Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Trabajo del Alumno/a ECTS: 99 Horas de Tutorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Grado RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Estadística, Análisis Matemático y Optimización
Áreas: Análisis Matemático
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Primer semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable
El objetivo general de esta materia es comprender, conocer y manejar los principales conceptos, resultados y métodos relativos al cálculo vectorial y a la teoría de la integración de Lebesgue.
De forma más concreta, se plantean los siguientes objetivos:
OB1 – manejar los conceptos de flujo, divergencia y rotacional de un campo vectorial, así como su interpretación física;
OB2 – conocer los conceptos y propiedades de la integral de línea de campos escalares y vectoriales, así como sus aplicaciones;
OB3 – conocer los conceptos y propiedades de la integral de superficie de campos escalares y vectoriales, así como sus aplicaciones;
OB4 – comprobar en ejemplos concretos los teoremas de Green, Stokes y Gauss;
OB5 – conocer la construcción de la teoría de la medida y de la integración de Lebesgue;
OB6 – ser capaz de conjeturar y demostrar el carácter Lebesgue-medible de conjuntos y funciones;
OB7 – conocer los teoremas de convergencia de la integral de Lebesgue, así como su utilidad y consecuencias;
OB8 – comprender la relación entre las teorías de integración de Riemann y de Lebesgue, así como las ventajas y la necesidad de esta última;
OB9 – conocer los teoremas de Fubini y de cambio de variable en la integral de Lebesgue.
1 - Cálculo vectorial (10 horas CLE)
1.1 - Curvas en R^n. El concepto de curva en R^n. Longitud de una curva. Integrales curvilíneas de campos escalares y campos vectoriales. Campos conservativos. Principio de conservación de la energía. Rotacional y divergencia. Teorema de Green.
1.2 - Superficies en R^3. El concepto de superficie en R^3. Área de una superficie. Integrales de superficie de campos escalares y campos vectoriales. Campos solenoidales. Teorema de Stokes. Teorema de Gauss-Ostrogradski.
2 - Integración de Lebesgue (18 horas CLE)
2.1 - Teoría(s) de la medida
Intervalos en R^n. Medida de intervalos de R^n. Conjuntos elementales en R^n. Medida de conjuntos elementales de R^n. Conjuntos Jordan-medibles en R^n. Medida de conjuntos Jordan-medibles de R^n. Conjunto de Cantor. Medida exterior de Lebesgue. Conjunto de Vitali. Conjuntos Lebesgue-medibles. Medida de Lebesgue en R^n.
2.2 - Teoría(s) de integración
Integral según Riemann. Integral según Lebesgue. Teorema fundamental del paso de la medida de Lebesgue a la integral de Lebesgue. Propiedades de la integral de Lebesgue. Teoremas de convergencia: Teorema de la convergencia monótona, Lema de Fatou y Teorema de la convergencia dominada. Espacios de Lebesgue. El espacio L^1. Teorema de Lebesgue. Teorema de Luzin. Teorema de Egórov. Teorema de Riesz–Fischer. Completitud del espacio de Lebesgue. Principio de Cavalieri. Teorema de Fubini. Teorema de Tonelli.
Bibliografía Básica
del Castillo F. Análisis matemático II. Madrid: Alhambra; 1980.
Kolmogorov AN, Fomin SV. Introductory real analysis. New York: Dover Publications; 1975.
Marsden JE, Tromba AJ. Cálculo vectorial. 5a ed. Madrid: Pearson; 2004.
Wilcox HJ, Myers DL. An Introduction to Lebesgue integration and Fourier series. New York: Dover Publications; 1978.
Bibliografía Complementaria
Boss V. Lecciones de matemáticas. Tomo 5. Análisis funcional. Moscú: URSS; 2009.
Chae SB. Lebesgue integration. 2nd. ed. New York: Springer-Verlag; 1995.
Fernández Viña J. A. Análisis Matemático III. Integración y cálculo exterior. Madrid: Tecnos; 1992.
Tao T. An introduction to measure theory. Providence: American Mathematical Society; 2011.
Además de contribuir a alcanzar las competencias básicas, generales y transversales recogidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la Universidad de Santiago de Compostela, que se pueden consultar en www.usc.gal/gl/estudos/graos/ciencias/grao-matematicas, esta materia contribuirá a alcanzar las siguientes competencias específicas:
CE1 – comprender y emplear el lenguaje matemático;
CE2 – conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de las Matemáticas;
CE3 – idear demostraciones de resultados matemáticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o refutarlas;
CE4 – identificar errores en razonamientos incorrectos proponiendo demostraciones o contraejemplos;
CE5 – asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, relacionándolo con otros ya conocidos, y ser capaz de utilizarlo en diferentes contextos;
CE6 – saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema, distinguiéndolos de los puramente ocasionales o circunstanciales;
CE9 – emplear aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización y software científico, en general, para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.
Se seguirán las indicaciones metodológicas generales establecidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la Universidad de Santiago de Compostela.
