Créditos ECTS Créditos ECTS: 9
Horas ECTS Criterios/Memorias Horas de Tutorías: 2 Clase Expositiva: 42 Clase Interactiva: 42 Total: 86
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Grado RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Estadística, Análisis Matemático y Optimización
Áreas: Análisis Matemático
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Primer semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
Introducir al alumno, con apoyo esencial de ejemplos y práctica, en la comprensión de la primera estructura del Análisis Matemático, el cuerpo ordenado y completo de los números reales, y las funciones reales de una variable real.
Introducir y consolidar, con ejemplos y ejercicios, las nociones de convergencia de sucesiones y series numéricas.
Presentar, practicando con las distintas notaciones, las operaciones con los números complejos.
Introducir las distintas nociones de límite de una función real de variable real, y estudiar la continuidad y la continuidad uniforme de dichas funciones.
1. NÚMEROS REALES (aprox. 8 clases expositivas)
1.1 Números naturales. Principio de inducción.
1.2 Números racionales. Numerabilidad.
1.3 Axiomática de los números reales (R). Axioma del supremo y consecuencias.
1.4 Propiedad arquimediana de R. Densidad de Q en R.
2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES (aprox. 9 clases expositivas)
2.1 Introducción intuitiva a los conceptos de sucesión y límite. Generalidades.
2.2 Sucesiones convergentes y sus límites. Propiedades.
2.3 Límites infinitos.
2.4 Convergencia y divergencia de sucesiones monótonas.
2.5 Subsucesiones. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Límites de oscilación.
2.6 Sucesiones de Cauchy. Completitud de R.
2.7 Cálculo de límites. Criterios de Stirling y de Stolz.
3. SERIES DE NÚMEROS REALES (aprox. 8 clases expositivas)
3.1 Introducción intuitiva a los conceptos de serie y su suma.
3.2 Series numéricas. Convergencia de series.
3.3 Series de términos no negativos. Criterios de convergencia.
3.4 Convergencia absoluta y condicional. Criterios de convergencia no absoluta.
3.5 Expresión decimal en R y otros sistemas de numeración.
4. NÚMEROS COMPLEJOS (aprox. 2 clases expositivas)
4.1 Números complejos. Forma binómica y operaciones elementales.
4.2 Forma exponencial y sus consecuencias: potencias, raíces y fórmulas de Euler y de Moivre.
5. LÍMITES (aprox. 7 clases expositivas)
5.1 Preliminares topológicos en ℝ.
5.2 Límite de una función en un punto.
5.3 Límites laterales.
5.4 Límites infinitos y en el infinito.
5.5 Cálculo de límites: Indeterminaciones.
6. CONTINUIDAD (aprox. 8 clases expositivas)
6.1 Continuidad de una función en un punto.
6.2 Continuidad secuencial.
6.3 Funciones continuas: Propiedades.
6.4 Teoremas de Weierstrass y Bolzano.
6.5 Continuidad de funciones monótonas y de sus inversas.
6.6 Continuidad uniforme.
6.7 Teorema de Heine.
6.8 Teorema de la extensión continua.
6.9 Criterios suficientes y necesarios para la continuidad uniforme.
BÁSICA
[1] T.M. Apostol. Análisis Matemático (2ª Ed.). Reverté, 1979.
[2] R.G. Bartle, D.R. Sherbert. Introducción al Análisis Matemático de una Variable (3ª Ed.). Limusa Wiley, 2010.
[3] R. Figueroa Sestelo, Ó.A. Otero Zarraquiños. Números reais. Universidade de Santiago de Compostela, 2022. Disponible en línea en: https://iacobus.usc.gal/permalink/34CISUG_USC/o7pcup/alma99101373073540…
[4] R. Figueroa Sestelo, Ó.A. Otero Zarraquiños. Números complexos. Universidade de Santiago de Compostela, 2022. Disponible en línea en: https://iacobus.usc.gal/permalink/34CISUG_USC/1sh7577/alma9910135587473…
[5] R. Figueroa Sestelo, Ó.A. Otero Zarraquiños. Series de números reais. Universidade de Santiago de Compostela, 2022. Disponible en línea en: https://iacobus.usc.gal/permalink/34CISUG_USC/1sh7577/alma9910135587472…
[6] R. Figueroa Sestelo, Ó.A. Otero Zarraquiños. Sucesións de números reais. Universidade de Santiago de Compostela, 2022. Disponible en línea en:
https://iacobus.usc.gal/permalink/34CISUG_USC/1sh7577/alma9910135587471…
[7] F. A. F. Tojo. Introducción al estudio de funciones de una variable real. Universidade de Santiago de Compostela, 2022.
Disponible en línea en: https://iacobus.usc.gal/permalink/34CISUG_USC/o7pcup/alma99101373082020…
COMPLEMENTARIA
[1] T. Gowers, J. Barrow-Green, I. Leader. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2008. Disponible en línea en: https://iacobus.usc.gal/permalink/34CISUG_USC/o7pcup/alma99101352295090…
[2] T. Tao. Analysis I. Second Edition, Hindustan Book Agency. Disponible en línea en: https://iacobus.usc.gal/permalink/34CISUG_USC/o7pcup/alma99101346685280…
[3] S. Behar Jequín, R. Roldán Inguanzo, A. Arredondo Soto. Análisis matemático real: ejercicios y problemas. Universidad de La Habana, 2021.
Disponible en línea en: https://elibro-net.ezbusc.usc.gal/es/lc/busc/titulos/196988
Tal y como se recoge en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC en vigor, son conocimientos, competencias y habilidades o destrezas, las que a continuación se detallan.
CONOCIMIENTOS
Con01: Conocer los conceptos, métodos, aplicaciones y resultados más importantes de las distintas ramas de las Matemáticas.
Con02: Conocer, comprender y utilizar el lenguaje matemático para elaborar y entender demostraciones y plantear modelos matemáticos.
Con03: Conocer demostraciones de los teoremas relevantes de las distintas ramas de las Matemáticas.
Con04: Asimilar la definición de objetos matemáticos, relacionarlos con otros y ser capaz de utilizarlos en diferentes contextos.
Con05: Saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema y determinar las herramientas matemáticas apropiadas para abordarlo.
COMPETENCIAS
Comp01: Reunir e interpretar datos, información y resultados relevantes, obtener conclusiones y emitir informes razonados en problemas científicos, tecnológicos o de otros ámbitos que requieran el uso de herramientas matemáticas.
Comp02: Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas en Matemáticas tanto a un público especializado como no especializado.
Comp03: Estudiar y aprender de forma autónoma nuevos conocimientos y técnicas de las diferentes ramas de las Matemáticas.
HABILIDADES O DESTREZAS
H/D01: Aplicar tanto los conocimientos teóricos-prácticos adquiridos como la capacidad de análisis y de abstracción en la definición y planteamiento de problemas y en la búsqueda de sus soluciones tanto en
contextos académicos como profesionales.
H/D02: Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de Matemáticas.
H/D03: Organizar y planificar el trabajo de forma adecuada.
H/D04: Comprobar o contrastar argumentos y razonamientos, identificando errores y proponiendo revisiones o contraejemplos.
H/D06: Leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico.
H/D07: Elaborar demostraciones de resultados matemáticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o refutarlas.
Se seguirán las indicaciones metodológicas generales establecidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC en vigor.
Las clases expositivas consistirán básicamente en lecciones impartidas por el/la profesor/a, dedicadas a la exposición de los contenidos teóricos y a la resolución de algunos problemas o ejercicios. A veces, el modelo se aproximará a la lección magistral y otras se procurará una mayor implicación del alumnado. Se trabajarán, sobre todo, la adquisición de los conocimientos Con01, Con02, Con03, Con04 y Con05. Además, las clases expositivas servirán de ejemplo para la adquisición de la competencia Comp02 y estimularán el desarrollo de la habilidad H/D07.
Las clases interactivas irán encaminadas, en unos casos, a la adquisición de habilidades prácticas y, en otros, servirán para la ilustración inmediata de los contenidos teórico-prácticos, mediante la resolución de aplicaciones de la teoría, problemas o ejercicios. Se trabajarán, sobre todo, las habilidades o destrezas H/D01, H/D04 y H/D07 y las competencias Comp01 y Comp02, aunque también servirán para adquirir o afianzar los conocimientos Con01, Con02, Con03, Con04 y Con05.
Las tutorías permitirán atender a los/as estudiantes para discutir cuestiones concretas sobre las tareas encomendadas o resolver dudas sobre la materia.
Todas las tareas del alumnado (estudio, lecturas, ejercicios, prácticas…) serán orientadas por los/as docentes en y en las clases interactivas y las sesiones de tutoría en grupo muy reducido. Servirán para reforzar, en particular, las habilidades o destrezas H/D02, H/D03 y H/D06 y las competencias Comp01, Comp02 y Comp03.
Se empleará el curso virtual para hacer llegar al alumnado los recursos necesarios para el desarrollo de la materia (vídeos explicativos, apuntes, boletines de ejercicios, etc.) y para toda comunicación oficial del profesor al alumnado acerca de la marcha del curso.
La evaluación de la asignatura combina evaluación continua y evaluación final, de forma coordinada entre los distintos grupos expositivos. El objetivo es comprobar el grado de adquisición de los conocimientos, competencias y destrezas definidos para la materia.
EVALUACIÓN FINAL (EF)
La evaluación final consistirá en un examen escrito único para todos los grupos expositivos, valorado sobre 10 puntos. Permitirá evaluar de forma global la comprensión de los contenidos teóricos, la capacidad de razonamiento formal, y la aplicación de técnicas matemáticas a la resolución de problemas. Los contenidos del examen se desglosan como se indica a continuación, teniendo cada apartado un peso aproximado en la nota del 25%:
- Enunciado y demostración de lemas, proposiciones, teoremas y corolarios: evalúa conocimientos teóricos (Con01, Con03), manejo del lenguaje formal (Con02) y destrezas en la elaboración de demostraciones (H/D07).
- Resolución de cuestiones teóricas: evalúa comprensión conceptual, capacidad de argumentación y relación entre conceptos (Con02, Con04, H/D04).
- Resolución de cuestiones prácticas: evalúa el dominio de técnicas específicas y su aplicación (Con05, H/D01).
- Resolución de problemas o ejercicios: mide la capacidad para analizar y resolver problemas matemáticos, valorando también la claridad en la presentación (Comp01, H/D01, H/D03).
EVALUACIÓN CONTINUA (EC)
La evaluación continua consta de dos pruebas intermedias presenciales, también valoradas sobre 10 puntos. En ellas se trabajarán progresivamente los contenidos del curso, y se valorará tanto la adquisición de conocimientos como el desarrollo de habilidades y competencias. Los contenidos de cada prueba se desglosan como se indica a continuación, teniendo cada apartado un peso aproximado en la nota del 33%:
- Cuestiones teóricas: evalúan la asimilación progresiva de contenidos fundamentales y el uso adecuado del lenguaje matemático (Con01, Con02, Con04).
- Cuestiones prácticas: miden la capacidad para aplicar técnicas matemáticas en la resolución de problemas concretos (Con05, H/D01, H/D04).
- Problemas o ejercicios: evalúan la competencia para enfrentar situaciones nuevas, argumentar soluciones y comunicar resultados de forma clara (Comp01, Comp02, H/D01, H/D03, H/D07).
La nota de la evaluación continua se calculará como:
EC=1/2*P1+1/2*P2,
donde P1 y P2 las notas obtenidas en las dos pruebas intermedias.
Aunque la estructura y el tipo de actividades será el mismo en todos los grupos expositivos, el contenido podrá adaptarse a cada grupo, garantizando la coordinación y equivalencia formativa.
NOTA FINAL (NF)
La nota final de la asignatura se calculará con la fórmula:
NF=max{EF, 0.3*C+0.7*EF}
Esta fórmula reconoce el trabajo continuado del estudiante y su evolución a lo largo del curso, al tiempo que garantiza una evaluación final rigurosa y equitativa.
Se considerará No Presentado al estudiante que al finalizar el periodo docente no se presente al examen de la evaluación final.
SEGUNDA OPORTUNIDAD
La evaluación en la segunda oportunidad seguirá el mismo esquema, manteniendo la misma nota de evaluación continua que se aplique en la primera oportunidad. El examen final de la segunda oportunidad será equivalente y común a todos los grupos, que evaluará conocimientos, habilidades y competencias en los mismos términos que en la primera convocatoria.
CONSIDERACIONES ADICIONALES
Para los casos de realización fraudulenta de los tests o pruebas (plagios o uso indebido de las tecnologías) será de aplicación lo recogido en la normativa de evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y de revisión de calificaciones.
TRABAJO PRESENCIAL EN EL AULA
Clases expositivas (42 horas)
Clases interactivas de laboratorio (42 horas)
Tutorías en grupos muy reducidos (2 horas)
Total de horas de trabajo presencial en el aula: 86
TRABAJO PERSONAL DEL ALUMNO
Estudio autónomo individual o en grupo (77 horas)
Escritura de ejercicios, conclusiones u otros trabajos (40 horas)
Programación/experimentación u otros trabajos en ordenador/laboratorio (12 horas)
Lecturas recomendadas, actividades en biblioteca o similar (10 horas)
Total de horas de trabajo personal del alumno: 139
Rodrigo Lopez Pouso
- Departamento
- Estadística, Análisis Matemático y Optimización
- Área
- Análisis Matemático
- Teléfono
- 881813166
- Correo electrónico
- rodrigo.lopez [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidad
Maria Victoria Otero Espinar
- Departamento
- Estadística, Análisis Matemático y Optimización
- Área
- Análisis Matemático
- Teléfono
- 881813170
- Correo electrónico
- mvictoria.otero [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidad
Érika Diz Pita
Coordinador/a- Departamento
- Estadística, Análisis Matemático y Optimización
- Área
- Análisis Matemático
- Teléfono
- 881813202
- Correo electrónico
- erikadiz.pita [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Profesor Ayudante Doctor LOU
Paula Cambeses Franco
- Departamento
- Estadística, Análisis Matemático y Optimización
- Área
- Análisis Matemático
- Correo electrónico
- paula.cambeses.franco [at] usc.es
- Categoría
- Predoutoral Ministerio
| Lunes | |||
|---|---|---|---|
| 10:00-11:00 | Grupo /CLE_01 | Castellano, Gallego | Aula 02 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_01 | Gallego, Castellano | Aula 02 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLE_02 | Castellano | Aula 03 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_02 | Castellano | Aula 03 |
| Martes | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLE_01 | Gallego, Castellano | Aula 02 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_01 | Castellano | Aula 08 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_06 | Castellano | Aula 07 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_02 | Castellano | Aula 08 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_03 | Castellano | Aula 08 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_05 | Castellano | Aula 09 |
| Miércoles | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_01 | Castellano | Aula 05 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_03 | Castellano | Aula 08 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_04 | Gallego, Castellano | Aula 09 |
| Jueves | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLIL_02 | Castellano | Aula 01 |
| 09:00-10:00 | Grupo /CLIL_05 | Castellano | Aula 08 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_04 | Gallego, Castellano | Aula 09 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_06 | Castellano | Aula 08 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLE_02 | Castellano | Aula 03 |
| Viernes | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLIL_02 | Castellano | Aula 07 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_01 | Castellano | Aula 01 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_03 | Castellano | Aula 01 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_05 | Castellano | Aula 07 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_06 | Castellano | Aula 07 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_04 | Castellano, Gallego | Aula 07 |
| 23.01.2026 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 11.06.2026 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |