Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Trabajo del Alumno/a ECTS: 99 Horas de Tutorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Grado RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Estadística, Análisis Matemático y Optimización
Áreas: Análisis Matemático
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Primer semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable
Comprender, conocer y manejar los principales conceptos, resultados y métodos relativos al calculo vectorial y a la integral de Lebesgue de varias variables reales:
• Manejar los conceptos de flujo, divergencia y rotacional de un campo vectorial, así como su significado dinámico.
• Conocer los conceptos y propiedades de la integral de línea de campos escalares y vectoriales, y su aplicación práctica en ejemplos concretos.
• Conocer los conceptos y propiedades de la integral de superficie de campos escalares y vectoriales, y su aplicación práctica en ejemplos concretos.
• Comprobar sobre ejemplos la verificación de los teoremas de Green, Stokes y Gauss.
• Conocer la construcción de la medida y de la integral de Lebesgue para funciones de varias variables reales.
• Tener la capacidad de determinar sobre ejemplos el carácter Lebesgue medible de conjuntos y funciones, así como la integrabilidad de funciones en conjuntos medibles.
• Dominar los teoremas de convergencia de la integral de Lebesgue y tener la capacidad de aplicarlos en casos concretos.
• Comprender la relación existente entre las integrales de Riemann y Lebesgue, y la importancia del proceso de extensión que supone la consideración de esta última.
• Conocer y utilizar los teoremas de Fubini y cambio de variable en la integral de Lebesgue.
Estos conceptos tienen una importancia fundamental en el análisis matemático así como en otras materias del Grado en Matemáticas, como son las relativas a la geometría diferencial, a las ecuaciones diferenciales y a la matemática aplicada.
Integración de Lebesgue (14 horas CLE):
2.1 (3 horas CLE) Medida exterior de un subconjunto de Rn. Conjuntos Lebesgue medibles y medida de Lebesgue. Conjuntos de medida cero. La sigma-álgebra de los conjuntos L-medibles. Propiedades de la medida de Lebesgue.
2.2 (4 horas CLE) Funciones medibles. Propiedades. Funciones simples medibles. Aproximación de una función medible por funciones simples medibles. Teorema de Egorov. Teorema de Lusin.
2.3 (4 horas CLE) Integral de funciones simples medibles no negativas. Integral de funciones medibles no negativas. Propiedades. Teorema de la convergencia monótona. Lema de Fatou. Funciones Lebesgue integrables e integral de Lebesgue. Propiedades de la integral de Lebesgue. Teorema de la convergencia dominada. El espacio L1.
2.4 (3 horas CLE) Relación entre las integrales de Riemann y de Lebesgue. Teoremas de Tonelli y Fubini. Teorema de cambio de variable.
Cálculo vectorial (12 horas CLE):
1.1 (3 horas CLE) Campos escalares y vectoriales. Gradiente, divergencia y rotacional. Identidades básicas del análisis vectorial. Flujo asociado a un campo vectorial. Campos gradientes y función potencial.
1.2 (3 horas CLE) Curvas paramétricas en Rn. Curvas regulares y regulares a trozos. Vector tangente. Integral de línea de un campo escalar. Longitud de una curva. Curvas orientadas. Integral de línea de un campo vectorial. Equivalencia de curvas y de curvas orientadas. Teoremas fundamentales del cálculo para la integral de línea. Caracterización de los campos conservativos.
1.3 (3 horas CLE) Superficies paramétricas en R3. Superficies regulares. Vector normal. Superficies orientables. Integral de superficie de un campo escalar. Área de una superficie regular. Integral de superficie de un campo vectorial. Superficies equivalentes.
1.4 (3 horas CLE) Teoremas de Green, Stokes y Gauss. Consecuencias y aplicaciones.
Mardsen, J.E.; Tromba, A. J.: “Cálculo Vectorial”. 5ª edición. Ed. Addison Wesley. 1987.
Del Castillo, F.: “Análisis Matemático II”. Ed. Alhambra. 1987.
Apuntes de la materia.
Bibliografía Complementaria
Apostol, T. M.: “Calculus, volumen 2”. Ed. Reverté. 1973.
Bombal, F.; Marín, R.; Vera, G.: “Problemas de Análisis Matemático, 3. Cálculo Integral”. Ed. AC. 1987.
Chae, S. B.: "Lebesgue Integration." Segunda edición, Springer-Verlag, 1995.
Fernández Viña, J. A.: “Análisis Matemático III. Integración y cálculo exterior”. Ed. Tecnos. 1992.
Franks, J.: "A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration". AMS, 2009.
Kurtz, D. S., Swartz, Ch. W.: “Theories of integration. The integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzweil, and Mcshane”. Series in Real Analysis, 9. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2004.
Spiegel, M. R.: “Análisis Vectorial". McGraw Hill, 1991.
Weaver, N.: "Measure Theory and Functional Analysis". World Scientific, 2013.
Además de contribuir a alcanzar las competencias básicas, generales y transversales recogidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la Universidad de Santiago de Compostela (USC), y que pueden consultarse en
http://www.usc.es/export/sites/default/gl/servizos/sxopra/memorias_grao…,
esta materia permitirá alcanzar las siguientes competencias específicas
CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático;
CE2 - Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática;
CE3 - Idear demostraciones de resultados matemáticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o refutarlas;
CE4 - Identificar errores en razonamientos incorrectos, proponiendo demostraciones o contraejemplos;
CE5 - Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, relacionarlo con otros ya conocidos, y ser capaz de utilizarlo en diferentes contextos;
CE6 - Saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales o circunstanciales;
CE9 - Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización y software científico, en general, para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.
Se seguirán las indicaciones metodológicas generales establecidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC.
La docencia está programada en clases teóricas, prácticas en grupo reducido, prácticas con ordenador en grupo reducido y tutorías. En las clases teóricas se presentarán los contenidos esenciales de la disciplina, y permitirán el trabajo de las competencias básicas, generales y transversales, además de las competencias específicas CE1, CE2, CE5 y CE6. Por su parte, en las sesiones interactivas se propondrán problemas o ejercicios de realización más autónoma, y que permitirán hacer énfasis en la adquisición de las competencias específicas CE3 y CE4. Por último, las tutorías se dedicarán a la discusión y debate con los estudiantes, y a la resolución de las tareas propuestas con las que se pretende que los estudiantes practiquen y afiancen los conocimientos. En las clases con ordenador se utilizarán herramientas informáticas apropiadas para trabajar, de esta manera, la competencia específica CE9.
De forma genérica a los tres escenarios que se detallarán a continuación, se empleará el curso virtual como mecanismo para trasladar al alumnado los recursos necesarios para el desarrollo de la materia (vídeos explicativos, apuntes, boletines de ejercicios, etc.). La diferencia fundamental entre los tres escenarios será, por un lado, la forma en la que se antenderán las tutorías y, por otro lado, el tipo de docencia que se impartirá: totalmente presencial en el escenario 1, semipresencial en el escenario 2 y totalmente virtual en el escenario 3.
ESCENARIO 1 (normalidad adaptada):
La docencia expositiva e interactiva será presencial y se completará con el curso virtual de la materia, en la que el alumnado encontrará materiales bibliográficos, boletines de problemas, vídeos explicativos, etc. Mediante el curso virtual el alumno también realizará tests y pruebas para la evaluación continua, tal y como se describe en el apartado correspondiente.
Las tutorías serán presenciales o a través del correo electrónico.
ESCENARIO 2 (distanciamiento)
Docencia parcialmente virtual, de acuerdo con la distribución organizada por la Facultad de Matemáticas. Para ello se empleará el aula virtual del curso en la que se subirán vídeos explicativos, materiales bibliográficos, boletines de probles, etc., proporcionados por el profesorado y, si así se establece, clases virtuales síncronas empleando MS Teams. El alumnado también realizará tests y pruebas para la evaluación continua a través del campus virtual, tal y como se describe en el apartado correspondiente.
Las tutorías se atenderán por correo electrónico o por MS Teams.
ESCENARIO 3 (cierre de las instalaciones):
Docencia totalmente en remoto mediante el curso virtual de la materia y el MS Teams. Para ello, se empleará el aula virtual del curso en la que se subirán vídeos explicativos, materiales bibliográficos, boletines de problemas, etc., proporcionados por el profesorado y clases virtuales síncronas empleando MS Teams. El alumnado también realizará tests y pruebas para la evaluación continua a través del campus virtual, tal y como se describe en el apartado correspondiente.
Las tutorías se atenderán por correo electrónico o por MS Teams.
De forma genérica, se hará una evaluación continua en la que se combina una evaluación continua formativa con una prueba final.
La evaluación continua formativa será robusta frente a posibles cambios de escenario. En este sentido, se emplearán las herramientas del campus virtual como único mecanismo para llevarla a cabo. Además, permitirá comprobar el grado de consecución de las competencias específicas anteriormente mencionadas, con énfasis en las competencias transversales CT1, CT2, CT3 y CT5.
Con respecto a la prueba final y de segunda oportunidad, la diferencia entre los tres escenarios consistirá en la forma en la que se realizará: presencial en el caso del escenario 1 y, en los escenarios 2 y 3, por medios telemáticos. En dichas pruebas se medirá el conocimiento conseguido por el alumnado en relación con los conceptos y resultados de la materia, tanto desde el punto de vista teórico cómo práctico, valorando también la claridad y el rigor lógico mostrado en la exposición de estos. Se evaluará la consecución de las competencias básicas, generales y específicas a las que hace alusión la Memoria del Grado en Matemáticas de la USC y que fueron señaladas anteriormente.
ESCENARIO 1 (normalidad adaptada):
Tal y como se comentaba anteriormente, la evaluación se realizará combinando una evaluación continua formativa con una prueba final.
La evaluación continua formativa consistirá, por un lado, en la realización de tests que el alumnado deberá realizar al finalizar cada uno de los temas de la materia y, por otro lado, en la realización de pruebas que se realizarán en el curso virtual. Dichas pruebas estarán basadas en ejercicios tipo, realización de demostraciones, etc. Puesto que la materia está compuesta de dos grandes bloques, se hará una prueba por bloque. Para calcular la nota de la evaluación continua (C) se empleará la siguiente fórmula:
C=0.4*TAE+0.3*P1+0.3*P2.
Donde TAE es la nota global de los tests (sobre 10 puntos), P1 es la nota de la prueba asociada al primer bloque (sobre 10 puntos) y P2 es la nota asociada a la prueba del segundo bloque.
Con la nota de la evaluación continua formativa (C) y la nota de la prueba final presencial (F) se calculará la nota final de la materia (NF) empleando la siguiente fórmula:
NF=max{F,0.5*C+0.5*F}
Se entiende como NO PRESENTADO aquel alumno que al final del periodo docente no esté en condiciones de superar la materia sin realizar la prueba final y no se presente a dicha prueba.
En la segunda oportunidad se empleará el mismo sistema de evaluación, pero con la prueba correspondiente a la segunda oportunidad, que será un examen del mismo tipo que el de la primera.
ESCENARIO 2 (distanciamiento)
Mismo procedimiento que el descrito para el ESCENARIO 1, con la única diferencia de que la prueba final o la de segunda oportunidad será telemática.
ESCENARIO 3 (cierre de las instalaciones)
Mismo procedimiento que el descrito para el ESCENARIO 1, con la única diferencia de que la prueba final o la de segunda oportunidad será telemática.
Advertencia. Para los casos en los que se realice de forma fraudulenta los tests o las pruebas (plagios o uso indebido de las tecnologías) será de aplicación lo recogido en la Normativa de evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y de revisión de las calificaciones.
TRABAJO PRESENCIAL EN EL AULA
(CLE) Clase expositiva (26 horas)
(CLIS) Clase interactiva de seminario (13 horas)
(CLIL) Clase interactiva de laboratorio (13 horas)
(TGMR) Tutorías en grupos muy reducidos o individualizadas (2 horas)
Total horas trabajo presencial en aula: 54.
TRABAJO PERSONAL DEL ALUMNADO
Se estiman 96 horas, por término medio, aunque las horas de trabajo personal dependerán del alumnado y de su formación.
Para estudiar esta materia es importante dominar los contenidos de las siguientes: Introducción al análisis matemático; Continuidad y derivabilidad de funciones de una variable real; Integración de funciones de una variable real; Topología de los espacios euclidianos. Diferenciación de funciones de varias variables reales. Series funcionales e integral de Riemann en varias variables.
Por otra parte, se recomienda estudiar con regularidad, llevando la materia al día, y realizar todas las actividades que se propongan en las aulas. También es muy importante consultar con el profesor todas las dudas que puedan ir surgiendo a lo largo del curso.
Plan de contingencia:
Adaptación de la metodología a los Escenarios 2 y 3:
ESCENARIO 2 (distanciamiento):
Docencia parcialmente virtual, de acuerdo con la distribución organizada por la Facultad de matemáticas. Para ello se empleará el MS Teams para la docencia telemática síncrona y el aula virtual del curso, con vídeos explicativos y materiales bibliográficos proporcionados por el profesorado.
Las tutorías se atenderán por correo electrónico o mediante MS Teams.
ESCENARIO 3 (cierre de las instalaciones):
Mismo procedimiento que el descrito para el ESCENARIO 1, con la única diferencia de que la prueba final será telemática.
En la segunda oportunidad se empleará el mismo sistema de evaluación pero con la prueba correspondiente a la segunda oportunidad, que será un examen del mismo tipo que el de la primera.
Alberto Cabada Fernandez
- Departamento
- Estadística, Análisis Matemático y Optimización
- Área
- Análisis Matemático
- Teléfono
- 881813206
- Correo electrónico
- alberto.cabada [at] usc.gal
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidad
Francisco Javier Fernandez Fernandez
- Departamento
- Estadística, Análisis Matemático y Optimización
- Área
- Análisis Matemático
- Teléfono
- 881813231
- Correo electrónico
- fjavier.fernandez [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Profesor Ayudante Doctor LOU
Daniel Cao Labora
- Departamento
- Estadística, Análisis Matemático y Optimización
- Área
- Análisis Matemático
- Teléfono
- 881813174
- Correo electrónico
- daniel.cao [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Profesor Interino/a sustitución reducción docencia
| Lunes | |||
|---|---|---|---|
| 09:00-10:00 | Grupo /CLE_01 | Castellano | Aula 07 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_02 | Gallego | Aula 07 |
| Martes | |||
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Castellano | Aula 09 |
| Miércoles | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_03 | Castellano | Aula 06 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_02 | Gallego | Aula 10 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_01 | Castellano | Aula de informática 3 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_02 | Castellano | Aula Magna Ramón María Aller Ulloa |
| Jueves | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_06 | Gallego | Aula 06 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_05 | Gallego | Aula de informática 3 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_04 | Gallego, Castellano | Salón de Grados |
| Viernes | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLIS_04 | Gallego | Aula 06 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIS_03 | Gallego | Aula 06 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIS_02 | Castellano, Gallego | Aula 02 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIS_01 | Castellano, Gallego | Aula 06 |
| 11.01.2021 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 02 |
| 11.01.2021 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 03 |
| 11.01.2021 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 11.01.2021 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula Magna Ramón María Aller Ulloa |
| 25.06.2021 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |