas puedan llegar a las zonas a proteger. Una vez formulado este problema en términos matemáticos como un problema de control puntual con restricciones sobre el estado, se aborda aqui el caso estacionario, para el que se prueba existencia de solución, se obtienen condiciones de optimalidad y se presentan algunos resultados numéricos.

• Beca FPI (enero de 1987 a septiembre de 1989).
• Beca predoctoral de la Xunta de Galicia (octubre de 1989 a septiembre de 1990).

1991

Estudio numérico de los centros de isolas y puntos de bifurcacion perturbada.

Jean-Pierre Kernévez

María Luisa Seoane Martínez

En esta memoria se estudia un problema no lineal asociado a fenómenos de bifurcación perturbada (Keener y Keller, 1973) que aparece en numerosos sistemas físicos y bioquímicos gobernados por ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias como en derivadas parciales: la formación de isolas. Una isola es una familia de soluciones de un problema no lineal dependiente de un parámetro, homotópica a una elipse, esto es una curva cerrada, acotata y simple. Keller (1979) y posteriormente Dellwo et al. (1982) han estudiado las condiciones de formación de isolas en problemas no lineales con dos parámetros en un caso particular: las isolas centradas.

Deben su nombre a que surgen a partir de una singularidad llamada centro que puede caracterizarse, si el operador linealizado es sobreyectivo, como un punto elíptico de la variedad diferenciable bidimensional de soluciones.

En el primer capítulo se recuerdan las condiciones de formación de isolas centradas (Keller, 1979, Dello et al., 1982) para problemas suficientemente regulares y utilizando el método de Lyapounov-Schmidt se obtiene una parametrización de la superficie de soluciones de problema continuo. La evaluación de la curvatura en los puntos críticos respecto de ( , U) permite recuperar la clásica condición sobre el discriminante de la ecuación de bifurcación respecto de dada en Keller (1979): Si es positivo se tendría un centro de isolas y si es negativo un punto de bifurcación perturbada.

En el segundo capítulo se establece la existencia de una variedad diferenciable bidimensional de soluciones del problema discretizado en un entorno de la singularidad del problema continuo y se demuestra que en un entorno del centro (resp. punto de bifucarción perturbada) del problema continuo existe, sobre la superficie de soluciones del problema discretizado, un punto elíptico (resp. hiperbólico) esto es un centro (punto de bifurcación perturbada) del problema discretizado y en el tercero se obtienen estimaciones de error para discretizaciones por métodos de colocación ortogonal de formulaciones integrales de problemas de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias, y aproximaciones de Galerkin para formulaciones variacionales de problemas no lineales obteniéndose convergencia de orden uno para el estado y el parámetro de bifurcación y de orden dos para el parámetro de perturbación.

Finalmente, en el capítulo cuarto, se propone un método de continuación sucesiva para la localización de centros de isolas elípticas y puntos de bifurcación perturbada, basado en la construcción de un sistema aumentado. El procedimiento se ilustra con resultados numéricos obtenidos al aplicar el método a varios sistemas bioquímicos.

Beca FPI

1991

Análisis numérico de una clase de problemas de contacto en plasticidad perfecta.

Juan Manuel Viaño Rey

Margarita Burguera González

Esta memoria trata de la resolución numérica de una clase de problemas de contacto sin rozamiento. se comienza con una introducción a la teoria matemática de la plasticidad, recordando los conceptos fundamentales sobre los cuales se asienta: el criterio de plasticidad y la ley de fluencia plástica. Se analizan y formulan dos problemas: contacto de un cuerpo plástico con un sólido rígido y contacto entre dos cuerpos perfectamente plasticos. se realiza una discretización por un método de elementos finitos y se prueba la convergencia de dicho método. Por último, se resulven numéricamente mediante la introducción de un algoritmo variante de los de penalización-dualidad y se termina con los resultados obtenidos sobre los problemas test ensayados.

Proyectos:

• Análisis teórico y numérico de nuevos modelos en elastoplasticidad de vigas, placas e láminas (D.G.I.C.Y.T.: PB 87-0481)

1991

Análisis numérico de un método de elementos finitos de tipo D.K.T. para problemas lineales de láminas delgadas.

Michel Bernadou

María del Pilar Mato Eiroa

La formulación en desplazamientos de un problema de laáinas, en el marco de la teoría lineal de Koiter, hace intervenir las derivadas de segundo orden de la componente normal del desplazamiento lo cual requiere, en la discretización, del uso de elementos finitos de clase C1 por lo menos, con el coste que ello supone. de ahí el interes suscitado por lo métodos no conformes que en general suelen ser menos costosos y de implementación más sencilla.

En la memoria se propone y analiza la convergencia de un metodo no conforme de elementos finitos de tipo D.K.T. válido en el analisis de problemas lineales de laminas delgadas. a partir de un modelo de laminas de tipo Mindlin-Reissner se formula un problema cuyas incognitas son las tres componentes del desplazamiento y las dos rotaciones de la normal. la discretización de tales incognitas en los espacios de elementos finitos apropiados así como la imposición de la hipotesis de Kirchhoff de modo discreto da lugar al problema discreto a analizar. en la memoria, se prueba la convergencia a la solución clásica de laminas delgadas.

Asimismo, conjeturando un resultado de regularidad para un problema de láminas, se obtiene una estimación del error en la norma L2. también se muestran varios aspectos previos a la implementación del método en la biblioteca de programas Modulef. finalmente se da cuenta de los ensayos numéricos efectuados sobre varios ejemplos test.

Becas para estancias de investigación en Francia de la Universidad de Santiago de Compostela.

Acción Integrada Hispano-Francesa.número 123.

Becas del INRIA .

Proyectos:

• MODULEF: Concepcion et realization d'une bibliothéque modulaire de programmes scientifiques. INRIA, Rocquencourt (Francia).
• Análisis teórico y numérico de nuevos modelos en elastoplasticidad de vigas, placas y láminas. Consellería de Educación, Xunta de Galicia.
• Análisis teórico y numérico de nuevos modelos en elastoplasticidad de vigas, placas y láminas (D.G.I.C.Y.T.: PB 87-0481).

1991

Algunas contribuciones al estudio teórico de los métodos multimalla en el contexto de las discretizaciones de tipo espectral.

Yvon Maday

Rafael Muñoz Sola

En este trabajo se realiza un estudio teórico de la convergencia de los métodos multimalla aplicados a las discretizaciones de ecuaciones en derivadas parciales de tipo espectral. mas concretamente, se consideran la aproximación por elementos espectrales y una generalización de la aproximación pseudoespectral de Chebyshev.

Para llevar a cabo dicho estudio, se analizan en primer lugar los algoritmos multimalla para problemas variacionales simétricos en un contexto abstracto, el cual generaliza el nuevo ya utilizado por Bank-Douglas y Maitre-Musy. tras una presentación del método de los elementos espectrales, se estima el factor de convergencia de un algoritmo multimalla-espectral propuesto por Patera y Ronquist. en dimensión 1, se prueba esencialmente la independencia de dicho factor respecto del grado de aproximación polinómica y de la partición efectuada, y se establecen estimaciones del factor de convergencia en función del número de iteraciones de alisamiento. en dimensión 2 y para el caso de un solo elemento espectral, se obtiene, por el contrario, que el factor de convergencia si depende del grado de la aproximación.

Para el caso de la discretización pseudoespectral de Chebyshev, se considera un algoritmo multimalla que ha sido utilizado por Bank para resolver problemas variacionales no simétricos, en elementos finitos. se formaliza y estudia dicho algoritmo en un contexto abstracto, para despues aplicarlo a una clase de discretizaciones que incluye la pseudoespectral de Chebyshev. el análisis abstracto difiere notablemente del estudio realizado por Bank, pues este autor se limita a considerar aquellos problemas variacionales no simétricos que pueden ser interpretados como una perturbación no simétrica de un problema variacional simétrico, originada por algunos términos de la ecuación en derivadas parciales, de orden no dominante.

Becaa FPI, beca FPI en el extranjero y becaa del CIES (Francia)

1989

Sur quelques questions d'elasticité non linéaire et de théorie de plaques

Philippe G. Ciarlet

Peregrina Quintela Estévez

En el marco de la elasticidad no lineal se consideran en primer lugar los materiales hiperelásticos para los que se demuestra la positividad de la derivada segunda de la energía calculada en la solución u encontrada por el teorema de las funciones implícitas, lo que permite demostrar que u es un mínimo local en el espacio W 1,8 . Además, mediante un contraejemplo se evidencia que el resultado no es valido, en general, para las topologías de los espacios W 1,p , 3<p<8. Sin embargo, si el funcional de energía fuese policonvexo se demuestra que la solución trivial es un mínimo del funcional en todos los espacios de Sobolev W 1,p , 3=p= 8.

A continuación se da una definición de policonvexidad bidimensional adaptada a las ecuaciones de von Kármán y se da una justificación de la definición basada en el análisis asintótico. Para este problema se estudia la relación entre los puntos críticos de la energía y la solución dada por el teorema de las funciones implícitas. También se presenta un resultado de convergencia de un método incremental aplicado a una clase de problemas en placas elásticas no lineales. Aún en el marco de las ecuaciones de von Kármán se presenta un método de desarrollos asintóticos acoplados que permite una representación global del problema perturbado siempre que las soluciones del problema bifurcado no perturbado sean conocidas globalmente.

Para finalizar, se deducen los modelos límites bidimensionales asociados a placas elásticas no lineales de espesor rápidamente variable; los modelos obtenidos se corresponden a los modelos clásicos de placas no lineales pero con coeficientes dependientes del material y de la geometría de la placa.

Ministerio de Educacion y Ciencia

1988

Elasticidad no lineal. Modelo de von Karman

Philippe G. Ciarlet

Peregrina Quintela Estévez

1- Relación entre las soluciones del problema de la elasticidad tridimensional no lineal y los mínimos de la energia para materiales hiperelásticos.

2.- Idem. Ecuación canónica de von Karman.

3.- policonvexidad bidimensional en von Karman. existencia de mínimo de la energia.

4.- Método de desarrollos asintóticos acoplados para analizar la bifurcación perturbada del modelo de von Karman.

Ministeria de Educación y Ciencia

1986

Resolucion de ciertos problemas no lineales de la mecánica

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

Carmen Rodríguez Iglesias

En la primera parte se introduce un cuadro provisional abstracto que permite el adecuado tratamiento matematico y posterior resolució numéica (utilizando el método de elementos finitos) de las emanaciones en derivadas parciales que modelizan el fenómeno conocido como efecto Marangoni . En la segunda parte se hace un detallado estudio numérico de los problemas de la torsion elastoplastica y del flujo del fluido de Binghan utilizando elementos finitos mixtos de Ranart-Hiomas.

Financiado parcialmente por la C.A.I.C.Y.T., proyecto 1800/82

1985

Existencia y aproximación de soluciones en termoelasticidad y elastoplasticidad

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

Juan Manuel Viaño Rey

Teoremas de existencia y unicidad de solución generalizada para un sistema de ecuaciones en derivadas parciales que aparece en termoelasticidad (problemas de valor inicial y períodico). construcción de algoritmos iterativos para la aproximación numérica de las tensiones en un problema de elastoplasticidad perfecta.

Beca FPI.

1981

Presentadas las redes de ordenadores y las bases de datos en sub-capas independientes se analizan distintas formas de repartición de una bd en una red. se describen distintos aspectos ligados a la seguridad de los datos. se estudia la integridad externa y se propone un algoritmo de sincronizacion de actualizaciones. este algoritmo necesita 5 (n-1) mensajes en la red (n : no de centros conectados). se estudia su robusted. se formaliza utilizando los tipo de datos abstractos - tda.

Estudio de soluciones "feedback" para el control de sistemas distribuidos

Antonio Valle Sánchez

Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela

Se estudia en este trabajo una clase particular de controles para sistema distribuidos, los del tipo "feed-back a priori". El hecho de que en la práctica las "funciones de feedback" puedan ser discontinuas, impide utilizar las ecuaciones variacionales para la formulación de los problemas de contorno que se originan.

Por el contrario, las inecuaciones variacionales resultar ser un marco adecuado para el estudio de estos problemas (J.L. Lions).

Aunque los resultados obtenidos tienen carácter general, para su estudio se ha elegido un problema de contorno no-lineal y no-homogeneo, surgido de un proceso de transmisión de calor.

Se dedican los primeros capítulos al estudio del problema de control en su acepción clásica, para posteriormente abordar el caso del "feedback a priori".

Se demuestra la existencia y unicidad de solución para la inecuación variacional asociada al sistema con control de tipo "feedback". La dependencia respecto al tiempo del funcional que allí aparece, dificulta la obtención de "estimaciones a priori" para la derivada respecto al tiempo.

Dado un conjunto de funciones de "feedback admisibles", se dan condiciones para la existencia de un "feedback óptimo".

Se dedica especial atención al caso, clásico en automatica, del "feedback todo o nada" (tout ou rien), para el que se prueba un teorema que creemos de gran importancia, por cuanto hace posible con carácter general, realizar el control óptimo con un "feedback todo o nada" y transformar así, un problema de "bucle abierto" (open loon), en otro de "bucle cerrado" (closed loop), que se comporta mejor frente a las perturbación aleatorias que pudiese sufrir el sistema.

Por último se dan métodos numéricos para resolver estos problemas y se incluyen los resultados, que sobre ejemplos concretos, se han obtenido con ayuda de ordenador.

Beca FPI.

1974