Créditos ECTS Créditos ECTS: 3
Horas ECTS Criterios/Memorias Trabajo del Alumno/a ECTS: 51 Horas de Tutorías: 3 Clase Expositiva: 9 Clase Interactiva: 12 Total: 75
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Máster RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Geometría y Topología
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Primer semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
- Presentar al alumno los fundamentos de la geometría riemanniana como una generalización natural del estudio de las superficies en el espacio euclidiano. Haremos especial hincapié en la distinción existente entre los aspectos locales y globales de la teoría, con especial atención a la conexión con los aspectos topológicos y analíticos.
- Introducir al alumno al estudio de la geometría de Lorentz, de especial interés físico en la formulación matemática de la teoría de la relatividad. Especialmente relevantes serán los aspectos diferenciales entre las teorías riemanniana y lorentziana.
- Hacer que el alumno se concentre más en métodos que en contenidos específicos y adquiera un grado de madurez científica que le permita enfrentar la pose y la resolución de diferentes problemas, lo que despierta su capacidad para aplicar teorías generales a situaciones específicas, sintetizando resultados parcial y deduciendo más globales.
1 geometría local de Riemann (15 horas)
1.1. Métrica de Riemann: función de distancia.
1.2. Conexión Levi-Civita.
1.3. Geodésica y distancia.
1.4. Curvatura: curvatura seccional, Ricci y escalar.
1.5. Campos de Jacobi: puntos conjugados.
1.6. Determinación de la métrica a partir de la curvatura: teorema de Cartan.
2 Geometría global de Riemann (10 horas)
2.1. Completitud: teorema de Hopf-Rinow.
2.2. Versión global del teorema de Cartan.
2.3. Variedades completas de curvatura positiva: teorema de Myers.
2.4. Variedades completas de curvatura negativa: teorema de Hadamard.
3 geometría de Lorentz y semi-riemanniana (5 horas)
3.1. Métricas semi-riemannianas: problema de existencia.
3.2. Propiedades locales: curvatura y planos degenerados.
Bibliografía básica.
- J. M. LEE, geometría riemanniana, una introducción a la curvatura, Textos graduados en matemáticas, 176. Springer-Verlag, Nueva York, 1997.
- M. P. DO CARMO, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, IMPA, Río de Janeiro, 1979.
Bibliografía complementaria
- J. K. BEEM, P. E. EHRLICH, K. L. EASLEY, geometría global de Lorentz, monografías y libros de texto en Pur. Appl. Matemáticas. 202, Marcel Dekker, Inc., Nueva York, 1996.
- W. M. BOOTHBY, Una introducción a las variedades diferenciables y la geometría riemanniana. Aplicación pura Math., 120. Academic Press, Florida, 1986.
- I. CHAVEL, geometría riemanniana, una introducción moderna, Cambridge Tracts in Mathematics, 108. Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
- B. O'NEILL, Geometría semi-riemanniana con aplicaciones a la relatividad, Pure Appl. Math., 103. Academic Press, Nueva York-Londres, 1983.
- R. K. SACHS, H. WU, Relatividad general para matemáticos, Textos de posgrado en matemáticas. 48, Springer-Verlag, Nueva York, 1977.
- T. SAKAI, geometría riemanniana, Transactions of Mathematical Monographs 149, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.
- Calcular los objetos geométricos de una variedad de Riemann tales como la métrica, la conexión de Levi-Civita o el tensor de curvatura.
- Determinar las propiedades de las geodésicas, tales como la posibilidad de minimizar la distancia y su relación con la completitud de la variedad.
- Aplicar los teoremas de geometría de Riemann globales para deducir propiedades geométricas y topológicas de la variedad.
- Aplicar la geometría riemanniana y sus generalizaciones para la resolución de problemas en la teoría de la relatividad general.
- Capacitar para el estudio y la investigación en teorías matemáticas en desarrollo.
- Desarrollar las habilidades necesarias para la transmisión de la matemática, oral y escrita, tanto en lo que respeta a la corrección formal, como en cuanto a la eficacia comunicativa, destacando el uso de las TIC apropiadas.
- Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de Matemáticas, incluyendo el acceso por Internet.
- Gestionar de forma excelente el tiempo de trabajo y organizar los recursos disponibles, estableciendo prioridades, caminos alternativos e identificando errores lógicos en la toma de decisiones.
- Potenciar la capacidad para el trabajo en entornos cooperativos y pluridisciplinarias.
La asignatura se desarrollará alternativamente a través de clases teóricas y clases prácticas que fomenten la participación del alumno. Habrá presentaciones semanales para que el alumno pueda profundizar en el desarrollo teórico y práctico de los temas. Por lo tanto, además de las presentaciones del profesor sobre los diferentes temas del programa, el alumno tendrá que desarrollar algunas de las lecciones a lo largo del curso.
Además, se darán hojas de trabajo a los estudiantes regularmente. Algunos serán propuestos para su presentación al final del curso; El resto se resolverá en la pizarra bajo la supervisión del profesor. También se animará a los estudiantes a asistir a los diversos seminarios que se pueden realizar a lo largo del curso sobre temas de investigación relacionados con los contenidos del programa.
La calificación de cada alumno se hará mediante evaluación continua y la realización de una prueba final.
La evaluación continua se llevará a cabo por medio de controles, trabajos entregados y la participación del estudiante en el aula. La calificación del alumno no será inferior a la de la prueba final ni a la obtenida ponderándola con la evaluación continua, dándole a esta última un peso del 25%.
En el caso de rendimiento fraudulento de ejercicios o pruebas, se aplicarán las disposiciones del Reglamento para la evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y la revisión de calificaciones:
Artículo 16. Realización fraudulenta de ejercicios o pruebas: La realización fraudulenta de cualquier ejercicio o prueba requerida en la evaluación de un sujeto implicará la calificación de reprobar en la llamada correspondiente, independientemente del proceso disciplinario que pueda seguirse contra el estudiante infractor. Ser considerado fraudulento, entre otros, para realizar trabajos plagiados u obtenidos de fuentes accesibles al público sin reelaboración o reinterpretación y sin citas a los autores y las fuentes.
La dedicación recomendable sería al menos de 30 horas de trabajo personal.
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Eduardo Garcia Rio
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Geometría y Topología
- Teléfono
- 881813211
- Correo electrónico
- eduardo.garcia.rio [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidad
| Martes | |||
|---|---|---|---|
| 10:00-11:00 | Grupo /CLE_01 | Castellano | Aula 10 |
| Viernes | |||
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_01 | Castellano | Aula 10 |
| 17.01.2024 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 10 |
| 26.06.2024 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 10 |