Créditos ECTS Créditos ECTS: 3
Horas ECTS Criterios/Memorias Trabajo del Alumno/a ECTS: 51 Horas de Tutorías: 3 Clase Expositiva: 9 Clase Interactiva: 12 Total: 75
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Máster RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Geometría y Topología
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Segundo semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
Se trata de un curso de introducción a los métodos cohomológicos en teoría de variedades diferenciables.
Se pretende que el estudiante profundice en el uso de los métodos algebraicos en geometría y topología, aplicándolos a problemas concretos para apreciar su potencia y sofisticación y para adquirir cierta capacidad de cálculo con estas herramientas.
Los conocimientos que aporta permiten aproximarse a varias líneas de investigación que se desarrollan en las Áreas de Geometría y Topología, y de Álgebra. El curso puede ser también de interés para aplicaciones en Física teórica.
1. Cohomología de De Rham (2 horas expositivas)
1.1. Complejos de cocadenas y cohomología.
1.2. Formas diferenciaies.
1.3. Cohomología de De Rham de una variedad diferenciable.
1.4. Cohomología de De Rham con soporte compacto.
1.5 Orientación. Integración en variedades. Teorema de Stokes.
1.6. Homotopía. Lema de Poincaré.
2. Métodos de cálculo (2 horas expositivas)
2.1. Sucesión de Mayer-Vietoris.
2.2. Cálculo en ejemplos.
2.3. Dimensión finita.
2.4. Dualidad de Poincaré.
2.5. Fórmula de Künneth y teorema de Leray-Hirsch.
2.6. Isomorfismo de Thom.
3. Aplicaciones geométrica (2 horas expositivas)
3.1. Grado de una aplicación.
3.2. Característica de Euler.
3.3. Teorema de Hopf.
3.4. Fórmula de Leftschetz.
4. Clases características (3 horas expositivas)
4.1. Fibrados por esferas y vectoriales.
4.2. Doble complejo de Cech-de Rham.
4.3. Clase de Euler de un fibrado en esferas.
4.4. Clases de Chern de fibradoos vectoriaies complejos.
4.5. Principio de escisión y variedades de banderas.
4.6. Clases de Pontrjagin de fibrados vectoriales reaies.
4.7. Grasmannianas y clasificación de fibrados vectoriaies
Básica.
Bott, Raoul, Tu; Loring W. Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York - Heidelberg - Berlin, 1982.
Complementaria.
Davis, James F.; Kirk, Paul. Lecture notes in algebraic topology. Graduate Studies in Mathematics. 35. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.
Dodson, C.T.J.; Parker, Phillip E. A user's guide to algebraic topology. Mathematics and its Applications 387. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1997.
Hatcher, Allen. Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
Karoubi, M.; Leruste, C. Algebraic topology via differential geometry. London Mathematical Society Lecture Note Series, 99. Cambridge University Press, Cambridge, 1987.
Madsen, Ib; Tornehave, Jørgen. From calculus to cohomology: de Rham cohomology and characteristic classes.
Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
Tu, Loring W. Differential geometry. Connections, curvature, and characteristic classes. Graduate Texts in Mathematics, 275. Springer, Cham, 2017.
Tu, Loring W. An introduction to manifolds. Second edition. Universitext. Springer, New York, 2011.
3.1 COMPETENCIAS BÁSICAS E XERAIS
XERAIS
CG01 - Presentar na investigación os alumnos, como parte integrante dunha formación profunda, preparándoos
a posible posterior realización dunha tese doutoral.
CG02 - Adquisición de ferramentas matemáticas de alto nivel para diversas aplicacións que cobren as expectativas dos titulados
en matemáticas e outras ciencias básicas.
CG03 - Coñecer o amplo panorama das matemáticas actuais, tanto nas súas liñas de investigación como nas metodoloxías e recursos
e problemas que aborda en varias áreas.
CG04 - Adestrar para a análise, formulación e resolución de problemas en ambientes novos ou descoñecidos, dentro de contextos
máis amplo.
CG05 - Preparar para la toma de decisiones a partir de consideraciones abstractas, para organizar y planificar y para resolver cuestiones complejas.
BÁSICAS
CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
CB7 - Que os alumnos apliquen os coñecementos adquiridos e a súa capacidade para resolver problemas en ambientes
novo ou pouco coñecido en contextos máis amplos (ou multidisciplinares) relacionados coa súa área de estudo.
CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.
CB9 - Que os alumnos saiban comunicar as súas conclusións e o coñecemento e os motivos finais que os sustentan ao público
especializado e non especializado de xeito claro e sen ambigüidades.
CB10 - Que os estudantes teñan as habilidades de aprendizaxe que lles permitan seguir estudando dun xeito que sexa
ser en gran parte auto-dirixido ou autónomo.
3.2 COMPETENCIAS TRANSVERSAIS
CT01 - Utilizar ferramentas de investigación e bibliografía para recursos bibliográficos xerais e específicos de Matemáticas.
incluído o acceso a Internet.
CT02: xestionar de xeito óptimo o tempo de traballo e organizar os recursos dispoñibles, establecer prioridades, rutas
alternativas e identificación de erros lóxicos na toma de decisións.
CT03 - Potenciar a capacidade de traballo en ambientes cooperativos e multidisciplinares.
3.3 COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
CE01 - Adestrar para o estudo e a investigación en teorías matemáticas no desenvolvemento.
CE02 - Aplicar as ferramentas da matemática en diversos campos da ciencia, a tecnoloxía e as ciencias sociais.
CE03 - Desenvolver as habilidades necesarias para a transmisión de matemáticas, orais e escritas, tanto en relación co
corrección formal, como en termos de eficacia comunicativa, facendo fincapé no uso das TIC axeitadas.
El desenvolvimiento de la materia consistirá en exposiciones de las línas generales, los resultados principales de la materia, y las ideas principales de las demostraciones. Se incentivá el trabajo personal de los alumnos y su participación en la clase. Los estudiantes irán resolviendo problemas, y tendrán que exponer ellos mismos alguno de los temas, entregando las notas que preparen para exponerlo.
Cada alumno deberá resolver los problemas propuestos y realizar una exposición de alguna parte del temario. La evaluación tendrá en cuenta la participación activa en las clases, la resolución de problemas, y, sobre todo, la presentación que hagan de algún tema, así como las notas que preparen para presentarlo. En este escenario, la calificación final será la suma del 30%
de la calificación de evaluación continua y el 70% de la calificación de la exposición y el trabajo presentado.
En la segunda oportunidad, se mantendrán las mismas condiciones de
evaluación y la nota de la evaluación continua de la primera oportunidad.
Para casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas, las disposiciones de la
Regulaciones para evaluar el rendimiento académico de los estudiantes y revisar las calificaciones.
TRABAJO PRESENCIAL EN EL AULA (Horas)
Clases de pizarra 21 (9 horas expositivas y 12 horas de laboratorio)
Clases con ordenador/laboratorio
Tutorías en grupo 3
Total horas trabajo presencial en el aula 24
TRABAJO PERSONAL DEL ALUMNO/A (Horas)
Estudio autónomo individual o en grupo 33
Escritura de ejercicios, conclusiones u otros trabajos 15
Programación/experimentación u otros trabajos en ordenador/laboratorio 3
Total horas trabajo personal del alumno 51
El tema central es la cohomología de De Rham y sus aplicaciones geométricas, lo que supone un conocimiento elemental de la teoría de variedades diferenciables (Geometría y topología de variedades, máster, primer cuatrimestre).
Es recomendable, aunque no imprescindible, haber cursado Topología algebraica (grado).
Plan de contingencia
Si, en alguno de los escenarios posibles, existen restriciones de la presencialidad determinadas por la Facultad, se impartirán de forma virtual las clases que no se puedan impartir presencialmente. Se hará a través de los medios institucionales (Campus virtual, Teams, Correo electrónico), preferentemente de forma síncrona. En esa situación, la evaluación continua y la presentación de un trabajo podrán ser virtuales, a través de los medios anteriores. En el caso de que la presentación de un trabajo sea virtual, la nota final será la suma del 50% de la nota de la evaluación continua con el 50% de la nota de la presentación del trabajo.
Jesús Antonio Álvarez López
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Geometría y Topología
- Teléfono
- 881813149
- Correo electrónico
- jesus.alvarez [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidad
| Lunes | |||
|---|---|---|---|
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Gallego | Aula 10 |
| Martes | |||
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_01 | Gallego | Aula 10 |