Créditos ECTS Créditos ECTS: 3
Horas ECTS Criterios/Memorias Traballo do Alumno/a ECTS: 51 Horas de Titorías: 3 Clase Expositiva: 9 Clase Interactiva: 12 Total: 75
Linguas de uso Castelán, Galego
Tipo: Materia Ordinaria Máster RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Xeometría e Topoloxía
Centro Facultade de Matemáticas
Convocatoria: Segundo semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
Trátase dun curso de introdución aos métodos cohomolóxicos en teoría de variedades diferenciables.
Preténdese que o estudante profundice no uso dos métodos alxébricos en xeometría e topoloxía, aplicándoos a problemas concretos para apreciar a súa potencia e sofisticación e para adquirir certa capacidade de cálculo con estas ferramentas.
Os coñecementos que achega permiten aproximarse a varias liñas de investigación que se desenvolven nas Áreas de Xeometría e Topoloxía e de Álxebra. O curso pode ser tamén de interese para aplicacións en Física teórica.
1. Cohomoloxía de De Rham (2 horas expositivas)
1.1. Complexos de cocadeas e cohomoloxía.
1.2. Formas diferenciais.
1.3. Cohomoloxía de De Rham dunha variedade diferenciable.
1.4. Cohomoloxía de De Rham con soporte compacto.
1.5. Orientación. Integración en variedades. Teorema de Stokes.
1.6. Homotopía. Lema de Poincaré.
2. Métodos de cálculo (2 horas expositivas)
2.1. Sucesión de Mayer-Vietoris.
2.2. Cálculo en exemplos.
2.3. Dimensión finita.
2.4. Dualidade de Poincaré.
2.5. Fórmula de Künneth e teorema de Leray-Hirsch.
2.6. Isomorfismo de Thom.
3. Aplicacións xeométricas (2 horas expositiva)
3.1. Grao dunha aplicación.
3.2. Característica de Euler.
3.3. Teorema de Hopf.
3.4. Fórmula de Leftschetz.
4. Clases características (3 horas expositivas)
4.1. Fibrados por esferas e vectoriais.
4.2. Doble complexo de Cech-de Rham.
4.3. Clase de Euler dun fibrado en esferas.
4.4. Clases de Chern de fibradoos vectoriais complexos.
4.5. Principio de escisión e variedades de bandeiras.
4.6. Clases de Pontrjagin de fibrados vectoriais reais.
4.7. Grasmannianas e clasificación de fibrados vectoriais
Básica.
Bott, Raoul, Tu; Loring W. Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York - Heidelberg - Berlin, 1982.
Complementaria.
Davis, James F.; Kirk, Paul. Lecture notes in algebraic topology. Graduate Studies in Mathematics. 35. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.
Dodson, C.T.J.; Parker, Phillip E. A user's guide to algebraic topology. Mathematics and its Applications 387. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1997.
Hatcher, Allen. Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
Karoubi, M.; Leruste, C. Algebraic topology via differential geometry. London Mathematical Society Lecture Note Series, 99. Cambridge University Press, Cambridge, 1987.
Madsen, Ib; Tornehave, Jørgen. From calculus to cohomology: de Rham cohomology and characteristic classes.
Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
Tu, Loring W. Differential geometry. Connections, curvature, and characteristic classes. Graduate Texts in Mathematics, 275. Springer, Cham, 2017.
Tu, Loring W. An introduction to manifolds. Second edition. Universitext. Springer, New York, 2011.
3.1 COMPETENCIAS BÁSICAS E XENERAIS
XERAIS
CG01 - Introducir na investigación aos e as estudantes, como parte integrante dunha formación profunda, preparándoos para a eventual realización posterior dunha tese doutoral.
CG02 - Adquisición de ferramentas matemáticas de alto nivel para diversas aplicacións cubrindo as expectativas de graduados en matemáticas e outras ciencias básicas.
CG03 - Coñecer o amplo panorama da matemática actual, tanto nas súas liñas de investigación, como en metodoloxías, recursos e problemas que aborda en diversos ámbitos.
CG04 - Capacitar para a análise, formulación e resolución de problemas en contornas novas ou pouco coñecidos, dentro de contextos máis amplos.
CG05 - Preparar para a toma de decisións a partir de consideracións abstractas, para organizar e planificar e para resolver cuestións complexas.
BÁSICAS
CB6 - Posuír e comprender coñecementos que acheguen unha base ou oportunidade de ser orixinais no desenvolvemento e/ou aplicación de ideas, a miúdo nun contexto de investigación.
CB7 - Que os estudantes saiban aplicar os coñecementos adquiridos e a súa capacidade de resolución de problemas en contornas novas ou pouco coñecidos dentro de contextos máis amplos (ou multidisciplinares) relacionados coa súa área de estudo.
CB8 - Que os estudantes sexan capaces de integrar coñecementos e enfrontarse á complexidade de formular xuízos a partir dunha información que, sendo incompleta ou limitada, inclúa reflexións sobre as responsabilidades sociais e éticas vinculadas á aplicación dos seus coñecementos e xuízos.
CB9 - Que os estudantes saiban comunicar as súas conclusións e os coñecementos e razóns últimas que as sustentan a públicos especializados e non especializados dun modo claro e sen ambigüidades.
CB10 - Que os estudantes posúan as habilidades de aprendizaxe que lles permitan continuar estudando dun modo que haberá de ser en gran medida autodirixido ou autónomo.
3.2 COMPETENCIAS TRANSVERSAIS
CT01 - Utilizar bibliografía e ferramentas de procura de recursos bibliográficos xenerais e específicos de Matemáticas, incluíndo o acceso por Internet.
CT02 - Xestionar de forma óptima o tempo de traballo e organizar os recursos dispoñibles, establecendo prioridades, camiños alternativos e identificando erros lóxicos na toma de decisións.
CT03 - Potenciar a capacidade para o traballo en contornas cooperativas e pluridisciplinarios.
3.3 COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
CE01 - Capacitar para o estudo e a investigación en teorías matemáticas en desenvolvemento.
CE02 - Aplicar as ferramentas da matemática en diversos campos da ciencia, a tecnoloxía e as ciencias sociais.
CE03 - Desenvolver as habilidades necesarias para a transmisión da matemática, oral e escrita, tanto no que respecta á corrección formal, como en canto á eficacia comunicativa, salientando o uso das TIC apropiadas.
Escenario 1.
O desenvolvemento da materia consistirá en exposicións das liñas xerais os resultados
principais da materia, e as ideas principais das demostracións. Incentivarase o traballo persoal
dos alumnos e a súa participación na clase. Os estudantes irán resolvendo problemas, e terán
que expoñer eles mesmos algún dos temas, entregando as notas que preparen para expoñelo.
Escenario 2.
Dependendo do tipo de restricións da presencialidade que determine a Facultade e sempre
que a USC proporcione os medios necesarios para elo, impartiranse de xeito virtual as
clases que non se podan impartir presencialmente. Farase a través dos medios
institucionais (Campus virtual, Teams, Correo electrónico), preferentemente de forma
síncrona, aínda que suxeitos ó que determine a Facultade.
Escenario 3.
Se a USC proporciona os medios necesarios para elo impartiranse de xeito virtual as clases
do escenario 1 a través dos medios institucionais (Campus virtual, Teams, Correo
electrónico), preferentemente de forma síncrona, aínda que suxeitos ó que determine a
Facultade.
Sistema
Cada alumno deberá resolver os problemas propostos (avaliación continua) e realizar unha
exposición dalgunha parte do temario. A avaliación terá en conta a participación activa nas
clases, a resolución de problemas, e, sobre todo, a presentación que fagan dalgún tema así
como as notas que preparen para presentalo. Este escenario, a nota final será a suma do 30%
da nota de avaliación continua e o 70 % da nota da exposición e trabajo presentado.
Na segunda oportunidade manteranse as mesmas condicións de avaliación e a nota da
avaliación continua da primeira oportunidade.
Para os casos de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recollido na
Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións.
TRABALLO PRESENCIAL NO AULA Horas
Clases de pizarra 21 (9 expositivas e 12 de seminario)
Clases con ordenador/laboratorio
Titorías en grupo 3
Total horas traballo presencial no aula 24
TRABALLO PERSOAL DO ALUMNO Horas
Estudo autónomo individual ou en grupo 33
Escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos 15
Programación/experimentación ou outros traballos en ordenador/laboratorio 3
Total horas traballo persoal do alumno 51
O tema central é a cohomoloxía de De Rham e as súas aplicacións xeométricas, o que supón un coñecemento elemental da teoría de variedades diferenciables (Xeometría e topoloxía de variedades, máster, primeiro cuadrimestre).
É recomendable, aínda que non imprescindible, ter cursado Topoloxía alxébrica (grao).
Plan de Continxencia
Se, nalgún dos escenarios posibles, existen restricións da presencialidade determinadas pola Facultade, impartiranse de xeito virtual as clases que non se podan impartir presencialmente. Farase a través dos medios institucionais (Campus virtual, Teams, Correo electrónico), preferentemente de forma síncrona. Nesa situación a avaliación continua e/ou a presentación dun traballo poderán ser virtuais a través dos medios anteriores. No caso de que a presentación dun traballo sexa virtual, a nota final será a suma do 50% da nota da avaliación continua co 50% da nota da presentación dun traballo.
Jesús Antonio Álvarez López
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Xeometría e Topoloxía
- Teléfono
- 881813149
- Correo electrónico
- jesus.alvarez [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidade
| Luns | |||
|---|---|---|---|
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Galego | Aula 10 |
| Martes | |||
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_01 | Galego | Aula 10 |