Créditos ECTS Créditos ECTS: 3
Horas ECTS Criterios/Memorias Trabajo del Alumno/a ECTS: 51 Horas de Tutorías: 3 Clase Expositiva: 9 Clase Interactiva: 12 Total: 75
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Máster RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Geometría y Topología
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Primer semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
- Presentar al alumno los fundamentos de la geometría riemanniana como una generalización natural del estudio de las superficies en el espacio euclidiano. Haremos especial hincapié en la distinción existente entre los aspectos locales y globales de la teoría, con especial atención a la conexión con los aspectos topológicos y analíticos.
- Introducir al alumno al estudio de la geometría de Lorentz, de especial interés físico en la formulación matemática de la teoría de la relatividad. Especialmente relevantes serán los aspectos diferenciales entre las teorías riemanniana y lorentziana.
- Hacer que el alumno se concentre más en métodos que en contenidos específicos y adquiera un grado de madurez científica que le permita enfrentar la pose y la resolución de diferentes problemas, lo que despierta su capacidad para aplicar teorías generales a situaciones específicas, sintetizando resultados parcial y deduciendo más globales.
1 geometría local de Riemann
1.1. Métrica de Riemann: función de distancia.
1.2. Conexión Levi-Civita.
1.3. Geodésica y distancia.
1.4. Curvatura: curvatura seccional, Ricci y escalar.
1.5. Campos de Jacobi: puntos conjugados.
1.6. Determinación de la métrica a partir de la curvatura: teorema de Cartan.
2 Geometría global de Riemann
2.1. Completitud: teorema de Hopf-Rinow.
2.2. Versión global del teorema de Cartan.
2.3. Variedades completas de curvatura positiva: teorema de Myers.
2.4. Variedades completas de curvatura negativa: teorema de Hadamard.
2.5. Comparación de resultados y aplicaciones.
3 geometría de Lorentz y semi-riemanniana
3.1. Métricas semi-riemannianas: problema de existencia.
3.2. Propiedades locales: curvatura y planos degenerados.
3.3. Integridad geodésica de las métricas lorentzianas
3.4. Aplicaciones físicas: espacio-tiempo relativista.
Bibliografía básica.
- J. M. LEE, geometría riemanniana, una introducción a la curvatura, Textos graduados en matemáticas, 176. Springer-Verlag, Nueva York, 1997.
- M. P. DO CARMO, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, IMPA, Río de Janeiro, 1979.
Bibliografía complementaria
- J. K. BEEM, P. E. EHRLICH, K. L. EASLEY, geometría global de Lorentz, monografías y libros de texto en Pur. Appl. Matemáticas. 202, Marcel Dekker, Inc., Nueva York, 1996.
- W. M. BOOTHBY, Una introducción a las variedades diferenciables y la geometría riemanniana. Aplicación pura Math., 120. Academic Press, Florida, 1986.
- I. CHAVEL, geometría riemanniana, una introducción moderna, Cambridge Tracts in Mathematics, 108. Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
- B. O'NEILL, Geometría semi-riemanniana con aplicaciones a la relatividad, Pure Appl. Math., 103. Academic Press, Nueva York-Londres, 1983.
- R. K. SACHS, H. WU, Relatividad general para matemáticos, Textos de posgrado en matemáticas. 48, Springer-Verlag, Nueva York, 1977.
- T. SAKAI, geometría riemanniana, Transactions of Mathematical Monographs 149, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.
- Calcular los objetos geométricos de una variedad de Riemann tales como la métrica, la conexión de Levi-Civita o el tensor de curvatura.
- Determinar las propiedades de las geodésicas, tales como la posibilidad de minimizar la distancia y su relación con la completitud de la variedad.
- Aplicar los teoremas de geometría de Riemann globales para deducir propiedades geométricas y topológicas de la variedad.
- Aplicar la geometría riemanniana y sus generalizaciones para la resolución de problemas en la teoría de la relatividad general.
La asignatura se desarrollará alternativamente a través de clases teóricas y clases prácticas que fomenten la participación del alumno. Habrá presentaciones semanales para que el alumno pueda profundizar en el desarrollo teórico y práctico de los temas. Por lo tanto, además de las presentaciones del profesor sobre los diferentes temas del programa, el alumno tendrá que desarrollar algunas de las lecciones a lo largo del curso.
Además, se darán hojas de trabajo a los estudiantes regularmente. Algunos serán propuestos para su presentación al final del curso; El resto se resolverá en la pizarra bajo la supervisión del profesor. También se animará a los estudiantes a asistir a los diversos seminarios que se pueden realizar a lo largo del curso sobre temas de investigación relacionados con los contenidos del programa.
En todos los escenarios planeados habrá un curso virtual, donde se detallan diferentes aspectos del tema.
Escenario 1: normalidad adaptada La enseñanza expositiva e interactiva será de carácter cara a cara. Los tutoriales pueden ser presenciales o realizados virtualmente. La comunicación con los estudiantes, además de cara a cara, también se puede hacer a través de los foros del curso virtual y el correo electrónico.
Escenario 2: distanciamiento Habrá una enseñanza presencial y virtual de acuerdo con la fórmula de coexistencia de ambas modalidades definidas por la Universidad de Santiago de Compostela. La enseñanza virtual síncrona se realizará a través de la plataforma Microsoft Teams y la enseñanza asíncrona a través del Campus Virtual. Además de hacerlo en persona, la comunicación con los estudiantes se puede hacer a través de los foros virtuales del curso y por correo electrónico.
Escenario 3: cierre de las instalaciones La enseñanza será completamente virtual. Habrá enseñanza sincrónica a través de la plataforma Microsof Teams y enseñanza asincrónica a través de material que complementa la enseñanza sincrónica a través del Campus Virtual. La comunicación con los estudiantes se realizará a través de los foros del curso virtual y el correo electrónico.
Los estudiantes tendrán que hacer exposiciones de algunas partes del programa y entregarán diversos ejercicios. La evaluación puede completarse mediante un examen escrito, además de considerar la participación activa en las clases y la realización de los ejercicios propuestos.
Además de evaluar las competencias correspondientes a la asignatura, la presentación de los trabajos tiene como objetivo evaluar la adquisición de las competencias de la titulación, con especial énfasis en la creatividad, el trabajo en equipo y la transmisión de ideas.
Escenario 1: normalidad adaptada La evaluación continua consistirá en la realización de pruebas que tendrán lugar en el horario de clases en el que cada alumno deberá resolver los ejercicios que le indiquen. El examen final tendrá una parte teórica, que puede cubrir la definición de conceptos, declaración de resultados o prueba total o parcial de ellos. La otra parte consistirá en resolver ejercicios, que serán similares a los propuestos a lo largo del curso.
Escenario 2: distanciamiento La evaluación continua consistirá en realizar pruebas telemáticas sincrónicamente con la herramienta de curso virtual. La prueba final, si es cara a cara, tendrá una parte de teoría y otra parte que consistirá en realizar ejercicios. Si es telemático, la prueba final será sincrónica y contendrá preguntas y ejercicios teórico-prácticos.
Escenario 3: cierre de las instalaciones La evaluación continua consistirá en la realización, de forma sincrónica, de pruebas telemáticas con la herramienta del curso virtual. La prueba final será telemática y sincrónica y contendrá preguntas y ejercicios teórico-prácticos.
En el caso de rendimiento fraudulento de ejercicios o pruebas, se aplicarán las disposiciones del Reglamento para la evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y la revisión de calificaciones:
Artículo 16. Realización fraudulenta de ejercicios o pruebas: La realización fraudulenta de cualquier ejercicio o prueba requerida en la evaluación de un sujeto implicará la calificación de reprobar en la llamada correspondiente, independientemente del proceso disciplinario que pueda seguirse contra el estudiante infractor. Ser considerado fraudulento, entre otros, para realizar trabajos plagiados u obtenidos de fuentes accesibles al público sin reelaboración o reinterpretación y sin citas a los autores y las fuentes.
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De acuerdo con las "Directrices para el desarrollo de la enseñanza presencial segura, Curso 22020-2021" de la Universidad de Santiago de Compostela, se incluyen las adaptaciones correspondientes a las secciones de metodología de enseñanza y sistema de evaluación previstas para los escenarios 2 y 3:
Plan de contingencia
Metodología de enseñanza
Escenario 2: distanciamiento Habrá una enseñanza presencial y virtual de acuerdo con la fórmula de coexistencia de ambas modalidades definidas por la Universidad de Santiago de Compostela. La enseñanza virtual síncrona se realizará a través de la plataforma Microsoft Teams y la enseñanza asíncrona a través del Campus Virtual. Además de hacerlo en persona, la comunicación con los estudiantes se puede hacer a través de los foros virtuales del curso y por correo electrónico.
Escenario 3: cierre de las instalaciones La enseñanza será completamente virtual. Habrá enseñanza sincrónica a través de la plataforma Microsof Teams y enseñanza asincrónica a través de material que complementa la enseñanza sincrónica a través del Campus Virtual. La comunicación con los estudiantes se realizará a través de los foros del curso virtual y el correo electrónico.
Sistema de evaluación
En los tres escenarios planeados como sea posible en este curso, la calificación final se obtendrá de la evaluación continua, basada principalmente en las presentaciones que los estudiantes deben hacer de algunas partes del programa de estudios. La evaluación puede completarse mediante un examen escrito, además de considerar la participación activa en las clases y la realización de los ejercicios propuestos.
La calificación obtenida en la evaluación continua se aplicará en las dos oportunidades de un mismo curso académico. Si el alumno no se presenta al examen final (en caso de ser obligatorio) en ninguna de las dos oportunidades tendrá la calificación de "No presentado", aunque haya participado en la evaluación continua.
Escenario 2: distanciamiento La evaluación continua consistirá en realizar, de forma sincrónica, pruebas telemáticas con la herramienta Moodle en el curso virtual. La prueba final, si es cara a cara, tendrá una parte de teoría y otra parte que consistirá en realizar ejercicios. Si es telemático, la prueba final será sincrónica y contendrá preguntas y ejercicios teórico-prácticos.
Escenario 3: cierre de las instalaciones La evaluación continua consistirá en la realización, de forma sincrónica de pruebas telemáticas con la herramienta del curso virtual. La prueba final será telemática y sincrónica y contendrá preguntas y ejercicios teórico-prácticos.
En el caso de rendimiento fraudulento de ejercicios o pruebas, se aplicarán las disposiciones del Reglamento para la evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y la revisión de calificaciones:
Artículo 16. Realización fraudulenta de ejercicios o pruebas: La realización fraudulenta de cualquier ejercicio o prueba requerida en la evaluación de un sujeto implicará la calificación de reprobar en la llamada correspondiente, independientemente del proceso disciplinario que pueda seguirse contra el estudiante infractor. Ser considerado fraudulento, entre otros, para realizar trabajos plagiados u obtenidos de fuentes accesibles al público sin reelaboración o reinterpretación y sin citas a los autores y las fuentes.
Eduardo Garcia Rio
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Geometría y Topología
- Teléfono
- 881813211
- Correo electrónico
- eduardo.garcia.rio [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidad
| Jueves | |||
|---|---|---|---|
| 12:00-13:00 | Grupo /CLE_01 | Castellano | Aula 10 |
| Viernes | |||
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_01 | Castellano | Aula 10 |