La docencia está programada en clases expositivas e interactivas. En las clases expositivas se presentarán los contenidos esenciales de la materia, y se permitirá trabajar las competencias básicas, generales y transversales, además de las competencias específicas CE1, CE2, CE5 y CE6. En algunos casos, el modelo se aproximará a la lección magistral y, en otros, se buscará una mayor implicación del alumnado. En las clases interactivas se propondrán y corregirán problemas y ejercicios que permitirán poner el foco en la adquisición de las competencias específicas CE3, CE4 y CE9.
La docencia será presencial y se complementará con el Campus Virtual, que se utilizará para la realización y entrega de ciertas tareas relacionadas con la evaluación continua.
La calificación final (CF) no será inferior a la obtenida utilizando la siguiente fórmula: CF=max{EF, 0.7EF+0.3CC}, siendo EF la calificación del examen final y CC la calificación de la evaluación continua. Tanto EF como CC tomarán valores entre 0 y 10.
La calificación de la evaluación continua (CC) no será inferior a la obtenida utilizando la siguiente fórmula: EC=max{0.5P1+0.5P2, 0.6(0.5P1+0.5P2)+0.2E+0.2P}, siendo: P1 la calificación de la primera prueba intermedia, P2 la calificación de la segunda prueba intermedia, E la calificación correspondiente a la realización de los ejercicios propuestos y P la calificación correspondiente a la participación activa durante el curso. Tanto P1 y P2, como E y P, tomarán valores entre 0 y 10.
El examen final (tanto en la primera como en la segunda oportunidad) podrá ser distinto para los diferentes grupos expositivos. Se garantizará la coordinación y equivalencia formativa de todos los grupos de la materia.
En la segunda oportunidad se empleará el mismo sistema de evaluación, manteniendo la calificación de la evaluación continua y actualizando la calificación del examen final.
En los casos de realización fraudulenta de tareas o pruebas (plagio o uso indebido de la tecnología) se aplicará lo dispuesto en el Reglamento para la evaluación del rendimiento académico del estudiantado y revisión de calificaciones.
HORAS TOTALES
150 horas: 58 horas presenciales y 92 horas no presenciales.
DOCENCIA PRESENCIAL EN EL AULA (26 horas CLE + 14 horas CLIS + 14 horas CLIL + 2 horas TGMR + 2 horas CLE realización de pruebas)
(CLE) Clases expositivas (26 horas)
(CLE) Realización de pruebas de evaluación (2 horas)
(CLIS) Clases interactivas de seminario (14 horas)
(CLIL) Clases interactivas de laboratorio/tutorías en grupo reducido (14 horas)
(TGMR) Tutorías en grupo muy reducido (2 horas)
TIEMPO DE TRABAJO PERSONAL NO PRESENCIAL
Por término medio, se estima necesario un total de 92 horas.
Se recomienda haber cursado y superado las siguientes materias: Introducción al análisis matemático, Continuidad y derivabilidad de funciones de una variable real, Integración de funciones de una variable real, Topología de los espacios euclideos, Diferenciación de funciones de varias variables reales y Series funcionales e integración de Riemann en varias variables.
Se recomienda estudiar la materia con regularidad e intentar realizar los ejercicios propuestos de forma autónoma. Se aconseja consultar con el equipo docente todas las dudas que puedan ir surgiendo a lo largo del curso.
It is recommended to have completed and passed the following subjects: Introduction to Mathematical Analysis, Continuity and Differentiability of Functions of a Real Variable, Integration of Functions of a Real Variable, Topology of Euclidean Spaces, Differentiation of Functions of Several Real Variables, and Functional Series and Riemann Integration in Several Variables.
It is recommended to study the subject regularly and try to complete the proposed exercises independently. It is also recommended to consult the teaching team for any doubts that may arise throughout the course.
Fernando Adrian Fernandez Tojo
Coordinador/a- Departamento
- Estadística, Análisis Matemático y Optimización
- Área
- Análisis Matemático
- Correo electrónico
- fernandoadrian.fernandez [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidad
Jorge Losada Rodriguez
- Departamento
- Estadística, Análisis Matemático y Optimización
- Área
- Análisis Matemático
- Teléfono
- 881813215
- Correo electrónico
- jorge.losada.rodriguez [at] usc.es
- Categoría
- PROFESOR/A PERMANENTE LABORAL
| Lunes | |||
|---|---|---|---|
| 09:00-10:00 | Grupo /CLE_01 | Gallego | Aula 06 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_06 | Castellano | Aula 08 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_05 | Castellano | Aula 08 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_04 | Castellano | Aula 08 |
| Martes | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLE_01 | Gallego | Aula 06 |
| Miércoles | |||
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_02 | Castellano | Aula 06 |
| Jueves | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_02 | Gallego | Aula 05 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_02 | Castellano | Aula 06 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_01 | Gallego | Aula 05 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_03 | Gallego | Aula 05 |
| Viernes | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLIS_02 | Gallego | Aula 06 |
| 09:00-10:00 | Grupo /CLIS_04 | Castellano | Aula 08 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIS_03 | Castellano | Aula 08 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIS_01 | Gallego | Aula 02 |
| 17.12.2025 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 08.06.2026 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |