Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Horas de Tutorías: 2 Clase Expositiva: 28 Clase Interactiva: 28 Total: 58
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Grado RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Geometría y Topología
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Segundo semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
El estudio de la recta real y de la continuidad de funciones reales de variable real se inició en la asignatura “Introducción al análisis matemático”. El propósito principal de esta asignatura es abordar el estudio de la topología de los espacios euclídeos de cualquier dimensión. De modo más concreto:
- Estudiar conceptos, métodos y propiedades de los espacios métricos, con particular énfasis en el espacio euclídeo n-dimensional.
- Aplicar las técnicas de convergencia de sucesiones al estudio de propiedades relacionadas con la topología. Estudiar la noción de completitud.
- Estudiar la continuidad de aplicaciones entre espacios métricos, poniendo el foco principalmente en las aplicaciones entre espacios euclídeos. Dar ejemplos de funciones que ilustren propiedades diversas o sirvan para definir subconjuntos del espacio euclídeo. Expresar analíticamente transformaciones geométricas sencillas.
- Estudiar los conceptos de conexidad y compacidad. Comprender de qué manera éstos permiten generalizar el hecho de que las funciones continuas definidas en un intervalo cerrado y acotado y que toman valores reales alcanzan máximo y mínimo, así como todos los valores intermedios entre ellos.
Tema 1. Espacios métricos y euclídeos. (4 horas expositivas)
- Espacio métrico y topológico. Espacio vectorial con producto interior. Espacio normado. Espacio euclídeo.
- Desigualdad de Cauchy-Schwarz y desigualdad de Minkowski.
- Bolas abiertas y cerradas.
- Distancia entre conjuntos. Conjuntos acotados. Diámetro.
Tema 2. La topología de los espacios métricos y euclídeos. (4 horas expositivas)
- Conjuntos abiertos y cerrados.
- La topología de los espacios métricos y euclídeos.
- Espacios y subespacios.
- Topología relativa.
Tema 3. Convergencia y completitud. (4 horas expositivas)
- Sucesiones y convergencia. Subsucesiones.
- Convergencia y topología.
- Sucesiones de Cauchy.
- Completitud.
- Completitud del espacio euclídeo.
Tema 4. Continuidad. (8 horas expositivas)
- Continuidad en un punto. Continuidad global.
- Caracterizaciones globales de la continuidad.
- Continuidad secuencial.
- Aplicación combinada.
- Homeomorfismos. Propiedades topológicas.
Tema 5. Conexidad. (4 horas expositivas)
- Separación. Conjuntos conexos.
- Conexidad y continuidad.
- Conexidad por caminos.
Tema 6. Compacidad. (4 horas expositivas)
- Recubrimiento abierto. Conjuntos compactos.
- Compacidad y continuidad.
- Teorema de Heine-Borel.
Bibliografía básica:
- Curso en el campus virtual, accesible en http://xtsunxet.usc.es/carlos/topoloxia1/.
- LIMA, E.L. Espaços métricos. Brasilía: Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Projeto Euclides (IMPA), 1993.
- MASA VÁZQUEZ, X.M. Curso de topoloxía: dos números reais ao Grupo de Poincaré. USC Editora. Manuais, Universidade de Santiago de Compostela, 2020. (Edición revisada y actualizada del manual de 1999).
Bibliografía complementaria:
- BARTLE, R.G. Introducción al Análisis Matemático. Ed. Limusa. México, 1980.
- BUSKES, G., VAN ROOIJ, A. Topological spaces. Springer, 1996.
- CHINN, W.G., STEENROOD, N.E. Primeros conceptos de Topología. Ed. Alhambra, 1975.
- SUTHERLAND, W.A. Introduction to metrics and topological spaces. Clarendon Press. Oxford, 1975.
Los resultados del proceso de formación y de aprendizaje de esta asignatura son:
Conocimientos:
Con01: Conocer los conceptos, métodos, aplicaciones y resultados más importantes de las distintas ramas de las Matemáticas.
Con02: Conocer, comprender y utilizar el lenguaje matemático para elaborar y entender demostraciones y plantear modelos matemáticos.
Con03: Conocer demostraciones de los teoremas relevantes de las distintas ramas de las Matemáticas.
Con04: Asimilar la definición de objetos matemáticos, relacionarlos con otros y ser capaz de utilizarlos en diferentes contextos.
Con05: Saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema y determinar las herramientas matemáticas apropiadas para abordarlo.
Habilidades o destrezas:
H/D01: Aplicar tanto los conocimientos teóricos-prácticos adquiridos como la capacidad de análisis y de abstracción en la definición y planteamiento de problemas y en la búsqueda de sus soluciones tanto en contextos académicos como profesionales.
H/D02: Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de Matemáticas.
H/D03: Organizar y planificar el trabajo de forma adecuada.
H/D04: Comprobar o contrastar argumentos y razonamientos, identificando errores y proponiendo revisiones o contraejemplos.
H/D06: Leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico.
H/D07: Elaborar demostraciones de resultados matemáticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o refutarlas.
H/D08: Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
Competencias:
Comp01: Reunir e interpretar datos, información y resultados relevantes, obtener conclusiones y emitir informes razonados en problemas científicos, tecnológicos o de otros ámbitos que requieran el uso de herramientas matemáticas.
Comp02: Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas en Matemáticas tanto a un público especializado como no especializado.
Comp03: Estudiar y aprender de forma autónoma nuevos conocimientos y técnicas de las diferentes ramas de las Matemáticas.
Comp04: Planificar y desarrollar algoritmos y métodos matemáticos para resolver problemas en cualquier ámbito.
Se seguirán las indicaciones metodológicas generales establecidas en la Memoria de Verificación del Título Grado en Matemáticas.
Las clases expositivas consistirán básicamente en lecciones impartidas por el profesorado, dedicadas a la exposición de los contenidos teóricos y a la resolución de algunos problemas o ejercicios. A veces, el modelo se aproximará a la lección magistral y otras se procurará una mayor implicación del alumnado.
Las clases interactivas irán encaminadas, en unos casos, a la adquisición de habilidades prácticas y, en otros, servirán para la ilustración inmediata de los contenidos teórico-prácticos, mediante la resolución de aplicaciones de la teoría, problemas, ejercicios o la programación.
Las tutorías permitirán atender al estudiantado para discutir cuestiones concretas sobre las tareas encomendadas o resolver dudas sobre la materia.
Habrá un curso virtual, donde aparecen detallados todos los aspectos teóricos de la materia. Periódicamente, se entregarán al alumnado boletines de ejercicios y cuestiones a través del curso virtual.
De acuerdo con la Memoria de Verificación del Título Grado en Matemáticas, la evaluación debe servir para verificar que el alumnado ha asimilado los conocimientos básicos que se le han transmitido y adquirido los conocimientos, las destrezas y las competencias del título.
Se consideran dos instrumentos de evaluación: la evaluación continua y la evaluación final. Por un lado, la evaluación continua consistirá en una o dos pruebas escritas realizadas a lo largo del cuatrimestre en horario de clase. La calificación obtenida en la evaluación continua será aplicable en cada una de las dos oportunidades de un mismo curso académico (segundo semestre y julio). Por su parte, la evaluación final consistirá en un examen escrito en la fecha designada por la Facultad de Matemáticas. Si el alumno no se presenta al examen fijado por la Facultad de Matemáticas en ninguna de las dos oportunidades, tendrá la calificación de “No presentado”, aún cuando haya participado en la evaluación continua.
Tanto las pruebas de la evaluación continua como el examen final se desglosan del siguiente modo, con la ponderación, que de manera aproximada, se indica entre paréntesis:
- Resolución por escrito de cuestiones teóricas, enunciado de teoremas y desarrollo de demostraciones (aproximadamente un 50%).
- Resolución por escrito de cuestiones prácticas y resolución de problemas/ejercicios (aproximadamente un 50%).
De nuevo, de acuerdo con la Memoria de Verificación del Título Grado en Matemáticas, la calificación final de cada estudiante “no podrá ser inferior a la calificación de la evaluación final ni a la media ponderada de la evaluación final con la evaluación continua”. Por ello, la calificación final (CF) se calculará utilizando la calificación de la evaluación continua (EC) y la calificación de la evaluación final (EF) del modo que sigue: CF = máx{0,3*EC + 0,7*EF, EF}.
Las pruebas de evaluación serán equivalentes en todos los grupos de la asignatura, aunque no necesariamente las mismas.
Docencia teórica: 28 horas
Docencia interactiva laboratorio/aula informática: 28 horas
Tutorización en grupo reducido: 2 horas
Trabajo personal del alumnado: 92 horas
Total: 150 horas
En el curso se dedica mucho tiempo a la resolución de ejercicios. Obviamente, se considera un aspecto fundamental en el aprendizaje de la materia. Esto no debe conducir a pensar que la teoría tiene menos importancia: bien al contrario, la teoría es la piedra angular de la formación. En este sentido, las demostraciones de los resultados no solo ayudan a comprenderlos mejor sino que permiten familiarizarse con las técnicas más importantes de la asignatura.
Enrique Macías Virgós
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Geometría y Topología
- Teléfono
- 881813153
- Correo electrónico
- quique.macias [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidad
Jose Manuel Carballes Vazquez
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Geometría y Topología
- Teléfono
- 881813146
- Correo electrónico
- xm.carballes [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidad
Fernando Alcalde Cuesta
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Geometría y Topología
- Teléfono
- 881813142
- Correo electrónico
- fernando.alcalde [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidad
Victor Sanmartin Lopez
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Geometría y Topología
- Correo electrónico
- victor.sanmartin [at] usc.es
- Categoría
- PROFESOR/A PERMANENTE LABORAL
| Martes | |||
|---|---|---|---|
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_01 | Castellano | Aula 02 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_02 | Castellano | Aula 03 |
| Jueves | |||
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_05 | Castellano | Aula 05 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLE_01 | Castellano | Aula 02 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_06 | Castellano | Aula 08 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_04 | Castellano | Aula 01 |
| Viernes | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_06 | Castellano | Aula 05 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_02 | Castellano | Aula 07 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_05 | Castellano | Aula 05 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_03 | Gallego | Aula 09 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_04 | Castellano | Aula 05 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_01 | Castellano | Aula 08 |
| 21.05.2026 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 08.07.2026 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |