Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Trabajo del Alumno/a ECTS: 99 Horas de Tutorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Lenguas de uso Castellano, Gallego, Inglés
Tipo: Materia Ordinaria Grado RD 1393/2007 - 822/2021
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Primer semestre
Docencia: Sin docencia (En extinción)
Matrícula: No matriculable (Sólo planes en extinción)
Esta es una asignatura sobre los fundamentos de las matemáticas y ofrece una preparación para las demás asignaturas de la carrera de matemáticas. El alumnado desarrollará buenos hábitos de comprensión, comunicación y escritura matemáticas. En ella se trabajarán métodos y técnicas de razonamiento, principalmente de matemática discreta. Los métodos se aplicarán para resolver varios problemas interesantes. Podría decirse que se trata de una asignatura sobre entender y pensar, y no sobre calcular y memorizar reglas.
El programa explora temas que involucran números, conjuntos y funciones. Con propiedades elementales de estos y la lógica como base, se pasa a la inducción y la cardinalidad. En matemática discreta consideramos las técnicas de conteo. El estudio de los números naturales incluye las propiedades de divisibilidad y la aritmética modular.
1. Introducción a la lógica matemática. (1 hora expositiva)
1.1. Necesidad e importancia del lenguaje lógico: Paralogismos.
1.2. Lógica proposicional: Proposiciones atómicas y moleculares.
1.3. Tablas de verdad. Tautologías y contradicciones.
1.4. El proceso de deducción. Razonamientos y demostraciones formales en el cálculo proposicional.
2. Conjuntos. (4 horas expositivas)
2.1. Conjuntos y elementos. Subconjuntos: Partes de un conjunto.
2.2. Representaciones gráficas: Diagramas de Venn.
2.3. Conjunto referencial. Operaciones con conjuntos: Propiedades. El álgebra de Boole de las partes de un conjunto.
2.4. Recubrimiento y partición. Unión disjunta y producto cartesiano.
3. Aplicaciones. (4 horas expositivas)
3.1. Concepto de aplicación. Gráfica de una aplicación: Ejemplos.
3.2. Tipos de aplicaciones: Inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
3.3. Composición de aplicaciones: Propiedades. Aplicación inversa.
3.4. Extensiones de una aplicación al conjunto de partes.
4. Relaciones. (6 horas expositivas)
4.1. Noción de relación. Composición de relaciones. Relación inversa.
4.2. Representaciones gráficas.
4.3. Relaciones binarias en un conjunto: Propiedades. Relación inducida.
4.4. Relaciones de equivalencia: Clases de equivalencia: Propiedades. Conjunto cociente.
4.5. Factorización canónica de una aplicación.
4.6. Relaciones de orden: Representaciones gráficas: Diagramas de Hasse (árboles). Orden total y parcial. Elementos destacados de un conjunto ordenado. Cadenas, retículos y conjuntos bien ordenados.
5. Conjuntos infinitos. (3 horas expositivas)
5.1. Conjuntos finitos e infinitos.
5.2. Los números naturales como clases de conjuntos finitos equipotentes.
5.3. Principio de inducción. Operaciones y orden en N.
5.4. Conjuntos numerables y no numerables. Los números racionales. El procedimiento diagonal y la no numerabilidad de R.
5.5. El axioma de elección y el lema de Zorn.
6. Combinatoria. (3 horas expositivas)
6.1. Variaciones. Variaciones con repetición.
6.2. Números factoriales. Permutaciones. Permutaciones con repetición.
6.3. Números combinatorios. Combinaciones.
6.4. Combinaciones con repetición.
6.5. Principio de inclusión-exclusión. Enumeración de las aplicaciones sobreyectivas.
6.6. El triángulo de Tartaglia-Pascal. El binomio de Newton.
7. Aritmética entera y modular. (7 horas expositivas)
7.1. Operaciones binarias.
7.2. Números enteros y estructura de (Z,+). Propiedades de Z.
7.3. Divisibilidad. Números primos y el teorema fundamental de la aritmética.
7.4. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Teorema de Bézout.
7.5. Algoritmo de Euclides. Algoritmo de Euclides extendido.
7.6. Aritmética modular. Los anillos Z/(n). Congruencias. Unidades módulo n. El teorema de Euler-Fermat.
7.7. Ecuaciones diofánticas. Resolución de ecuaciones diofánticas lineales.
7.8. Números enteros coprimos: El teorema chinos de los restos.
7.9. Polinomios en una variable.
Bibliografía básica:
F. Aguado, F. Gago, M. Ladra, G. Pérez, C. Vidal, A. M. Vieites: Problemas resueltos de Combinatoria. Laboratorio de Sagemath, Ed. Paraninfo, S.A., 2018.
J.P. D’Angelo, D. B. West: Mathematical Thinking: Problem-Solving and Proofs, 2ª ed., Prentice Hall, 2000.
V. Fernández Laguna: Teoría básica de conjuntos, Anaya, 2004.
M. A. Goberna, V. Jornet, R. Puente, M. Rodríguez: Álgebra y Fundamentos: una Introducción, Ariel, 2000.
K. H. Rosen: Matemática Discreta y sus Aplicaciones, 5ª ed., McGraw-Hill, 2004.
Bibliografía complementaria:
M. Anzola, J. Caruncho: Problemas de Álgebra (Conjuntos-Estructuras), BUMAR, 1982.
E. D. Bloch: Proofs and Fundamentals A First Course in Abstract Mathematics, Springer, 2011.
T. S. Blyth, E. F. Robertson: Sets, Relations and Mappings, Cambridge University Press, 1984.
R. Courant, H. Robbins: What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, 1941
(2ª ed., rev. por Ian Stewart, Oxford University Press, 1996). Tr.: ¿Qué es la Matemática?, FCE, 2003.
D. E. Ernts: An Introduction to Proof via Inquiry-Based Learning, AMS/MAA Textbooks Vol. 73, 2022.
H. Rademacher, O. Toeplitz: Números y Figuras. Alianza editorial, 1970.
Contribuir a alcanzar las competencias básicas, generaless e transversales recogidas en la memoria del Título de Grado en Matemáticas da USC: CB1, CB2, CB3, CB4, CB5, CG1, CG2, CG3, CG4, CG5, CT1, CT2, CT3, CT5.
CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático.
CE6 - Saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales o circunstanciales.
CE7 - Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
Sin docencia.
La evaluación consistirá en la nota del examen final escrito.
Sin docencia.
Leovigildo Alonso Tarrio
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Álgebra
- Teléfono
- 881813159
- Correo electrónico
- leo.alonso [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidad
| 09.01.2026 10:00-14:00 | Grupo de examen | Aula 06 |
| 19.06.2026 10:00-14:00 | Grupo de examen | Aula 06 |