Rigidez de planos sin puntos conjugados

Una variedad riemanniana no tiene puntos conjugados cuando la aplicación exponencial es un recubrimiento desde cualquier punto. En el caso simplemente conexo, estas variedades se caracterizan por tener solamente una geodésica conectando cualquier par de puntos, lo que las acerca, desde un punto de vista sintético, al espacio euclídeo: basta reemplazar "líneas" por "geodésicas". A pesar de la aparente sencillez de su geometría, muchas de las conjeturas más naturales siguen estando abiertas, incluso en dimensión baja. En esta charla nos centraremos en dos de ellas para el caso de planos Riemannianos sin puntos conjugados.

Veremos que, bajo la hipótesis de curvatura total, un plano Riemanniano que satisface el quinto axioma de Euclides es Euclídeo, y que lo mismo ocurre para planos admitiendo foliaciones geodésicas por líneas con distancia de Hausdorff acotada. La charla será totalmente accesible y autocontenida.

Trabajo conjunto con Jian Ge (BICMR, Beijing) y Pedro Solórzano (UNAM).