Créditos ECTS Créditos ECTS: 3
Horas ECTS Criterios/Memorias Traballo do Alumno/a ECTS: 51 Horas de Titorías: 3 Clase Expositiva: 9 Clase Interactiva: 12 Total: 75
Linguas de uso Castelán, Galego
Tipo: Materia Ordinaria Máster RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Xeometría e Topoloxía
Centro Facultade de Matemáticas
Convocatoria: Primeiro semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
- Presentar ó alumno os fundamentos da xeometría riemanniana como xeneralización natural do estudo das superficies no espazo euclidiano. Faremos especial fincapé na distinción existente entre os aspectos locais e globais da teoría, con especial atención á conexión con aspectos topolóxicos e analíticos.
- Introducir o alumno no estudo da xeometría de Lorentz, de especial interese físico na formulación matemática da teoría da relatividade. Especialmente relevante serán os aspectos diferenciais entre as teorías riemanniana e lorentziana.
- Conseguir que o alumno se centre máis nos métodos que nos contidos concretos e que adquira un grao de madurez científica que lle permita enfrentarse ó plantexamento e resolución de diferentes problemas, despertando así a súa capacidade de aplicar as teorías xerais a situacións concretas, sintetizando resultados parciais e deducindo outros máis globais.
1 Xeometría de Riemann local
1.1. Métricas riemannianas: función distancia.
1.2. Conexión de Levi-Civita.
1.3. Xeodésicas e distancia.
1.4. Curvatura: curvatura seccional, de Ricci e escalar.
1.5. Campos de Jacobi: puntos conxugados.
1.6. Determinación da métrica a partir da curvatura: Teorema de Cartan.
2 Xeometría de Riemann global
2.1. Completitude: teorema de Hopf-Rinow.
2.2. Versión global do teorema de Cartan.
2.3. Variedades completas de curvatura positiva: teorema de Myers.
2.4. Variedades completas de curvatura negativa: teorema de Hadamard.
2.5. Resultados de comparación e aplicacións.
3 Xeometría de Lorentz e semi-Riemanniana
3.1. Métricas semi-riemannianas: problema de existencia.
3.2. Propiedades locais: curvatura e planos dexenerados
3.3. Completitude xeodésica de métricas Lorentzianas
3.4. Aplicacións físicas: espacio-tempos relativistas.
Bibliografía básica
- J. M. LEE, Riemannian geometry, an introduction to curvature, Graduate Texts in Mathematics, 176. Springer-Verlag, New York, 1997.
- M. P. DO CARMO, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1979.
Bibliografía complementaria
- J. K. BEEM, P. E. EHRLICH, K. L. EASLEY, Global Lorentzian geometry, Monographs and Textbooks in Pur. Appl. Math. 202, Marcel Dekker, Inc., New York, 1996.
- W. M. BOOTHBY, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure Appl. Math., 120. Academic Press, Florida, 1986.
- I. CHAVEL, Riemannian geometry, a modern introduction, Cambridge Tracts in Mathematics, 108. Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
- B. O'NEILL, Semi-Riemannian Geometry with applications to relativity, Pure Appl. Math., 103. Academic Press, New York-London, 1983.
- R. K. SACHS, H. WU, General Relativity for Mathematicians, Graduate Texts in Math. 48, Springer-Verlag, New York, 1977.
- T. SAKAI, Riemannian geometry, Transactions of Mathematical Monographs 149, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.
- Calcular os obxectos xeométricos dunha variedade de Riemann tales como a métrica, a conexión de Levi-Civita ou o tensor de curvatura.
- Determinar as propiedades das xeodésicas, tales como a posibilidade de minimizar a distancia e a súa relación coa completitude da variedade.
- Aplicar as teoremas de xeometría de Riemann globais para deducir propiedades xeométricas e topolóxicas da variedade.
- Aplicar a xeometría riemanniana a as súas xeneralizacións para a resolución de problemas na teoría da relatividade xeral.
A materia desenvolverase alternativamente a través de clases teóricas e clases prácticas fomentando a participación do alumno. Realizaranse exposicións semanais, de forma que o alumno poida profundizar no desenvolvemento tanto teórico como práctico dos temas. Así pois, ademais das exposicións por parte do profesor dos distintos temas do programa, o alumno terá que desenvolver algunas das leccións ó longo do curso.
Ademais, entregaranse follas de exercicios ós alumnos de forma periódica. Algúns serán propostos para que sexan presentados ó concluír o curso; o resto iranse resolvendo na pizarra baixo a supervisión do profesor. Tamén se incentivará a asistencia dos alumnos ós distintos seminarios que se poidan realizar ó longo do curso sobre temas de investigación que estean relacionados cos contidos do programa.
En tódolos escenarios previstos haberá un curso virtual, onde aparecen detallados distintos aspectos da materia.
Escenario 1: normalidade adaptada
A docencia expostiva e interactiva será de carácter presencial. As tutorías poden ser presenciais ou realizarse de xeito virtual. A comunicación cos alumnos, amais de presencial, tamén se poderá facer a través dos foros do curso virtual e do correo electrónico.
Escenario 2: distanciamento
Haberá docencia presencial e virtual de acordo coa fórmula de convivencia de ambas modalidades que defina a Universidade de Santiago de Compostela. A docencia virtual síncrona realizarase a través da plataforma Microsoft Teams e a docencia asíncrona a través do Campus Virtual. Amais de facela de xeito presencial, a comunicación cos alumnos poderá realizarse a través dos foros do curso virtual e do correo electrónico.
Escenario 3: peche das instalacións
A docencia será completamente virtual. Haberá docencia síncrona a través da plataforma Microsof Teams e docencia asíncrona mediante material que complemente a docenca síncrona a través do Campus Virtual. A comunicación cos alumnos realizarase a través dos foros do curso virtual e do correo electrónico.
Os alumnos deberán realizar exposicións de algunhas partes do temario e entregarán diversos exercicios. A avaliación poderase completar mediante un exame escrito, ademais de considerar a participación activa nas clases e a realización dos exercicios propostos.
Ademais de avaliar as competencias correspondentes á materia, a presentación de traballos ten como obxectivo avaliar a adquisición das competencias do título, poñendo especial énfasis na creatividade, o traballo en equipo e a transmisión de ideas.
Escenario 1: normalidade adaptada
A avaliación continua consistirá na realización de probas que se terán lugar en horario de clase nas que cada estudante deberá resolver os exercicios que se lle indiquen.
O exame final terá unha parte de teoría, que pode abarcar definición de conceptos, enunciado de resultados ou proba total ou parcial deles. A outra parte consistirá na resolución de exercicios, que serán análogos aos propostos ao longo do curso.
Escenario 2: distanciamento
A avaliación continua consistirá na realización de xeito síncrono de probas telemáticas coa ferramenta do curso virtual. A proba final, se é presencial, terá unha parte de teoría e outra parte que consistirá na realización de exercicios. Se é telemática, a proba final será de carácter síncrono e conterá cuestións teórico-prácticas e exercicios.
Escenario 3: peche das instalacións
A avaliación continua consistirá na realización, de xeito síncrono, de probas telemáticas coa ferramenta do curso virtual. A proba final será telemática e síncrona e conterá cuestións teórico-prácticas e exercicios.
Para o caso de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recollido na Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e revisión de cualificacións:
Artigo 16. Realización fraudulenta de exercicios ou probas: A realización fraudulenta dalgún exercicio ou proba esixida na avaliación dunha materia implicará a cualificación de suspenso na convocatoria correspondente, con independencia do proceso disciplinario que se poida seguir contra o alumno infractor. Considerarse fraudulenta, entre outras, a realización de traballos plaxiados ou obtidos de fontes accesibles ao público sen reelaboración ou reinterpretación e sen citas aos autores e das fontes.
n
n
De acordo coas "Directrices para o desenvolvemento dunha docencia presencial segura, Curso 22020-2021" da Universidade de Santiago de Compostela, inclúense as adaptacións correspondentes aos apartados de metodoloxía da ensinanza e sistema de avaliación previstas para os escenarios 2 e 3:
Plan de continxencia
Metodoloxía da ensinanza
Escenario 2: distanciamento
Haberá docencia presencial e virtual de acordo coa fórmula de convivencia de ambas modalidades que defina a Universidade de Santiago de Compostela. A docencia virtual síncrona realizarase a través da plataforma Microsoft Teams e a docencia asíncrona a través do Campus Virtual. Amais de facela de xeito presencial, a comunicación cos alumnos poderá realizarse a través dos foros do curso virtual e do correo electrónico.
Escenario 3: peche das instalacións
A docencia será completamente virtual. Haberá docencia síncrona a través da plataforma Microsof Teams e docencia asíncrona mediante material que complemente a docencia síncrona a través do Campus Virtual. A comunicación cos alumnos realizarase a través dos foros do curso virtual e do correo electrónico.
Sistema de avaliación
Nos tres escenarios previstos como posibles neste curso a cualificación final obterase a partir da avaliación continua, fundamentalmente baseada nas exposición que os alumnos deberán realizar de algunhas partes do temario. A avaliación poderase completar mediante un exame escrito, ademais de considerar a participación activa nas clases e a realización dos exercicios propostos.
A cualificación obtida na avaliación continua aplicarase nas dúas oportunidades dun mesmo curso académico. Se o alumno non se presenta ao exame final (caso de seren obligatorio) en ningunha das dúas oportunidades terá a cualificación de “Non presentado”, aínda que teña participado na avaliación continua.
Escenario 2: distanciamento
A avaliación continua consistirá na realización, de xeito síncrono de probas telemáticas coa ferramenta Moodle no curso virtual. A proba final, se é presencial, terá unha parte de teoría e outra parte que consistirá na realización de exercicios. Se é telemática, a proba final será de carácter síncrono e conterá cuestións teórico-prácticas e exercicios.
Escenario 3: peche das instalacións
A avaliación continua consistirá na realización, de xeito síncrono de probas telemáticas coa ferramenta do curso virtual. A proba final será telemática e síncrona e conterá cuestións teórico-prácticas e exercicios.
Para o caso de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recollido na Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e revisión de cualificacións:
Artigo 16. Realización fraudulenta de exercicios ou probas: A realización fraudulenta dalgún exercicio ou proba esixida na avaliación dunha materia implicará a cualificación de suspenso na convocatoria correspondente, con independencia do proceso disciplinario que se poida seguir contra o alumno infractor. Considerarse fraudulenta, entre outras, a realización de traballos plaxiados ou obtidos de fontes accesibles ao público sen reelaboración ou reinterpretación e sen citas aos autores e das fontes.
Eduardo Garcia Rio
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Xeometría e Topoloxía
- Teléfono
- 881813211
- Correo electrónico
- eduardo.garcia.rio [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidade
| Xoves | |||
|---|---|---|---|
| 12:00-13:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán | Aula 10 |
| Venres | |||
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_01 | Castelán | Aula 10 |