Créditos ECTS Créditos ECTS: 3
Horas ECTS Criterios/Memorias Trabajo del Alumno/a ECTS: 51 Horas de Tutorías: 3 Clase Expositiva: 9 Clase Interactiva: 12 Total: 75
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Máster RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Geometría y Topología
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Segundo semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
Se trata de un curso de introducción a los métodos cohomológicos en teoría de variedades diferenciables.
Se pretende que el estudiante profundice en el uso de los métodos algebraicos en geometría y topología, aplicándolos a problemas concretos para apreciar su potencia y sofisticación y para adquirir cierta capacidad de cálculo con estas herramientas.
Los conocimientos que aporta permiten aproximarse a varias líneas de investigación que se desarrollan en las Áreas de Geometría y Topología, y de Álgebra. El curso puede ser también de interés para aplicaciones en Física teórica.
1. Cohomología de De Rham (2 horas expositivas)
1.1. Complejos de cocadenas y cohomología.
1.2. Formas diferenciaies.
1.3. Cohomología de De Rham de una variedad diferenciable.
1.4. Cohomología de De Rham con soporte compacto.
1.5 Orientación. Integración en variedades. Teorema de Stokes.
1.6. Homotopía. Lema de Poincaré.
2. Métodos de cálculo (2 horas expositivas)
2.1. Sucesión de Mayer-Vietoris.
2.2. Cálculo en ejemplos.
2.3. Dimensión finita.
2.4. Dualidad de Poincaré.
2.5. Fórmula de Künneth y teorema de Leray-Hirsch.
2.6. Isomorfismo de Thom.
3. Aplicaciones geométrica (2 horas expositivas)
3.1. Grado de una aplicación.
3.2. Característica de Euler.
3.3. Teorema de Hopf.
3.4. Fórmula de Leftschetz.
4. Clases características (3 horas expositivas)
4.1. Fibrados por esferas y vectoriales.
4.2. Doble complejo de Cech-de Rham.
4.3. Clase de Euler de un fibrado en esferas.
4.4. Clases de Chern de fibradoos vectoriaies complejos.
4.5. Principio de escisión y variedades de banderas.
4.6. Clases de Pontrjagin de fibrados vectoriales reaies.
4.7. Grasmannianas y clasificación de fibrados vectoriaies
Básica.
Bott, Raoul, Tu; Loring W. Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York - Heidelberg - Berlin, 1982.
Complementaria.
Davis, James F.; Kirk, Paul. Lecture notes in algebraic topology. Graduate Studies in Mathematics. 35. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.
Dodson, C.T.J.; Parker, Phillip E. A user's guide to algebraic topology. Mathematics and its Applications 387. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1997.
Hatcher, Allen. Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
Karoubi, M.; Leruste, C. Algebraic topology via differential geometry. London Mathematical Society Lecture Note Series, 99. Cambridge University Press, Cambridge, 1987.
Madsen, Ib; Tornehave, Jørgen. From calculus to cohomology: de Rham cohomology and characteristic classes.
Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
Tu, Loring W. Differential geometry. Connections, curvature, and characteristic classes. Graduate Texts in Mathematics, 275. Springer, Cham, 2017.
Tu, Loring W. An introduction to manifolds. Second edition. Universitext. Springer, New York, 2011.
3.1 COMPETENCIAS BÁSICAS Y GENERALES
GENERALES
CG01 - Introducir a los alumnos en la investigación como parte integrante de la formación en profundidad, preparándolos para la eventual posterior realización de una tesis doctoral.
CG02 - Adquisición de herramientas matemáticas de alto nivel para diversas aplicaciones que respondan a las expectativas de los graduados en matemáticas y otras ciencias básicas.
CG03 - Conocer el amplio panorama de las matemáticas actuales, tanto en sus líneas de investigación, como en metodologías, recursos y problemas que aborda en diversos campos.
CG04 - Formar para el análisis, formulación y resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos, dentro de contextos más amplios.
CG05 - Prepararse para la toma de decisiones a partir de consideraciones abstractas, para organizar y planificar y para resolver problemas complejos.
BÁSICAS
CB6 - Poseer y comprender conocimientos que proporcionen una base u oportunidad para ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, muchas veces en un contexto de investigación.
CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y afrontar la complejidad de emitir juicios a partir de información que, siendo incompleta o limitada, incluye reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.
CB9 - Que los alumnos sepan comunicar sus conclusiones y los últimos conocimientos y razones que las sustentan a públicos especializados y no especializados de forma clara y sin ambigüedades.
CB10 - Que los estudiantes tengan las habilidades de aprendizaje que les permitan seguir estudiando de una forma que será en gran medida autodirigida o autónoma.
3.2 COMPETENCIAS TRANSVERSALES
CT01 - Utilizar herramientas bibliográficas y de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de las Matemáticas, incluido el acceso a Internet.
CT02 - Gestionar de forma óptima el tiempo de trabajo y organizar los recursos disponibles, estableciendo prioridades, caminos alternativos e identificando errores lógicos en la toma de decisiones.
CT03 - Potenciar la capacidad de trabajar en entornos cooperativos y multidisciplinares.
3.3 COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
CE01 - Formar para el estudio y la investigación en teorías matemáticas en desarrollo.
CE02 - Aplicar las herramientas de las matemáticas en diversos campos de la ciencia, la tecnología y las ciencias sociales.
CE03 - Desarrollar las habilidades necesarias para la transmisión de las matemáticas, oral y escrita, tanto en términos de corrección formal como en términos de eficacia comunicativa, haciendo hincapié en el uso adecuado de las TIC.
El desenvolvimiento de la materia consistirá en exposiciones de las línas generales, los resultados principales de la materia, y las ideas principales de las demostraciones. Se incentivá el trabajo personal de los alumnos y su participación en la clase. Los estudiantes irán resolviendo problemas, y tendrán que exponer ellos mismos alguno de los temas, entregando las notas que preparen para exponerlo.
Cada alumno deberá resolver los problemas propuestos y realizar una exposición de alguna parte del temario. La evaluación tendrá en cuenta la participación activa en las clases, la resolución de problemas, y, sobre todo, la presentación que hagan de algún tema, así como las notas que preparen para presentarlo. En este escenario, la calificación final será la suma del 30%
de la calificación de evaluación continua y el 70% de la calificación de la exposición y el trabajo presentado.
En la segunda oportunidad, se mantendrán las mismas condiciones de
evaluación y la nota de la evaluación continua de la primera oportunidad.
Para casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas, las disposiciones de la
Regulaciones para evaluar el rendimiento académico de los estudiantes y revisar las calificaciones.
TRABAJO PRESENCIAL EN EL AULA (Horas)
Clases de pizarra 21 (9 horas expositivas y 12 horas de laboratorio)
Clases con ordenador/laboratorio
Tutorías en grupo 3
Total horas trabajo presencial en el aula 24
TRABAJO PERSONAL DEL ALUMNO/A (Horas)
Estudio autónomo individual o en grupo 33
Escritura de ejercicios, conclusiones u otros trabajos 15
Programación/experimentación u otros trabajos en ordenador/laboratorio 3
Total horas trabajo personal del alumno 51
El tema central es la cohomología de De Rham y sus aplicaciones geométricas, lo que supone un conocimiento elemental de la teoría de variedades diferenciables (Geometría y topología de variedades, máster, primer cuatrimestre).
Es recomendable, aunque no imprescindible, haber cursado Topología algebraica (grado).
Jesús Antonio Álvarez López
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Geometría y Topología
- Teléfono
- 881813149
- Correo electrónico
- jesus.alvarez [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidad
| Lunes | |||
|---|---|---|---|
| 10:00-11:00 | Grupo /CLE_01 | Gallego | Aula 10 |
| Martes | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_01 | Gallego | Aula 10 |
| 15.05.2023 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 10 |
| 14.06.2023 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 10 |