El polinomio de Bernstein-Sato

Para cualquier polinomio f en varias variables y coeficientes reales o complejos, existe una ecuación funcional de la forma b(k)f^k=P(k)f^{k+1} para todo k entero, donde P(s) es un operador diferencial en función de un parámetro auxiliar s y b(s) es un polinomio no nulo. El polinomio mónico de menor grado que satisface una familia de ecuaciones así es el polinomio de Bernstein-Sato asociado a f. Bernstein demostró la existencia de dicho polinomio y la ecuación funcional en 1971, en respuesta a una pregunta de I. Gelfand en el ICM de 1954 sobre la prolongación analítica de la distribución f^s. Aunque su motivación era puramente analítica, el trabajo de Bernstein constituyó uno de los pilares de la teoría (algebraica) de D-módulos, y el polinomio de Bernstein-Sato junto con sus raíces se convirtieron en una herramienta fundamental para la teoría de singularidades y la geometría birracional, cuya utilidad sigue en vigor actualmente. En esta charla pretendo repasar esta historia sin entrar en (muchas) dificultades técnicas.