Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Trabajo del Alumno/a ECTS: 99 Horas de Tutorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Grado RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Geometría y Topología
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Primer semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable
Los objetos básicos de la Geometría Diferencial moderna son las variedades diferenciables; estas son espacios que se comportan localmente como los espacios euclidianos y poseen una estructura adicional que permite desarrollar en ellas los conceptos elementales del cálculo.
En esta materia se expondrán las nociones básicas de la teoría de las variedades diferenciables, y se conocerán los fundamentos, métodos y fines de la Geometría Diferencial en el contexto de las variedades. Se introducirán las nociones de variedad y subvariedad, destacando el punto de vista global y, por otra parte, se aprenderá a trabajar con coordenadas, se considerarán los campos de vectores y las formas diferenciales en variedades, se definirá la diferencial exterior de formas diferenciales y se estudiará el cálculo integral de formas en variedades diferenciables, probando una versión general del teorema de Stokes y mostrando algunas aplicaciones y casos particulares clásicos como el teorema de Green, el teorema de la divergencia de Gauss y el teorema de Stokes del cálculo.
Los principales objetivos son:
• Comprender los conceptos básicos de la geometría diferencial en el contexto general de las variedades diferenciables.
• Trasladar a las variedades las destrezas adquiridas en el cálculo diferencial, exterior e integral de los modelos locales, los espacios euclidianos.
• Reconocer la teoría de variedades como una generalización de la teoría de curvas y superficies así como del cálculo diferencial e integral en espacios euclidianos.
• Apreciar el poder de la generalización y la abstracción en el desarrollo de las teorías matemáticas.
1. Variedades diferenciables. Aplicaciones diferenciables entre variedades. (8 horas expositivas)
2. El espacio vectorial tangente. Aplicación lineal tangente. (5 horas expositivas)
3. Subvariedades regulares. (4 horas expositivas)
4. Campos de vectores sobre una variedad diferenciable. Curvas integrales. (4 horas expositivas)
5. Formas diferenciales. La diferencial exterior. (5 horas expositivas)
6. Orientaciones en las variedades diferenciables. (5 horas expositivas)
7. Integración de formas en variedades. Teorema de Stokes. (8 horas expositivas)
Bibliografía básica
LEE, John M., Introduction to Smooth Manifolds, Springer, Berlin, 2003, 2013.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-9982-5
TU, Loring W., An Introduction to Manifolds, Springer, New York, 2008, 2011.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-7400-6
WARNER, Frank W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, Berlin, 1983.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-1799-0
Bibliografía complementaria
BERGER, M.; GOSTIAUX, B., Differential Geometry: Manifolds, Curves, and Surfaces. Springer, Berlin, 1988.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-1033-7
BRICKELL, F.; CLARK, R.S., Differentiable Manifolds. Van Nostrand, London, 1970.
BOOTHBY, W.M., An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. Academic Press, New York, 1986.
CONLON, L., Differentiable Manifolds. A first Course. Birkhäuser, Boston, 2001.
GAMBOA, J.M; RUIZ, J.M., Introducción al estudio de las Variedades Diferenciables. Editorial Sanz y Torres, 2016.
LEE, Jeffrey M., Manifolds and Differential Geometry, American Mathematical Society, Providence, RI, 2009.
Primer capítulo disponible en https://bookstore.ams.org/gsm-107/16
MATSUSHIMA, Y., Differentiable Manifolds. Marcel Dekker, New York, 1972.
Además de las competencias básicas, generales y transversales del Grado de Matemáticas, se trabajarán las siguientes competencias ESPECÍFICAS del grado:
CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático.
CE2 - Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
CE3 - Idear demostraciones de resultados matemáticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o negarlas.
CE4 - Identificar errores en razonamientos incorrectos proponiendo demostraciones o contraejemplos.
CE5 - Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, relacionarlo con otros ya conocidos, y ser capaz de utilizarlo en diferentes contextos.
CE6 - Saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales o circunstanciales.
Para presentar los aspectos más destacados de la materia habrá una explicación teórica por parte del profesor, que se complementará, a veces en la misma sesión, con el planteamiento de cuestiones y problemas. Se tratarán los problemas especialmente en las clases de laboratorio.
Habrá un curso virtual en el cual se incluirá un esquema detallado de cada uno de los 7 temas indicados en los contenidos do curso. Periódicamente, también se entregarán a los alumnos boletines de ejercicios a través del curso virtual.
La docencia expositiva y la interactiva serán de carácter presencial. Las tutorías pueden ser presenciales o realizarse de modo virtual. La comunicación cos alumnos, además de presencial, también se podrá hacer a través de los foros del curso virtual y del correo electrónico.
Habrá dos pruebas de evaluación continua. En los tres escenarios habrá también un examen final síncrono. La calificación final se obtendrá, en cualquiera de los escenarios previstos en este curso, por la siguiente fórmula, en la que AC indica la calificación de la evaluación continua y EF la del examen final:
máx{ (2/3) AC + (1/3) EF, EF }.
La evaluación continua consistirá en la realización de dos pruebas presenciales en las que cada estudiante deberá resolver los ejercicios que se le indiquen. El examen final tendrá carácter presencial y contendrá preguntas de teoría, cuestiones teórico-prácticas y ejercicios.
Independientemente de la calificación obtenida en la evaluación continua, en el caso de que no se presente al examen final el alumno tendrá la calificación final de ''No presentado''. La fórmula anterior se aplicará también en el caso de que el alumno se presente al examen final en la segunda oportunidad del mismo curso académico.
Además de las competencias específicas, se evaluarán las competencias generales CG1 (Conocer los conceptos, métodos y resultados más importantes), CG3 (Aplicar tanto los conocimientos teóricos-prácticos adquiridos como la capacidad de análisis y de abstracción en la definición y planteamiento de problemas y en la búsqueda de sus soluciones) y CG4 (Comunicar conocimientos, procedimientos, resultados e ideas).
Clases expositivas: 42 horas
Clases interactivas: 14 horas
Tutorías en grupos muy reducidos: 2 horas
Actividades de evaluación: 4 horas
Tiempo de trabajo personal no presencial: 88 horas
Total: 150 horas
Dado su carácter formativo, además de su valor para la calificación final, se recomienda la participación en las actividades de evaluación continua en cualquiera de los escenarios.
Se deben tener conocimientos de topología general y de diferenciación e integración de funciones de varias variables reales.
Plan de contingencia.-
• Metodología de la enseñanza
Escenario 2: distanciamiento.
Habrá docencia presencial y virtual de acuerdo con la fórmula de convivencia de ambas modalidades que defina la Facultad de Matemáticas. La docencia virtual síncrona tendrá lugar a través de la plataforma Microsoft Teams y la docencia asíncrona a través del Campus Virtual. La comunicación con los alumnos, además de presencial, se podrá realizar a través de los foros del curso virtual y del correo electrónico.
Escenario 3: cierre de las instalaciones.
La docencia será completamente virtual. Habrá docencia síncrona por medio de la plataforma Microsoft Teams y docencia asíncrona, mediante material que complemente la docencia síncrona, a través del Campus Virtual. La comunicación con los alumnos tendrá lugar a través de los foros del curso virtual y del correo electrónico.
• Sistema de evaluación
Escenario 2: distanciamiento.
La evaluación continua consistirá en la realización de dos pruebas (presenciales si es posible o bien telemáticas de modo síncrono a través del campus virtual). En cuanto a la prueba final, si es presencial contendrá preguntas de teoría, cuestiones teórico-prácticas y ejercicios, y si es telemática tendrá carácter síncrono y contendrá cuestiones teórico-prácticas y ejercicios.
Escenario 3: cierre de las instalaciones.
La evaluación continua consistirá en la realización de dos pruebas telemáticas síncronas a través del curso virtual. La prueba final será telemática y síncrona y contendrá cuestiones teórico-prácticas y ejercicios.
Para el caso de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la "Normativa de evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y revisión de calificaciones".
Jose Antonio Oubiña Galiñanes
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Geometría y Topología
- Teléfono
- 881813141
- Correo electrónico
- ja.oubina [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidad
Alberto Rodriguez Vazquez
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Geometría y Topología
- Correo electrónico
- a.rodriguez [at] usc.es
- Categoría
- Predoutoral Ministerio
| Lunes | |||
|---|---|---|---|
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_03 | Gallego, Castellano | Aula 08 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_02 | Castellano, Gallego | Aula 08 |
| Martes | |||
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_01 | Gallego, Castellano | Aula 08 |
| Miércoles | |||
| 12:00-13:00 | Grupo /CLE_01 | Castellano | Aula 03 |
| Jueves | |||
| 12:00-13:00 | Grupo /CLE_01 | Castellano | Aula 02 |
| Viernes | |||
| 12:00-13:00 | Grupo /CLE_01 | Castellano | Aula 03 |
| 18.01.2022 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 02 |
| 30.06.2022 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |