Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Horas de Titorías: 2 Clase Expositiva: 28 Clase Interactiva: 28 Total: 58
Linguas de uso Castelán, Galego
Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Xeometría e Topoloxía
Centro Facultade de Matemáticas
Convocatoria: Segundo semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
O estudo da recta real e da continuidade de funcións reais de variable real iniciouse na materia “Introdución á análise matemática”. O propósito principal desta materia é abordar o estudo da topoloxía dos espazos euclidianos de calquera dimensión. De xeito máis concreto:
- Estudar conceptos, métodos e propiedades dos espazos métricos, con especial énfase no espazo euclidiano n-dimensional.
- Aplicar as técnicas de converxencia de sucesións ao estudo de propiedades relacionadas coa topoloxía. Estudar a noción de completitude.
- Estudar a continuidade de aplicacións entre espazos métricos, poñendo o foco principalmente nas aplicacións entre espazos euclidianos. Dar exemplos de funcións que ilustren propiedades diversas ou sirvan para definir subconxuntos do espazo euclidiano. Expresar analiticamente transformacións xeométricas sinxelas.
- Estudar os conceptos de conexidade e compacidade. Comprender de que xeito estes permiten xeneralizar o feito de que as funcións continuas definidas nun intervalo pechado e limitado e que toman valores reais acadan máximo e mínimo, así como todos os valores intermedios entre eles.
Tema 1. Espazos métricos e euclidianos. (4 horas expositivas)
- Espazo métrico e topolóxico. Espazo vectorial con produto interior. Espazo normado. Espazo euclidiano.
- Desigualdade de Cauchy-Schwarz e desigualdade de Minkowski.
- Bolas abertas e pechadas.
- Distancia entre conxuntos. Conxuntos limitados. Diámetro.
Tema 2. A topoloxía dos espazos métricos e euclidianos. (4 horas expositivas)
- Conxuntos abertos e pechados.
- A topoloxía dos espazos métricos e euclidianos.
- Espazos e subespazos.
- Topoloxía relativa.
Tema 3. Converxencia e completitude. (4 horas expositivas)
- Sucesións e converxencia. Subsucesións.
- Converxencia e topoloxía.
- Sucesións de Cauchy.
- Completitude.
- Completitude do espazo euclidiano.
Tema 4. Continuidade. (8 horas expositivas)
- Continuidade nun punto. Continuidade global.
- Caracterizacións globais da continuidade.
- Continuidade secuencial.
- Aplicación combinada.
- Homeomorfismos. Propiedades topolóxicas.
Tema 5. Conexidade. (4 horas expositivas)
- Separación. Conxuntos conexos.
- Conexidade e continuidade.
- Conexidade por camiños.
Tema 6. Compacidade. (4 horas expositivas)
- Recubrimento aberto. Conxuntos compactos.
- Compacidade e continuidade.
- Teorema de Heine-Borel.
Bibliografía básica:
- Curso no campus virtual, accesible en http://xtsunxet.usc.es/carlos/topoloxia1/.
- LIMA, E.L. Espaços métricos. Brasilía: Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Projeto Euclides (IMPA), 1993.
- MASA VÁZQUEZ, X.M. Curso de topoloxía: dos números reais ao Grupo de Poincaré. USC Editora. Manuais, Universidade de Santiago de Compostela, 2020. (Edición revisada y actualizada del manual de 1999).
Bibliografía complementaria:
- BARTLE, R.G. Introducción al Análisis Matemático. Ed. Limusa. México, 1980.
- BUSKES, G., VAN ROOIJ, A. Topological spaces. Springer, 1996.
- CHINN, W.G., STEENROOD, N.E. Primeros conceptos de Topología. Ed. Alhambra, 1975.
- SUTHERLAND, W.A. Introduction to metrics and topological spaces. Clarendon Press. Oxford, 1975.
Os resultados do proceso de formación e aprendizaxe desta materia son:
Coñecementos:
Con01: Coñecer os conceptos, métodos, aplicacións e resultados máis importantes das distintas ramas das Matemáticas.
Con02: Coñecer, comprender e utilizar a linguaxe matemática para elaborar e entender demostracións e plantexar modelos matemáticos.
Con03: Coñecer demostracións dos teoremas relevantes das distintas ramas das Matemáticas.
Con04: Asimilar a definición de obxectos matemáticos, relacionalos con outros e ser quen de utilizalos en diferentes contextos.
Con05: Saber abstraer as propiedades e feitos substantivos dun problema e determinar as ferramentas matemáticas apropiadas para abordalo.
Habilidades ou destrezas:
H/D01: Aplicar tanto os coñecementos teórico-prácticos adquiridos como a capacidade de análise e de abstracción na definición e plantexamento de problemas e na procura das súas solucións tanto en contextos académicos como profesionais.
H/D02: Utilizar bibliografía e ferramentas de procura de recursos bibliográficos xerais e específicos de Matemáticas.
H/D03: Organizar e planificar o traballo de forma adecuada.
H/D04: Comprobar ou contrastar argumentos e razoamentos, identificando erros e propondo revisións ou contraexemplos.
H/D06: Ler textos científicos tanto en lingua propia como noutras de relevancia no ámbito científico.
H/D07: Elaborar demostracións de resultados matemáticos, formular conxecturas e imaxinar estratexias para confirmalas ou refutalas.
H/D08: Propor, analizar, validar e interpretar modelos de situacións reais, utilizando as ferramentas matemáticas máis adecuadas aos fins que se persegue.
Competencias:
Comp01: Recoller e interpretar datos, información e resultados relevantes, obter conclusións e emitir informes razoados en problemas científicos, tecnolóxicos ou doutros ámbitos que requiran o uso de ferramentas matemáticas.
Comp02: Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, coñecementos, procedementos, resultados e ideas en Matemáticas tanto a un público especializado como non especializado.
Comp03: Estudar e aprender de forma autónoma novos coñecementos e técnicas das diferentes ramas das Matemáticas.
Comp04: Planificar e desenvolver algoritmos e métodos matemáticos para resolver problemas en calquera ámbito.
Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria de Verificación do Título de Grao en Matemáticas.
As clases expositivas consistirán basicamente en leccións impartidas polo profesorado, dedicadas á exposición dos contidos teóricos e á resolución dalgúns problemas ou exercicios. Ás veces, o modelo aproximarase á lección maxistral e outras procurarase unha maior implicación do alumnado.
As clases interactivas irán encamiñadas, nuns casos, á adquisición de habilidades prácticas e, noutros, servirán para a ilustración inmediata dos contidos teórico-prácticos, mediante a resolución de aplicacións da teoría, problemas, exercicios ou a programación.
As titorías permitirán atender ao estudantado para discutir cuestións concretas sobre as tarefas encomendadas ou resolver dúbidas sobre a materia.
Haberá un curso virtual, onde aparecerán detallados todos os aspectos teóricos da materia. Periodicamente, entregaráselle ao alumnado boletíns de exercicios e cuestións a través do curso virtual.
De acordo coa Memoria de Verificación do Título de Grao en Matemáticas, a avaliación debe servir para verificar que o alumnado ten asimilados os coñecementos básicos que se lle transmitiron e que adquiriu os coñecementos, as destrezas e as competencias do título.
Considéranse dous instrumentos de avaliación: a avaliación continua e a avaliación final. Por unha banda, a avaliación continua consistirá nunha ou dúas probas escritas realizadas ao longo do cuadrimestre no horario de clase. A cualificación obtida na avaliación continua será aplicable en cada unha das dúas oportunidades dun mesmo curso académico (segundo semestre e xullo). Pola súa banda, a avaliación final consistirá nun exame escrito na data designada pola Facultade de Matemáticas. Se o alumno non se presenta ao exame fixado pola Facultade de Matemáticas en ningunha das dúas oportunidades, terá a cualificación de “Non presentado”, mesmo no caso de ter participado na avaliación continua.
Tanto as probas da avaliación continua como o exame final desglósanse do seguinte xeito, coa ponderación, que de xeito aproximado, se indica entre parénteses:
- Resolución por escrito de cuestións teóricas, enunciado de teoremas e desenvolvemento de demostracións (aproximadamente un 50%).
- Resolución por escrito de cuestións prácticas e resolución de problemas/exercicios (aproximadamente un 50%).
De novo, de acordo coa Memoria de Verificación do Título de Grao en Matemáticas, a cualificación final de cada estudante “non poderá ser inferior á cualificación da avaliación final nin á media ponderada da avaliación final coa avaliación continua”. Por este motivo, a cualificación final (CF) calcularase empregando a cualificación da avaliación continua (AC) e a cualificación da avaliación final (AF) do seguinte xeito: CF = máx{0,3·AC + 0,7·AF, AF}.
As probas de avaliación serán equivalentes en todos os grupos da materia, aínda que non necesariamente as mesmas.
Docencia teórica: 28 horas
Docencia interactiva laboratorio/aula informática: 28 horas
Titorización en grupo reducido: 2 horas
Traballo persoal do alumnado: 92 horas
Total: 150 horas
No curso dedícase moito tempo á resolución de exercicios. Obviamente, considérase un aspecto fundamental na aprendizaxe da materia. Isto non debe levar a pensar que a teoría ten menos importancia: ben ao contrario, a teoría é a pedra angular da formación. Neste sentido, as demostracións dos resultados non só axudan a comprendelos mellor, senón que permiten familiarizarse coas técnicas máis importantes da materia.
Enrique Macías Virgós
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Xeometría e Topoloxía
- Teléfono
- 881813153
- Correo electrónico
- quique.macias [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidade
Jose Manuel Carballes Vazquez
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Xeometría e Topoloxía
- Teléfono
- 881813146
- Correo electrónico
- xm.carballes [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidade
Fernando Alcalde Cuesta
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Xeometría e Topoloxía
- Teléfono
- 881813142
- Correo electrónico
- fernando.alcalde [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidade
Victor Sanmartin Lopez
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Xeometría e Topoloxía
- Correo electrónico
- victor.sanmartin [at] usc.es
- Categoría
- PROFESOR/A PERMANENTE LABORAL
| Martes | |||
|---|---|---|---|
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán | Aula 02 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_02 | Castelán | Aula 03 |
| Xoves | |||
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_05 | Castelán | Aula 05 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán | Aula 02 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_06 | Castelán | Aula 08 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_04 | Castelán | Aula 01 |
| Venres | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_06 | Castelán | Aula 05 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_02 | Castelán | Aula 07 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_05 | Castelán | Aula 05 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_03 | Galego | Aula 09 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_04 | Castelán | Aula 05 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_01 | Castelán | Aula 08 |
| 21.05.2026 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 08.07.2026 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |