Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Traballo do Alumno/a ECTS: 99 Horas de Titorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Linguas de uso Castelán, Galego
Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Estatística, Análise Matemática e Optimización
Áreas: Análise Matemática
Centro Facultade de Matemáticas
Convocatoria: Primeiro semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable
Comprender, coñecer e manexar os principais conceptos, resultados e métodos relativos ó calculo vectorial e á integral de Lebesgue de varias variables reais:
• Manexar os conceptos de fluxo, diverxencia e rotacional dun campo vectorial, así como o seu significado dinámico.
• Coñecer os conceptos e propiedades da integral de liña de campos escalares e vectoriais, e a súa aplicación práctica en exemplos concretos.
• Coñecer os conceptos e propiedades da integral de superficie de campos escalares e vectoriais, e a súa aplicación práctica en exemplos concretos.
• Comprobar sobre exemplos a verificación dos teoremas de Green, Stokes e Gauss.
• Coñecer a construción da medida e da integral de Lebesgue para funcións de varias variables reais.
• Ter a capacidade de determinar sobre exemplos o carácter Lebesgue medible de conxuntos e funcións, así como a integrabilidade de funcións en conxuntos medibles.
• Dominar os teoremas de converxenza da integral de Lebesgue e ter a capacidade de aplicalos en casos concretos.
• Comprender a relación existente entre as integrais de Riemann e Lebesgue, e a importancia do proceso de extensión que supón a consideración desta última.
• Coñecer e utilizar os teoremas de Fubini e cambio de variable na integral de Lebesgue.
Estes conceptos teñen unha importancia fundamental na Análise Matemática así como noutras materias do Grao en Matemáticas, como son as relativas á Xeometría dDiferencial, ás Ecuacións Diferenciais e á Matemática Aplicada.
Integración de Lebesgue (14 horas CLE):
2.1 (3 horas CLE) Medida exterior dun subconxunto de Rn. Conxuntos Lebesgue medibles e medida de Lebesgue. Conxuntos de medida cero. A sigma-álxebra dos conxuntos L-medibles. Propiedades da medida de Lebesgue.
2.2 (4 horas CLE) Funcións medibles. Propiedades. Funcións simples medibles. Aproximación dunha función medible por funcións simples medibles. Teorema de Egorov. Teorema de Lusin.
2.3 (4 horas CLE) Integral de funcións simples medibles non negativas. Integral de funcións medibles non negativas. Propiedades. Teorema da converxenza monótona. Lema de Fatou. Funcións Lebesgue integrables e integral de Lebesgue. Propiedades da integral de Lebesgue. Teorema da converxenza dominada. O espazo L1.
2.4 (3 horas CLE) Relación entre as integrais de Riemann e de Lebesgue. Teoremas de Tonelli e Fubini. Teorema de cambio de variable.
Cálculo vectorial (12 horas CLE):
1.1 (3 horas CLE) Campos escalares e vectoriais. Gradiente, diverxencia e rotacional. Identidades básicas da análise vectorial. Fluxo asociado a un campo vectorial. Campos gradientes e función potencial.
1.2 (3 horas CLE) Curvas paramétricas en Rn. Curvas regulares e regulares a anacos. Vector tangente. Integral de liña dun campo escalar. Lonxitude dunha curva. Curvas orientadas. Integral de liña dun campo vectorial. Equivalencia de curvas e de curvas orientadas. Teoremas fundamentais do cálculo para a integral de liña. Caracterización dos campos conservativos.
1.3 (3 horas CLE) Superficies paramétricas en R3. Superficies regulares. Vector normal. Superficies orientables. Integral de superficie dun campo escalar. Área dunha superficie regular. Integral de superficie dun campo vectorial. Superficies equivalentes.
1.4 (3 horas CLE) Teoremas de Green, Stokes e Gauss. Consecuencias e aplicacións.
Bibliografía Básica
Mardsen, J.E.; Tromba, A. J.: “Cálculo Vectorial”. 5ª edición. Ed. Addison Wesley. 1987.
Del Castillo, F.: “Análisis Matemático II”. Ed. Alhambra. 1987.
Apuntamentos da materia.
Bibliografía Complementaria
Apostol, T. M.: “Calculus, volumen 2”. Ed. Reverté. 1973.
Bombal, F.; Marín, R.; Vera, G.: “Problemas de Análisis Matemático, 3. Cálculo Integral”. Ed. AC. 1987.
Chae, S. B.: "Lebesgue Integration." Segunda edición, Springer-Verlag, 1995.
Fernández Viña, J. A.: “Análisis Matemático III. Integración y cálculo exterior”. Ed. Tecnos. 1992.
Franks, J.: "A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration". AMS, 2009.
Kurtz, D. S., Swartz, Ch. W.: “Theories of integration. The integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzweil, and Mcshane”. Series in Real Analysis, 9. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2004.
Spiegel, M. R.: “Análisis Vectorial". McGraw Hill, 1991.
Weaver, N.: "Measure Theory and Functional Analysis". World Scientific, 2013.
Ademais de contribuír a acadar as competencias básicas, xerais e transversais recollidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela (USC), e que poden consultarse en
http://www.usc.es/export/sites/default/gl/servizos/sxopra/memorias_grao…,
esta materia permitirá acadar as seguintes competencias específicas:
CE1 - Comprender e utilizar a linguaxe matemática;
CE2 - Coñecer demostracións rigorosas dalgúns teoremas clásicos en distintas áreas da Matemática;
CE3 - Idear demostracións de resultados matemáticos, formular conxecturas e imaxinar estratexias para confirmalas ou refutalas;
CE4 - Identificar erros en razoamentos incorrectos, propoñendo demostracións ou contra exemplos;
CE5 - Asimilar a definición dun novo obxecto matemático, relacionalo con outros xa coñecidos, e ser capaz de utilizalo en diferentes contextos;
CE6 - Saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema, distinguíndoas daquelas puramente ocasionais ou circunstanciais;
CE9 - Utilizar aplicacións informáticas de análise estatístico, cálculo numérico e simbólico, visualización gráfica, optimización e software científico, en xeral, para experimentar en Matemáticas e resolver problemas.
Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC.
A docencia está programada en clases teóricas, prácticas en grupo reducido, prácticas con ordenador en grupo reducido e titorías. Nas clases teóricas presentaranse os contidos esenciais da disciplina, e permitirán o traballo das competencias básicas, xerais e transversais, ademais das competencias específicas CE1, CE2, CE5 e CE6. Pola súa parte, nas sesións interactivas proporanse problemas ou exercicios de realización máis autónoma, e que permitirán facer énfase na adquisición das competencias específicas CE3 e CE4. As titorías dedicaranse á discusión e debate cos estudantes, e á resolución das tarefas propostas coas que se pretende que os estudantes practiquen e afiancen os coñecementos. Nas clases con ordenador utilizaranse ferramentas informáticas apropiadas para traballar, deste xeito, a competencia específica CE9.
De forma xenérica os tres escenarios que se detallarán a continuación, empregarase o curso virtual como mecanismo para achegar ó alumnado os recursos necesarios para o desenvolvemento da materia (vídeos explicativos, apuntamentos, boletíns de exercicios, etc.). A diferenza fundamental entre os tres escenarios será, por unha banda a forma de atender as titorías e, por outra banda, o tipo de docencia que se impartirá: totalmente presencial no escenario 1, semipresencial no escenario 2 e totalmente virtual no escenario tres.
ESCENARIO 1 (normalidade adaptada):
A docencia expositiva e interactiva será presencial e complementarase co curso virtual da materia, na que o alumnado atopará materiais bibliográficos, boletíns de problemas, vídeos explicativos, etc. Mediante o curso virtual o alumnado tamén realizará tests e probas para a avaliación continua, como se describe no apartado correspondente.
As titorías serán presenciais ou a través do correo electrónico.
ESCENARIO 2 (distanciamento):
Docencia parcialmente virtual, de acordo coa distribución organizada pola Facultade de Matemáticas. Para elo empregarase a aula virtual do curso con vídeos explicativos, materiais bibliográficos, boletíns de problemas, etc, proporcionados polo profesorado e, se así se establece, clases virtuais síncronas empregando o MS Teams. O alumnado tamén realizará tests e probas para a avaliación continua a través do campus virtual, tal e como se describe no apartado correspondente.
As titorías atenderanse por correo electrónico ou mediante MS Teams.
ESCENARIO 3 (peche das instalacións):
Docencia totalmente en remoto mediante o curso virtual da materia e o MS Teams. Para elo empregarase a aula virtual do curso con vídeos explicativos, materiais bibliográficos, boletíns de problemas, etc, proporcionados polo profesorado e clases virtuais síncronas empregando o MS Teams. O alumnado tamén realizará tests e probas para a avaliación continua a través do campus virtual, tal e como se describe no apartado correspondente.
As titorías atenderanse por correo electrónico ou mediante MS Teams.
De forma xenérica, farase unha avaliación na que se combina unha avaliación continua formativa cunha proba final.
A avaliación continua formativa será robusta fronte a posibles cambios de escenario. Neste sentido, empregaranse as ferramentas do campus virtual como único mecanismo para levala a cabo. Ademáis, permitirá comprobar o grao de consecución das competencias especificadas anteriormente mencionadas, con énfase nas competencias transversais CT1, CT2, CT3 e CT5.
Con respecto á proba final e de segunda oportunidade, a diferenza entre os tres escenarios consistirá na forma na que se realizará: presencial no caso do escenario 1 e, nos escenarios 2 e 3, telemática. En ditas probas medirase o coñecemento acadado polo alumnado en relación ós conceptos e resultados da materia, tanto dende o punto de vista teórico como práctico, valorando tamén a claridade e o rigor lóxico mostrado na exposición dos mesmos. Avaliarase a consecución das competencias básicas, xerais e específicas ás que fai alusión a Memoria do Grao en Matemáticas da USC e que foron sinaladas anteriormente.
ESCENARIO 1 (normalidade adaptada):
Tal e como se comentaba anteriormente, a avaliación realizarase combinando unha avaliación continua formativa cunha proba final.
A avaliación continua formativa consistirá, por unha banda, na realización de tests que o alumnado deberán facer ó rematar cada un dos temas da materia e, por outra banda, na realización de probas no curso virtual. Ditas probas estarán baseadas en exercicios tipo, realización de demostracións, etc. Posto que a materia está composta de dous grandes bloques, farase unha proba por bloque. Para calcular a nota da avaliación continua (C) empregarase a seguinte fórmula:
C=0.4*TAE+0.3*P1+0.3*P2.
Onde TAE é a nota global dos test (sobre 10 puntos), P1 é a nota da proba asociada ó primeiro bloque (sobre 10 puntos) e P2 é a nota asociada ó segundo bloque (sobre 10 puntos).
Coa nota da avaliación continua formativa (C) e a nota da proba final presencial (F) calcularase a nota final na materia (NF) segundo a seguinte fórmula:
NF=max{F,0.5*C+0.5*F}
Entenderase como NON PRESENTADO quen ao final do período docente non estea en condicións de superar a materia sen realizar a proba final e non se presente a dita proba.
Na segunda oportunidade empregarase o mesmo sistema de avaliación pero coa proba correspondente á segunda oportunidade, que será un exame do mesmo tipo que a da primeira.
ESCENARIO 2 (distanciamento):
Mesmo procedemento que o descrito para o ESCENARIO 1, coa única diferenza de que a proba final será telemática.
ESCENARIO 3 (peche das instalacións):
Mesmo procedemento que o descrito para o ESCENARIO 1, coa única diferenza de que a proba final será telemática.
Advertencia. Para os casos de realización fraudulenta dos test ou probas (plaxios ou uso indebido das tecnoloxías) será de aplicación o recollido na Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións.
TRABALLO PRESENCIAL NA AULA
(CLE) Clases expositivas (26 horas)
(CLIS) Clases interactivas de seminario (13 horas)
(CLIL) Clases interactivas de laboratorio (13 horas)
(TGMR) Titorías de grupo moi reducidos ou individualizadas (2 horas)
Total horas traballo presencial na aula: 54 horas.
TEMPO DE TRABALLO PERSOAL
Estímanse 96 horas, por termo medio, malia que, obviamente, as horas de traballo persoal dependerán do alumnado e da súa formación.
Para estudar esta materia é importante dominar os contidos das seguintes: Introducción á análise matemática; Continuidade e derivabilidade de funcións dunha variable real; Integración de funcións dunha variable real; Topoloxía dos espazos euclidianos. Diferenciación de funcións de varias variables reais. Series funcionais e integral de Riemann en varias variables.
Por outra parte, recoméndase estudar con regularidade, levando a materia ó día, e realizar todas as actividades que se propoñan nas aulas. Tamén é moi importante consultar co profesorado todas as dúbidas que poidan ir xurdindo ó longo do curso.
Plan de continxencia:
Adaptación da metodoloxía aos Escenarios 2 e 3:
ESCENARIO 2 (distanciamento):
Docencia parcialmente virtual, de acordo coa distribución organizada pola Facultade de Matemáticas. Para elo empregarase o MS Teams para a docencia telemática síncrona e a aula virtual do curso, con vídeos explicativos e materiais bibliográficos proporcionados polo profesorado.
As titorías atenderanse por correo electrónico ou mediante MS Teams.
ESCENARIO 3 (peche das instalacións):
Docencia totalmente en remoto mediante o MS Teams e o curso virtual da materia. Para elo empregarase o MS Teams para a docencia telemática síncrona e a aula virtual do curso, con vídeos explicativos e materiais bibliográficos proporcionados polo profesorado.
As titorías atenderanse por correo electrónico ou mediante MS Teams.
Adaptación do sistema de avaliación aos Escenarios 2 e 3:
ESCENARIO 2 (distanciamento):
Mesmo procedemento que o descrito para o ESCENARIO 1, coa única diferencia de que a proba final será telemática.
ESCENARIO 3 (peche das instalacións):
Mesmo procedemento que o descrito para o ESCENARIO 1, coa única diferencia de que a proba final será telemática.
Na segunda oportunidade empregarase o mesmo sistema de avaliación pero coa proba correspondente á segunda oportunidade, que será un exame do mesmo tipo que a da primeira.
Alberto Cabada Fernandez
- Departamento
- Estatística, Análise Matemática e Optimización
- Área
- Análise Matemática
- Teléfono
- 881813206
- Correo electrónico
- alberto.cabada [at] usc.gal
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidade
Francisco Javier Fernandez Fernandez
- Departamento
- Estatística, Análise Matemática e Optimización
- Área
- Análise Matemática
- Teléfono
- 881813231
- Correo electrónico
- fjavier.fernandez [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Profesor Axudante Doutor LOU
Daniel Cao Labora
- Departamento
- Estatística, Análise Matemática e Optimización
- Área
- Análise Matemática
- Teléfono
- 881813174
- Correo electrónico
- daniel.cao [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Profesor Interino/a substitución redución docencia
| Luns | |||
|---|---|---|---|
| 09:00-10:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán | Aula 07 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_02 | Galego | Aula 07 |
| Martes | |||
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán | Aula 09 |
| Mércores | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_03 | Castelán | Aula 06 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_02 | Galego | Aula 10 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_01 | Castelán | Aula de informática 3 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_02 | Castelán | Aula Magna Ramón María Aller Ulloa |
| Xoves | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_06 | Galego | Aula 06 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_05 | Galego | Aula de informática 3 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_04 | Castelán, Galego | Salón de Graos |
| Venres | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLIS_04 | Galego | Aula 06 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIS_03 | Galego | Aula 06 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIS_02 | Galego, Castelán | Aula 02 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIS_01 | Galego, Castelán | Aula 06 |
| 11.01.2021 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 02 |
| 11.01.2021 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 03 |
| 11.01.2021 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 11.01.2021 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula Magna Ramón María Aller Ulloa |
| 25.06.2021 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |