Créditos ECTS Créditos ECTS: 9
Horas ECTS Criterios/Memorias Horas de Titorías: 2 Clase Expositiva: 56 Clase Interactiva: 28 Total: 86
Linguas de uso Castelán, Galego
Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Álxebra, Xeometría e Topoloxía
Centro Facultade de Matemáticas
Convocatoria: Primeiro semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
Esta é unha materia sobre os fundamentos das matemáticas que ofrece unha preparación para as demais materias da titulación de matemáticas. O alumnado desenvolverá bos hábitos de comprensión, comunicación e escritura matemáticas. Nela traballaranse métodos e técnicas de razoamento, principalmente de matemática discreta. Estes métodos aplicaranse para resolver varios problemas interesantes. Poderíase dicir que se trata dunha materia sobre entender e pensar, e non sobre calcular e memorizar regras.
O programa explora temas que involucran números, conxuntos e funcións. Con propiedades elementais deles, e a lóxica como base, pasamos á indución e á cardinalidade. En matemática discreta consideramos as técnicas de enumeración. O estudio dos números naturais inclúe as propiedades de divisibilidade e a aritmética modular.
Contidos
1. Introdución á lóxica matemática. (2 horas expositivas)
2. Conxuntos. (4 horas expositivas)
2.1. Conxuntos e elementos. Subconxuntos: Partes dun conxunto.
2.2. Operacións con conxuntos: Propiedades. A álxebra de Boole das partes dun conxunto.
2.3. Recubrimento e partición. Unión disxunta e produto cartesiano.
3. Aplicacións. (5 horas expositivas)
3.1. Concepto de aplicación. Gráfica dunha aplicación: Exemplos.
3.2. Aplicacións inxectivas, sobrexectivas e bixectivas.
3.3. Composición de aplicacións; propiedades; aplicación inversa.
3.4. Extensións dunha aplicación ao conxunto de partes.
4. Relacións. (6 horas expositivas)
4.1. Noción de relación. Composición de relacións. Relación inversa.
4.2. Representacións gráficas.
4.3. Relacións binarias nun conxunto; propiedades. Relación inducida.
4.4. Relacións de equivalencia: Clases de equivalencia: Propiedades. Conxunto cociente. Exemplo: os números racionais.
4.5. Factorización canónica dunha aplicación.
4.6. Relacións de orde: Representacións gráficas: diagramas de Hasse (árbores). Orde total e parcial. Elementos destacados dun conxunto ordenado. Cadeas, retículos e conxuntos ben ordenados.
5. Conxuntos infinitos. (6 horas expositivas)
5.1. Conxuntos finitos e infinitos.
5.2. Principio de indución. Operacións e orde en N.
5.3. Cardinalidade. Teorema de Cantor-Bernstein. Relación de orde.
5.4. Conxuntos numerables e non numerables. Numerabilidade de Q e non numerabilidade de R.
5.5. Cardinalidad de unións, produtos, o conxunto de partes, etc.
5.6. O axioma de elección e o lema de Zorn. Aplicación 1: a relación de orde entre cardinales é de orde total. Aplicación 2: cardinal de AxA cando A é un conxunto infinito.
6. Combinatoria. (4 horas expositivas)
6.1. Número de aplicacións e de aplicacións inxectivas entre conxuntos finitos.
6.2. Permutacións. Permutacións con repetición.
6.3. Números combinatorios. Combinacións. O binomio de Newton. Combinacións con repetición.
6.4. Principio de inclusión-exclusión. Número de aplicacións sobrexectivas entre conxuntos finitos.
7. Estruturas alxébricas. (3 horas expositivas)
7.1. Grupos, homomorfismos e isomorfismos de grupos.
7.2. Grupos cíclicos.
7.3. Grupos simétricos. Signo dunha permutación.
8. O anel dos números enteiros. (5 horas expositivas)
8.1. Aneis e ideais; homomorfismos e isomorfismos de aneis.
8.2. Números enteiros e estrutura de (Z,+). Propiedades de Z.
8.3. Divisibilidade. Números primos. Máximo divisor común e mínimo múltiplo común.
8.4. Teorema de Bézout. Teorema fundamental da aritmética.
8.5. Algoritmo de Euclides. Algoritmo de Euclides estendido.
9. Aritmética modular. (8 horas expositivas)
9.1. Congruencias. Os aneis Z/(n). Os grupos de unidades módulo n.
9.2. A función fi de Euler e o teorema de Euler-Fermat.
9.3. Introdución ás ecuacións diofánticas. Resolución de ecuacións diofánticas lineais.
9.4. O teorema chinés dos restos. Multiplicatividade da función fi de Euler.
10. Aritmética de polinomios nunha variable. (4 horas expositivas)
10.1. Polinomios nunha variable sobre un corpo. Grao dun polinomio.
10.2. Divisibilidade, unidades e polinomios irreducibles.
10.3. División euclídea e o teorema de Bezout.
11. Operacións e relacións entre subconxuntos de R^n. (9 horas expositivas)
11.1 Números reais, propiedades.
11.2 Produto interior, norma e distancia.
11.3 Aplicacións: imaxes directas, recíprocas e inversas en R^n. Exemplos.
11.4 Interseccións, unións, relacións e conxuntos cocientes en R^n. Exemplos.
Bibliografía básica:
J.P. D’Angelo, D. B. West: Mathematical Thinking: Problem-Solving and Proofs, 2ª ed., Prentice Hall, 2000.
M. A. Goberna, V. Jornet, R. Puente, M. Rodríguez: Álgebra y Fundamentos: una Introducción, Ariel, 2000.
Frans Keune: Elements of Higher Mathematics. Learning Mathematics through Numbers
Radboud University Press, 2024.
Descarga gratuita en https://books.radbouduniversitypress.nl/index.php/rup/catalog/book/elem…
( https://doi.org/10.54195/PEAQ9203 )
Bibliografía complementaria:
M. Anzola, J. Caruncho: Problemas de Álgebra (Conjuntos-Estructuras), 1982.
E. D. Bloch: Proofs and Fundamentals A First Course in Abstract Mathematics, Springer, 2011.
T. S. Blyth, E. F. Robertson: Sets, Relations and Mappings, Cambridge University Press, 1984.
R. Courant, H. Robbins: What Is Mathematics? 1941 (2ª ed., rev. por Ian Stewart, Oxford University Press, 1996). Existen traducciones al español.
K. Houston: How to Think Like a Mathematician, Cambridge University Press , 2009.
H. Rademacher, O. Toeplitz: Números y Figuras. Alianza editorial, 1970.
Coñecementos: Con01, Con02, Con03, Con04, Con05.
Habilidades: H/D01, H/D02, H/D03, H/D04, H/D06, H/D07, H/D08.
Competencias: Comp01, Comp02, Comp03, Comp04.
A distribución semanal da materia será a seguinte:
4 horas de clases expositivas e 2 horas de laboratorio.
As clases expositivas en grupo grande dedicaranse á exposición dos contidos fundamentais da disciplina, coa exposición da teoría, exemplos, resolución de problemas e presentación dalgúns exercicios.
Nas clases laboratorio trataranse aspectos complementarios da materia, realización de problemas e exercicios e resolución de dúbidas xerais, onde xeralmente o protagonismo fundamental será dos alumnos, que deberán presentar exercicios e exposicións relacionados coa materia.
O sistema de avaliación será coordinado para os dous grupos da materia. Prevese como criterio de avaliación a avaliación continua combinada cunha proba final. Esta proba final celebrarase na data fixada pola Facultade de Matemáticas para ese efecto e será a mesma para todos os alumnos da materia. A avaliación continua consistirá en probas (unha ou dúas no curso) que poderán coincidir ou non para os distintos grupos, pero estarán coordinadas e serán similares. Tamén poderá avaliarse a realización de problemas nas horas de laboratorio.
A proba final constará de:
Resolución por escrito de cuestións teóricas e resolución por escrito de cuestións prácticas: 35%-65%.
Enunciado de teoremas, desenvolvemento de demostracións e resolución de problemas/exercicios: 35%-65%.
Para o cómputo da cualificación final (N) terase en conta a avaliación continua (C) e a cualificación do exame final (F) e aplicarase a seguinte fórmula:
N= máx (F, 0,20*C+0,80*F)
Esta mesma fórmula será tamén de aplicación no período extraordinario de Xullo.
Considerarase "non presentado" o estudante que non acuda a ningunha das dúas oportunidades correspondentes. Para os casos de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recolleito na Normativa de Avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións.
Horas presenciais:
- Clases expositivas: 56 horas.
- Clases interactivas de laboratorio: 28 horas.
Titorías en grupo reducido: 2 horas.
Traballo persoal do alumno: 139 horas
Non estudar métodos de resolver problemas concretos, senón estudar a teoría antes de abordar os problemas propostos e aproveitar estes tanto para comprobar que se entendeu a teoría como para desenvolver a capacidade de resolver novos problemas a partir da teoría.
Leovigildo Alonso Tarrio
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Álxebra
- Teléfono
- 881813159
- Correo electrónico
- leo.alonso [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidade
María Elena Vázquez Abal
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Xeometría e Topoloxía
- Teléfono
- 881813143
- Correo electrónico
- elena.vazquez.abal [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidade
José Javier Majadas Soto
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Álxebra
- Teléfono
- 881813168
- Correo electrónico
- j.majadas [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidade
Miguel Dominguez Vazquez
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Xeometría e Topoloxía
- Teléfono
- 881813156
- Correo electrónico
- miguel.dominguez [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidade
| Luns | |||
|---|---|---|---|
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_02 | Castelán | Aula 03 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLE_01 | Galego, Castelán | Aula 02 |
| Martes | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLE_01 | Galego, Castelán | Aula 02 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_02 | Castelán | Aula 03 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_05 | Castelán | Aula 09 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_06 | Castelán | Aula 07 |
| Mércores | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán, Galego | Aula 03 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_03 | Castelán, Galego | Aula 08 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_04 | Castelán | Aula 09 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_01 | Galego, Castelán | Aula 05 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_05 | Castelán | Aula 09 |
| Xoves | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_02 | Castelán, Galego | Aula 01 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_06 | Castelán | Aula 08 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_01 | Galego, Castelán | Aula 02 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_04 | Castelán | Aula 09 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_02 | Castelán | Aula 03 |
| Venres | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLIL_01 | Galego, Castelán | Aula 01 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLE_02 | Castelán | Aula 03 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_02 | Galego, Castelán | Aula 07 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_03 | Galego, Castelán | Aula 01 |
| 09.01.2026 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 19.06.2026 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |