ECTS credits ECTS credits: 6
ECTS Hours Rules/Memories Student's work ECTS: 99 Hours of tutorials: 3 Expository Class: 24 Interactive Classroom: 24 Total: 150
Use languages Spanish, Galician, English
Type: Ordinary Degree Subject RD 1393/2007 - 822/2021
Departments: Mathematics
Areas: Geometry and Topology
Center Faculty of Mathematics
Call: Second Semester
Teaching: With teaching
Enrolment: Enrollable | 1st year (Yes)
El estudio de la topología de la recta real se inició en la materia de "Introdución al Análisis Matemático" y, en referencia a la continuidad, se desarrolla en la materia "Continuidad y derivabilidad de funciones de una variable real". Ahora, en esta asignatura, se aborda el estudio de la topología no solamente de la recta real, sino también de los espacios euclidianos de cualquier dimensión. Además, se hará un tratamiento más sistemático de las cuestiones consideradas.
Los principales objetivos son:
• Estudiar conceptos, métodos y propiedades métricas y, fundamentalmente, topológicas en R^n, partiendo de su estructura euclidiana.
• Aplicar las técnicas de convergencia de sucesiones al estudio de propiedades relacionadas con la topología. Estudiar la completitud.
• Estudiar la continuidad de funciones en el ámbito de los espacios euclidianos. Identificar funciones continuas, o discontinuidades de funciones. Describir funciones geométricamente. Dar ejemplos de funciones que ilustren propiedades diversas. Expresar analíticamente transformaciones geométricas sencillas.
• Comprender los conceptos de conexidad y compacidad. En su expresión más sencilla, un resultado típico dirá que toda función real continua con dominio un intervalo cerrado alcanza el máximo, el mínimo y cualquier valor intermedio; se observará que las únicas propiedades necesarias del intervalo son la conexidad y la compacidad. Es una muestra de uno de los aspectos más característicos de la matemática: como la solución de problemas, a veces de formulación simple, requiere a menudo de teorías muy abstractas.
Tema 1 Los espacios euclianos (4 horas expositivas)
1.1 Producto escalar y norma euclidiana
1.2 Desigualdades de Cauchy-Schwarz y de Minkowski
1.3 Distancia euclidiana. Propiedades; la desigualdad triangular
1.4 Bolas abiertas
1.5 Distancia entre conjuntos. Conjuntos acotados. Diámetro
Tema 2 La topología del espacio euclidiano (4 horas expositivas)
2.1 Definición de conjunto abierto
2.2 Propiedades características de los conjuntos abiertos
2.3 Conjuntos cerrados.
2.4 Espacios y subespacios. Abiertos relativos
Tema 3 Convergencia y completitud (4 horas expositivas)
3.1 Sucesiones. Sucesiones convergentes. Subsucesiones.
3.2 Convergencia y topología.
3.3 Sucesiones de Cauchy
3.4 Completitud del espacio euclidiano
Tema 4 Continuidad (8 horas expositivas)
4.1 Definición de continuidad
4.2 Caracterizaciones globales de la continuidad
4.3 Continuidad secuencial
4.4 Función combinada
4.5 Homeomorfismos.
4.6 Propiedades topológicas
Tema 5 Conexión (4 horas expositivas)
5.1 Conjuntos conexos
5.2 Conexión y continuidad
5.3 Conjuntos conexos por caminos
Tema 6 Compacidad (4 horas expositivas)
6.1 Compacidad
6.2 Compacidad y continuidad
6.3 Caracterización de los conjuntos compactos en el espacio euclidiano (Teorema de Heine-Borel)
Bibliografía básica
Curso en el campus virtual, también accesible en http://xtsunxet.usc.es/carlos/topoloxia1/
MASA VÁZQUEZ, X.M. Curso de topoloxía: dos números reais ao Grupo de Poincaré. USC Editora. Manuais, Universidade de Santiago de Compostela, 2020. (Edición revisada y actualizada del manual de 1999)
MASA VÁZQUEZ, X.M. Topoloxía xeral. Introducción aos espazos euclidianos, métricos e topolóxicos. Manuais universitarios, Universidade de Santiago de Compostela, 1999.
Bibliografía complementaria
BARTLE, R.G. Introducción al Análisis Matemático. Ed. Limusa. México, 1980.
BUSKES, G. AND VAN ROOIJ, A. Topological spaces. Springer, 1996.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-0665-1
CHINN, W.G. and STEENROOD, N.E. Primeros conceptos de Topología. Ed. Alhambra, 1975.
SUTHERLAND, W.A. Introduction to metrics and topological spaces. Clarendon Press. Oxford, 1975.
En este curso se pretende contribuir a mejorar las competencias básicas, generales y transversales del Grado de Matemáticas. Además se trabajarán las siguientes competencias ESPECÍFICAS del grado:
CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático.
CE2 - Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
CE3 - Idear demostraciones de resultados matemáticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o negarlas.
CE4 - Identificar errores en razonamientos incorrectos proponiendo demostraciones o contraejemplos.
CE5 - Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, relacionarlo con otros ya conocidos, y ser capaz de utilizarlo en diferentes contextos.
CE6 - Saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales o circunstanciales.
El trabajo en el aula con un grupo grande consiste, fundamentalmente, en docencia impartida por el profesor. De ordinario, se dedicará una parte del tiempo a la exposición de cuestiones teóricas, y otra parte a la ilustración con ejemplos y al planteamiento de problemas o ejercicios. A veces se procurará la implicación de todo el alumnado en la discusión de las cuestiones suscitadas.
En la docencia presencial en grupos reducidos (de seminario) se propondrán y resolverán cuestiones teórico-prácticas y ejercicios. En la docencia en grupos más reducidos (de laboratorio) se dará preferencia a la participación de los estudiantes y a aclarar dudas sobre teoría, problemas y ejercicios.
Las tutorías en grupos muy reducidos se dedicarán, de forma individual o en grupos, a resolver las dudas y dificultades particulares que vayan apareciendo, y al seguimiento individualizado de cada estudiante.
Habrá un curso virtual, donde aparecen detallados todos los aspectos teóricos de la materia y ejercicios resueltos. Periódicamente, se entregarán al alumno boletines de ejercicios y cuestiones a través del curso virtual.
La docencia expositiva y la interactiva serán de carácter presencial. Las tutorías pueden ser presenciales o realizarse de modo virtual. La comunicación con los alumnos, además de presencial, también se podrá hacer a través de los foros del curso virtual y del correo electrónico.
Habrá un doble método de evaluación: la evaluación continua, basada en las pruebas escritas realizadas en clase y la evaluación puntual, mediante una proba final escrita, el examen, fijado en el calendario de la facultad. En los tres escenarios previstos como posibles este curso la calificación final se obtendrá por la siguiente fórmula, donde AC indica a calificación de la evaluación continua y EF la del examen final:
máx{ 0,3 AC + 0,7 EF, EF }.
La evaluación continua consistirá en dos pruebas que se realizarán en clase en las que cada estudiante deberá resolver el ejercicio que se le indique de los que se le habrán propuesto con anterioridad. El examen final tendrá una parte de teoría, que puede abarcar la definición de conceptos, el enunciado de resultados o su demostración total o parcial. La otra parte consistirá en la resolución de ejercicios, que serán análogos a los propuestos a lo largo del curso. Cada una de las partes (teoría-ejercicios) tendrá un peso de entre un 40% y un 60% del total.
La calificación obtenida en la evaluación continua será aplicable en cada una de las dos oportunidades de un mismo curso académico (segundo semestre y julio).
Si el alumno no se presenta al examen fijado por la facultad en ninguna de las dos oportunidades tendrá la calificación de “No presentado”, aún cuando haya participado en la evaluación continua.
Además de las competencias específicas, se evaluarán las competencias generales CG1 (Conocer los conceptos, métodos y resultados más importantes), CG3 (Aplicar tanto los conocimientos teóricos-prácticos adquiridos como la capacidad de análisis y de abstracción en la definición y planteamiento de problemas y en la búsqueda de sus soluciones) y CG4 (Comunicar –por escrito--conocimientos, procedimientos, resultados e ideas).
Clases expositivas: 28 horas
Clases de seminario: 14 horas
Clases de laboratorio: 14 horas
Tutorías en grupos muy reducidoss: 2 horas
Actividades de evaluación: 5 horas
Tiempo de trabajo personal no presecial: 87 horas
Total: 150 horas
En el curso se dedica mucho tiempo a la resolución de ejercicios. Obviamente, se considera un aspecto fundamental en el aprendizaje de la materia. Esto no debe conducir a pensar que la teoría tiene menos importancia: bien al contrario, la teoría es la piedra angular de la formación. Habrá que manejar cierto número de definiciones y resultados, que se tendrán que asimilar en un período breve de tiempo. Las demostraciones de los resultados ayudan a comprenderlos mejor y permiten familiarizarse con las técnicas más importantes; deben constituir uno de los componentes fundamentales del estudio de la materia. El otro, ciertamente, será el empeño en la resolución de los ejercicios.
Plan de contingencia.-
• Metodología de la enseñanza
Escenario 2: distanciamiento.
Habrá docencia presencial y virtual de acuerdo con la fórmula de convivencia de ambas modalidades que defina la Facultad de Matemáticas. La docencia virtual síncrona tendrá lugar a través de la plataforma Microsoft Teams y la docencia asíncrona a través del Campus Virtual de la USC. La comunicación con los alumnos, además de presencial, se podrá realizar a través de los foros del curso virtual y del correo electrónico.
Escenario 3: cierre de las instalaciones.
La docencia será completamente virtual. Habrá docencia síncrona por medio de la plataforma Microsoft Teams y docencia asíncrona, mediante material que complemente la docencia síncrona, a través del Campus Virtual. La comunicación con los alumnos tendrá lugar a través de los foros del curso virtual y del correo electrónico.
• Sistema de evaluación
Escenario 2: distanciamiento.
La evaluación continua consistirá en la realización de dos pruebas presenciales (si es posible) o bien telemáticas de modo síncrono. La prueba final tendrá, si es presencial, una parte de teoría y otra parte que consistirá en la realización de ejercicios (en este caso cada una de las partes tendrá un peso de entre un 40% y un 60% del total). Si es telemática la prueba final será de carácter síncrono y contendrá cuestiones teórico-prácticas y ejercicios.
Escenario 3: cierre de las instalaciones.
La evaluación continua consistirá en la realización , de modo síncrono, de dos pruebas telemáticas. La prueba final será telemática y síncrona y contendrá cuestiones teórico-prácticas y ejercicios.
Para el caso de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la "Normativa de evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y revisión de calificaciones".
Jose Antonio Oubiña Galiñanes
Coordinador/a- Department
- Mathematics
- Area
- Geometry and Topology
- Phone
- 881813141
- ja.oubina [at] usc.es
- Category
- Professor: University Professor
María Elena Vázquez Abal
- Department
- Mathematics
- Area
- Geometry and Topology
- Phone
- 881813143
- elena.vazquez.abal [at] usc.es
- Category
- Professor: University Professor
Alberto Rodriguez Vazquez
- Department
- Mathematics
- Area
- Geometry and Topology
- a.rodriguez [at] usc.es
- Category
- Ministry Pre-doctoral Contract
María Ferreiro Subrido
- Department
- Mathematics
- Area
- Geometry and Topology
- maria.ferreiro.subrido [at] rai.usc.es
- Category
- Ministry Pre-doctoral Contract
Tomás Otero Casal
- Department
- Mathematics
- Area
- Geometry and Topology
- tomas.otero.casal [at] usc.es
- Category
- Ministry Pre-doctoral Contract
| Monday | |||
|---|---|---|---|
| 09:00-10:00 | Grupo /CLIL_07 | Galician, Spanish | Classroom 09 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_08 | Spanish, Galician | Classroom 08 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_01 | Galician | Ramón María Aller Ulloa Main Hall |
| Tuesday | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_05 | Spanish | Classroom 09 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_06 | Spanish | Classroom 09 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_01 | Galician | Ramón María Aller Ulloa Main Hall |
| Wednesday | |||
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIS_02 | Galician | Classroom 09 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_02 | Spanish | Ramón María Aller Ulloa Main Hall |
| Thursday | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIS_01 | Galician | Ramón María Aller Ulloa Main Hall |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_04 | Galician | Classroom 08 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_01 | Galician | Classroom 08 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_02 | Spanish | Ramón María Aller Ulloa Main Hall |
| Friday | |||
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_02 | Galician | Classroom 09 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIS_04 | Spanish | Ramón María Aller Ulloa Main Hall |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIS_03 | Spanish | Classroom 06 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_03 | Galician | Classroom 09 |
| 05.25.2022 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Classroom 06 |
| 07.07.2022 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Classroom 06 |