Créditos ECTS Créditos ECTS: 3
Horas ECTS Criterios/Memorias Traballo do Alumno/a ECTS: 51 Horas de Titorías: 3 Clase Expositiva: 9 Clase Interactiva: 12 Total: 75
Linguas de uso Castelán, Galego
Tipo: Materia Ordinaria Máster RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Xeometría e Topoloxía
Centro Facultade de Matemáticas
Convocatoria: Primeiro semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
- Presentar ó alumno os fundamentos da xeometría riemanniana como xeneralización natural do estudo das superficies no espazo euclidiano. Faremos especial fincapé na distinción existente entre os aspectos locais e globais da teoría, con especial atención á conexión con aspectos topolóxicos e analíticos.
- Introducir o alumno no estudo da xeometría de Lorentz, de especial interese físico na formulación matemática da teoría da relatividade. Especialmente relevante serán os aspectos diferenciais entre as teorías riemanniana e lorentziana.
- Conseguir que o alumno se centre máis nos métodos que nos contidos concretos e que adquira un grao de madurez científica que lle permita enfrentarse ó plantexamento e resolución de diferentes problemas, despertando así a súa capacidade de aplicar as teorías xerais a situacións concretas, sintetizando resultados parciais e deducindo outros máis globais.
1 Xeometría de Riemann local (15 horas)
1.1. Métricas riemannianas: función distancia.
1.2. Conexión de Levi-Civita.
1.3. Xeodésicas e distancia.
1.4. Curvatura: curvatura seccional, de Ricci e escalar.
1.5. Campos de Jacobi: puntos conxugados.
1.6. Determinación da métrica a partir da curvatura: Teorema de Cartan.
2 Xeometría de Riemann global (10 horas)
2.1. Completitude: teorema de Hopf-Rinow.
2.2. Versión global do teorema de Cartan.
2.3. Variedades completas de curvatura positiva: teorema de Myers.
2.4. Variedades completas de curvatura negativa: teorema de Hadamard.
3 Xeometría de Lorentz e semi-Riemanniana (5 horas)
3.1. Métricas semi-riemannianas: problema de existencia.
3.2. Propiedades locais: curvatura e planos dexenerados
Bibliografía básica
- J. M. LEE, Riemannian geometry, an introduction to curvature, Graduate Texts in Mathematics, 176. Springer-Verlag, New York, 1997.
- M. P. DO CARMO, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1979.
Bibliografía complementaria
- J. K. BEEM, P. E. EHRLICH, K. L. EASLEY, Global Lorentzian geometry, Monographs and Textbooks in Pur. Appl. Math. 202, Marcel Dekker, Inc., New York, 1996.
- W. M. BOOTHBY, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure Appl. Math., 120. Academic Press, Florida, 1986.
- I. CHAVEL, Riemannian geometry, a modern introduction, Cambridge Tracts in Mathematics, 108. Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
- B. O'NEILL, Semi-Riemannian Geometry with applications to relativity, Pure Appl. Math., 103. Academic Press, New York-London, 1983.
- R. K. SACHS, H. WU, General Relativity for Mathematicians, Graduate Texts in Math. 48, Springer-Verlag, New York, 1977.
- T. SAKAI, Riemannian geometry, Transactions of Mathematical Monographs 149, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.
- Calcular os obxectos xeométricos dunha variedade de Riemann tales como a métrica, a conexión de Levi-Civita ou o tensor de curvatura.
- Determinar as propiedades das xeodésicas, tales como a posibilidade de minimizar a distancia e a súa relación coa completitude da variedade.
- Aplicar as teoremas de xeometría de Riemann globais para deducir propiedades xeométricas e topolóxicas da variedade.
- Aplicar a xeometría riemanniana a as súas xeneralizacións para a resolución de problemas na teoría da relatividade xeral.
- Formarse para o estudo e investigación no desenvolvemento de teorías matemáticas.
- Desenvolver as habilidades necesarias para a transmisión das matemáticas, orais e escritas, tanto no que se refire á corrección formal, como á eficiencia comunicativa, destacando o uso das TIC adecuadas.
- Utilizar bibliografía e ferramentas de busca de recursos bibliográficos xerais e específicos das Matemáticas, incluído o acceso a Internet.
- Xestionar de forma excelente o tempo de traballo e organizar os recursos dispoñibles, establecendo prioridades, camiños alternativos e identificando erros lóxicos na toma de decisións.
- Potenciar a capacidade de traballo en ámbitos cooperativos e multidisciplinares.
A materia desenvolverase alternativamente a través de clases teóricas e clases prácticas fomentando a participación do alumno. Realizaranse exposicións semanais, de forma que o alumno poida profundizar no desenvolvemento tanto teórico como práctico dos temas. Así pois, ademais das exposicións por parte do profesor dos distintos temas do programa, o alumno terá que desenvolver algunas das leccións ó longo do curso.
Ademais, entregaranse follas de exercicios ós alumnos de forma periódica. Algúns serán propostos para que sexan presentados ó concluír o curso; o resto iranse resolvendo na pizarra baixo a supervisión do profesor. Tamén se incentivará a asistencia dos alumnos ós distintos seminarios que se poidan realizar ó longo do curso sobre temas de investigación que estean relacionados cos contidos do programa.
A cualificación de cada alumno realizarase mediante a avaliación continua e a realización dunha proba final.
A avaliación continua realizarase mediante controis, traballos entregados e participación do alumno na aula. A nota do alumno non será inferior á da proba final ou á obtida ponderándoa coa avaliación continua, dándolle a esta última un peso do 25%.
No caso de realización fraudulenta de exercicios ou probas, aplicarase o disposto no Regulamento para a avaliación do rendemento académico do alumnado e a revisión das cualificacións:
Artigo 16. Realización fraudulenta de exercicios ou probas: A realización fraudulenta de calquera exercicio ou proba requirida na avaliación dunha materia implicará a cualificación de suspenso na correspondente convocatoria, con independencia do proceso disciplinario que se poida seguir contra o alumno infractor. Considerar fraudulento, entre outros, a realización de obras plaxiadas ou obtidas de fontes accesibles ao público sen reelaboración ou reinterpretación e sen citar os autores e fontes.
A dedicación recomendada sería polo menos 30 horas de traballo persoal.
n
n
Eduardo Garcia Rio
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Xeometría e Topoloxía
- Teléfono
- 881813211
- Correo electrónico
- eduardo.garcia.rio [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidade
| Martes | |||
|---|---|---|---|
| 10:00-11:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán | Aula 10 |
| Xoves | |||
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_01 | Castelán | Aula 10 |
| 28.06.2023 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 10 |