Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Traballo do Alumno/a ECTS: 99 Horas de Titorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Linguas de uso Castelán, Galego
Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Álxebra
Centro Facultade de Matemáticas
Convocatoria: Segundo semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable
Introducir algunhas das aplicacións mais importantes da álxebra á teoría de números e á xeometría.
Coñecer a teoría de residuos cuadráticos e a Lei de Reciprocidade Cuadrática, así como a importancia da mesma como fonte de ideas para a teoría de números.
Comprender o significado do teorema fundamental da aritmética no contexto de aneis de enteiros alxébricos.
Coñecer o teorema dos ceros de Hilbert e a relación entre ideais e variedades contida no "diccionario álxebra-xeometría".
Coñece-los aspectos fundamentais da teoría de curvas alxebraicas planas incluindo unha introducción á teoría da intersección.
1. Residuos cuadráticos. A lei de reciprocidade cuadrática. Cálculo dos símbolos de Legendre e de Jacobi. Aplicacións. (3 h expositivas)
2. Representacións de enteiros por formas cuadráticas binarias. Sumas de cuadrados. Teoremas de Lagrange, Euler e Legendre. (3 h expositivas)
3. Corpos de números Alxebraicos. O discriminante. Enteiros alxebraicos e bases de integridade. Corpos cuadráticos e corpos ciclotómicos. (4 h expositivas)
4. A factorización en aneis de enteiros alxebraicos. O teorema fundamental da aritmética para ideas. (3 h expositivas)
5. Conxuntos alxebraicos. O teorema da base de Hilbert. Bases de Gröbner. Ideais radicais. O teorema dos ceros de Hilbert e o diccionario álxebra-xeometría. A topoloxía de Zariski. (8 h expositivas)
6. Curvas alxebraicas proxectivas. Aplicacións racionais. Puntos lisos e puntos singulares. (6 h expositivas)
7. Curvas planas. Multiplicidades e números de intersección. Teorema de Bezout. (15 h expositivas)
Bibliografía básica:
Adams-Goldstein, Introduction to Number Theory, Prentice Hall 1976.
W. Fulton, Algebraic Curves. An Introduction to Algebraic Geometry, 2008. http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf
Bibliografía complementaria
J.S. Chahal, Topics in Number Theory, Plenum, 1988.
W. Fulton, Introduction to intersection theory in algebraic geometry, American Mathematical Society, Providence, RI, 1984.
J.-P. Serre, Cours d'arithmétique, Presses Universitaires de France, Paris, 1977.
W. Kunz, Introduction to Plane Algebraic Curves, Birkhäuser, 2005
Contribuir a acadar as competencias xerais, específicas e transversais recollidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC e, en especial, as seguintes:
Comunicación escrita e oral de coñecementos, métodos e ideas xerais relacionadas coa teoría de números e a xeometría (CG4).
Utilizar ferramentas de procura de recursos bibliográficos sobre os temas da materia, incluíndo o acceso por Internet. Manexar ditos recursos en diferentes idiomas, especialmente en inglés (CT1, CT5).
Saber expoñer hipóteses e extraer conclusións usando argumentos ben razoados, sendo quen de identificar fallos lóxicos e falacias nas argumentacións (CG2, CE4).
Competencias específicas da materia:
Familiarizarse cos símbolos de Legendre e Jacobi e a súa computación eficiente, así como algunhas das súas principais aplicacións.
Coñecer algúns dos mais importantes resultados clásicos sobre representación de enteiros por formas cuadráticas e, en particular, como sumas de cadrados.
Coñecer a teoría básica de factorización de enteiros alxébricos e estudar o problema da non-unicidade da factorización.
Estudar o problema da factorización no contexto mais amplo da teoría de ideais e comprender o teorema de factorización única neste contexto.
Manexar con soltura o diccionario álxebra-xeometría. Describir operacións básicas en xeometría e describir os seus semellantes en álxebra.
Coñecer os aspectos máis importantes da teoría de curvas alxébricas planas e comprender o teorema de Bezout.
Escenario 1: Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais que figuran no Informe sobre o título de licenciatura en matemáticas da USC. A docencia impartirase en clases de pizarra e titorías.
Nas clases presentaranse os contidos esenciais da materia, resolveranse problemas e proporanse as actividades que os alumnos deben realizar para a avaliación continua: resolución de problemas, preparación do traballo, ... (competencias CB3, CB4, CG1, CG2, CG4, CG5, CT1, CT5).
Escenario2: o ensino na aula será en clases de pizarra e titorías. O virtual estará en modo asíncrono. As plataformas serán as proporcionadas polas autoridades académicas.
Escenario 3: a docencia será en modo asíncrono. As plataformas serán as proporcionadas polas autoridades académicas.
Escenario 1: Avaliación continua: dúas probas parciais na hora de exposición
Para o cálculo da nota final (F) terase en conta a avaliación continua (C) e a nota final do exame (E) e aplicarase a seguinte fórmula:
F = máx (E, C / 3 + 2E / 3).
Todo iso por ambas as oportunidades
Escenario 2: avaliación continua: unha proba parcial na hora de exposición. Entrega, vía correo electrónico, nun prazo determinado, de varios exercicios, que se subirán á Aula Virtual, común para todos os estudantes, pero con opción. As cualificacións comunicaranse na aula virtual, antes do exame final, sen revisalas.
Exame telemático final: 2 exercicios, o día e hora indicados polo centro. Ponderase coa seguinte fórmula:
F = máx (E, c + e / 4),
E = marca de proba final ou 0, c = C se Cmenor ou igual5, 5+ (C-5) / 2 se Cmayor5, C = avaliación continua, e = 0 se Emenor ou igual5, = E se Emayor5.
Todo iso por ambas as oportunidades.
Escenario 3: Avaliación continua: Entrega, vía correo electrónico, nun prazo a indicar, de varios exercicios, que subirei á Aula Virtual, común para todos os estudantes, pero opcional. As cualificacións comunicaranse na aula virtual, antes do exame final, sen revisalas.
Exame telemático final: 2 exercicios, o día e hora indicados polo centro. Ponderase coa seguinte fórmula:
F = máx (E, c + e / 4),
E = marca de proba final ou 0, c = C se Cmenor ou igual5, 5+ (C-5) / 2 se Cmayor5, C = avaliación continua, e = 0 se Emenor ou igual5, = E se Emayor5.
Todo iso por ambas as oportunidades.
En caso de realización fraudulenta de exercicios ou probas, aplicarase o disposto no Regulamento de avaliación do rendemento académico.
Seguindo as directrices establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC, o tempo que o estudante deberá dedicar á preparación da materia consiste en:
- 58 horas de traballo presencial.
- 92 horas de traballo persoal que comprenden as seguintes actividades:
- 52 horas de estudo autónomo.
- Elaboración de traballos e resolución de problemas: 25 horas.
- Lecturas recomendadas e búsqueda de documentación: 5 horas.
- Preparación de presentacións orais: 10 horas.
E aconsellable o coñecemento previo das estruturas alxebraicas básicas, incluíndo as extensións de corpos.
Recoméndase a asistencia e participación activa nas clases e titorías programadas complementada co traballo diario para asimilar os conceptos da materia e realizar as actividades (problemas, traballos) que se irán propoñendo periódicamente.
Plan de continxencia
Metodoloxía da ensinanza
Escenario2: o ensino na aula será en clases de pizarra e titorías. O virtual estará en modo asíncrono. As plataformas serán as proporcionadas polas autoridades académicas.
Escenario 3: a docencia será en modo asíncrono. As plataformas serán as proporcionadas polas autoridades académicas.
Sistema de avaliación
Escenario 2: avaliación continua: unha proba parcial na hora de exposición. Entrega, vía correo electrónico, nun prazo determinado, de varios exercicios, que subirei á Aula Virtual, común para todos os estudantes, pero con opción. As cualificacións comunicaranse na aula virtual, antes do exame final, sen revisalas.
Exame telemático final: 2 exercicios, o día e hora indicados polo centro. Ponderase coa seguinte fórmula:
F = máx (E, c + e / 4),
E = marca de proba final ou 0, c = C se Cmenor ou igual5, 5+ (C-5) / 2 se Cmayor5, C = avaliación continua, e = 0 se Emenor ou igual5, = E se Emayor5.
Todo iso por ambas as oportunidades.
Escenario 3: Avaliación continua: Entrega, vía correo electrónico, nun prazo a indicar, de varios exercicios, que subirei á Aula Virtual, común para todos os estudantes, pero opcional. As cualificacións comunicaranse na aula virtual, antes do exame final, sen revisalas.
Exame telemático final: 2 exercicios, o día e hora indicados polo centro. Ponderase coa seguinte fórmula:
F = máx (E, c + e / 4),
E = marca de proba final ou 0, c = C se Cmenor ou igual5, 5+ (C-5) / 2 se Cmayor5, C = avaliación continua, e = 0 se Emenor ou igual5, = E se Emayor5.
Todo iso por ambas as oportunidades.
Leoncio Franco Fernández
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Álxebra
- Teléfono
- 881813163
- Correo electrónico
- leoncio.franco [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidade
| Luns | |||
|---|---|---|---|
| 17:00-18:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán | Aula Magna Ramón María Aller Ulloa |
| Martes | |||
| 17:00-18:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán | Aula Magna Ramón María Aller Ulloa |
| 19:00-20:00 | Grupo /CLIL_01 | Castelán | Aula Magna Ramón María Aller Ulloa |
| Mércores | |||
| 16:00-17:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán | Aula Magna Ramón María Aller Ulloa |
| 07.06.2021 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 02 |
| 07.06.2021 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 03 |
| 05.07.2021 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |