Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Trabajo del Alumno/a ECTS: 99 Horas de Tutorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Grado RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Álgebra
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Segundo semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable
Conocer algunas de las aplicaciones mas importantes de las matemáticas a la teoría de números y a la geometría. Estudiar los cuerpos de números así como sus anillos de enteros y comprender la utilidad de trabajar con éstos para trabajar con ciertos problemas clásicos como resolver ecuaciones diofánticas. Conocer los conceptos elementales de geometría algebraica así como algunos resultados básicos en dicha teoría.
El curso consta de dos partes bien diferenciadas: una dedicada a teoría de números y otra a geometría algebraica. Además, se abordan de forma transversal temas de álgebra conmutativa, que será la herramienta común para el estudio tanto de la teoría de números como de la geometría algebraica. Cada bloque consta de 5 temas.
1. Repaso de aritmética clásica (4 horas expositivas). Las ternas pitagóricas y el problema del número congruente; el anillo de los enteros gaussianos y aplicaciones.
2. Anillos de enteros (3 horas expositivas). Extensiones cuadráticas de los racionales; el anillo de enteros de un cuerpo de números; norma, traza y discriminante.
3. El teorema de Dedekind (3 horas expositivas). El problema de la factorización única con ejemplos; dominios de Dedekind y sus propiedades; el teorema de Dedekind.
4. El grupo de clases y el grupo de unidades (4 horas expositivas). Ideales y formas cuadráticas; el teorema de Minkowski y aplicaciones; el grupo de clases; el teorema de Dirichlet y aplicaciones.
5. Factorización de primos en extensiones (7 horas expositivas). Índice de ramificación e índice de inercia; subgrupos de descomposición y de inercia; el elemento de Frobenius. Introducción a los cuerpos locales.
6. La correspondencia entre álgebra y geometría (5 horas expositivas). Conjuntos algebraicos afines; el teorema de la base de Hilbert; el Nullstellensatz de Hilbert.
7. El espacio afín y el espacio proyectivo (4 horas expositivas). El espacio afín: anillos de coordenadas y aplicaciones polinómicas; el espacio proyectivo y las variedades lineales proyectivas; variedades afines frente a variedades proyectivas.
8. Curvas afines (5 horas expositivas). Puntos múltiples y rectas tangentes; multiplicidades y anillos locales; números de intersección.
9. Curvas proyectivas (5 horas expositivas). El teorema de Bézout; el teorema de Max Noether; aplicaciones.
10. Introducción a las variedades algebraicas (2 horas expositivas).
Bibliografía básica:
Ireland, K.; Rosen, M., A Classical Introduction to Modern Number Theory.
Springer-Verlag, 1990.
Marcus, D. A., Number Fields.
Springer-Verlag, 1977.
Fulton, W., Curvas algebraicas.
Ed. Reverté, 1971.
Bibliografía complementaria:
Fernando, J. F., Curvas Algebraicas.
Ed. Sanz y Torres, 2022.
Hartshorne, H., Algebraic Geometry.
Springer-Verlag, 1977.
Kirwan, F., Complex Algebraic Curves.
Cambridge University Press, 1992.
Neukirch, J., Algebraic Number Theory.
Springer-Verlag, 1977.
Swinnerton-Dyer, H. P. F., A Brief Guide to Algebraic Number Theory.
London Math. Soc., 2001.
Contribuir a alcanzar las competencias generales, específicas y transversales recogidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC y, en especial, las siguientes:
Comunicación escrita y oral de conocimientos, métodos e ideas generales relacionadas con la teoría de números y la geometría (CG4).
Saber exponer hipótesis y extraer conclusiones usando argumentos bien razonados y sabiendo identificar fallos lógicos y falacias en las argumentaciones (CG2, CE4).
Competencias específicas de la asignatura:
Conocer la teoría básica de factorización de ideales en el contexto de anillos de enteros algebraicos.
Aplicar dicho conocimiento a la resolución de problemas clásicos como sumas de cuadrados o algunos casos del último teorema de Fermat.
Familiarizarse con los símbolos de Legendre y de Jacobi y su computación eficiente, así como algunas de sus principales aplicaciones.
Manejar con soltura el diccionario álgebra-geometría. Describir operaciones básicas en geometría y describir sus semejantes en álgebra.
Conocer los aspectos más importantes de la teoría de curvas algebraicas planas y comprender el teorema de Bezout.
Se seguirán las indicaciones metodológicas generales que figuran en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC. La docencia se impartirá en clases de pizarra y tutorías. Los alumnos podrán exponer algunos aspectos de la materia en las clases interactivas.
A lo largo del cuatrimestre, se obtendrán tres calificaciones diferentes que se utilizarán para calcular la nota de la evaluación continua (C):
- Una calificación corresponderá al trabajo en los boletines de ejercicios (E). A lo largo del curso, el alumnado deberá entregar algún ejercicio de las listas de problemas, que podrá realizar individualmente o por parejas. Se tratará en todos los casos de ejercicios rutinarios para asentar los contenidos de las clases expositivas.
- Otra calificación corresponderá a pruebas cortas en las clases de ejercicios (P), que consistirán en la resolución de algún ejercicio del boletín. Estas pruebas también podrán realizarse individualmente o por parejas.
- Una tercera calificación corresponderá a un pequeño trabajo (T) a realizar individualmente o en parejas. Este trabajo deberá exponerse en una de las tutorías en grupos muy reducidos. La evaluación del trabajo consta de dos partes: memoria (parte escrita) y exposición (parte oral). La nota final será la media aritmética de estos dos parámetros.
La nota de la evaluación continua se calculará como C = 0.3E + 0.3P + 0.4T. La participación activa en clase, respondiendo a preguntas o resolviendo problemas en la pizarra, podrá añadir hasta un punto extra en la evaluación continua. La calificación final del curso se obtendrá teniendo también en cuenta el examen final (F), mediante la fórmula min{10, max{F, 0.8C + 0.3F}}.
Estas especificaciones se aplicarán también en la segunda convocatoria.
Siguiendo las directrices establecidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC, el tiempo que el estudiante deberá dedicar a la preparación de la materia consiste en:
- 58 horas de trabajo presencial.
- 92 horas de trabajo personal que comprenden las siguientes actividades:
- 52 horas de estudio autónomo.
- Elaboración de trabajos y resolución de problemas: 25 horas.
- Lecturas recomendadas y búsqueda de documentación: 5 horas.
- Preparación de presentaciones orales: 10 horas.
Asistir a clases con regularidad. Hacer los ejercicios propuestos por el profesor y llevar al día la materia. Ir a consultas cuando se detecten dificultades.
Oscar Rivero Salgado
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Álgebra
- Correo electrónico
- oscar.rivero [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Profesor Ayudante Doctor LOU
| Martes | |||
|---|---|---|---|
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_01 | Gallego | Aula 09 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Gallego | Aula 09 |
| 01.06.2026 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 29.06.2026 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |